請問巫師 #353
上圖是邊長為一的九邊形。
AB+AC 和 AE 哪個比較大？
此問題摘自《門薩公報》2021 年 3 月號。
以下是我對這個問題的解決方案。 (PDF)
假設答案是整數，我怎麼能輕鬆找到任何三位數或四位數的平方根？
下表顯示了數字 0 到 9、每個數字的平方以及平方的最後一位數字。
平方數的最後一位數字
| 原來的 數位 | 方塊 | 最後一位數字 平方 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 4 |
| 3 | 9 | 9 |
| 4 | 16 | 6 |
| 5 | 二十五 | 5 |
| 6 | 三十六 | 6 |
| 7 | 49 | 9 |
| 8 | 64 | 4 |
| 9 | 81 | 1 |
請注意，偶數平方數的尾數總是 0、1、4、5、6 或 9。所有平方數都是如此。這是因為原始數字的最後一位數字決定了平方數的最後一位數字。
步驟1：根據平方數的最後一位數字，我們可以使用下表來縮小平方根的最後一位數字的範圍。例如，如果平方數是2809，那麼平方根的最後一位數字就是3或7。
原始號碼的最後一位
| 最後一位數字 平方根 | 最後一位數字 平方 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 或 9 |
| 4 | 2 或 8 |
| 5 | 5 |
| 6 | 4或6 |
| 9 | 3 或 7 |
步驟2：接下來，取原始數字並刪除右邊兩位數字。例如，如果原始數字是2809，則使用28。
步驟3：找出小於或等於步驟2結果的最小平方數。然後，對該平方數開平方。例如，小於28的最小平方數是25。對25開平方，結果為5。
如果你還沒記住100以內的方塊，那麼你可以使用下表。
平方根的第一部分
| 第 2 步 | 步驟3 |
|---|---|
| 1 至 3 | 1 |
| 4至8 | 2 |
| 9點到15點 | 3 |
| 16至24歲 | 4 |
| 25至35 | 5 |
| 36至48 | 6 |
| 49至63 | 7 |
| 64至80 | 8 |
| 81至99 | 9 |
步驟 4：如果步驟 1 的結果為 0 或 5，則放在步驟 3 的結果之後，就完成了。
否則，令 a = 步驟 3 的結果。令 b=a×(a+1)。例如，如果步驟 3 的結果為 5，則 b=5×6=30。
步驟 5：如果 b < a，則平方根的最後一位數字是步驟 1 中較小者。否則，如果 b >= a，則平方根的最後一位數字是兩個可能性中較大者。
步驟 6：要得到平方根，請取步驟 3 的結果，然後將其與步驟 5 的結果相加。換句話說，10×(步驟 3)+步驟 5。
讓我們來看一些例子：
求 256 的平方根。
- 步驟 1：平方根的最後一位數字是 4 或 6。
- 步驟 2：去掉最後兩位數字，得到 2。
- 步驟 3：小於或等於 2 的最小平方是 1。1 的平方根是 1。
- 步驟4：1*(1+1) = 2。
- 步驟 5：步驟 4 的結果等於步驟 2 的結果，因此我們使用步驟 1 中的較大選項作為最後一位數字，即 6。
- 步驟 6：平方根是 3 的結果加上步驟 5 的結果，即 1 & 6 = 16。
求 1369 的平方根。
- 步驟 1：平方根的最後一位數字是 3 或 7。
- 第 2 步：去掉最後兩位數字，得到 13。
- 步驟 3：小於或等於 13 的最小平方是 9。9 的平方根是 3。
- 步驟4：3*(1+3) = 12。
- 步驟 5：步驟 2 的結果大於步驟 4 的結果，因此我們使用步驟 1 中較大的選項作為最後一位數字，即 7。
- 步驟 6：平方根是 3 的結果加上步驟 5 的結果，即 3 & 7 = 37。
求 2704 的平方根。
- 步驟 1：平方根的最後一位數字是 2 或 8。
- 步驟 2：去掉最後兩位數字，得到 27。
- 步驟 3：小於或等於 27 的最小平方是 25。25 的平方根是 5。
- 步驟4：5*(1+5) = 60。
- 步驟 5：步驟 2 的結果小於步驟 4 的結果，因此我們使用步驟 1 中較小的選項作為最後一位數字，即 2。
- 步驟 6：平方根是 3 的結果加上步驟 5 的結果，即 5 & 2 = 52。
求 5625 的平方根。
- 步驟 1：平方根的最後一位數字是 5。
- 第 2 步：去掉最後兩位數字，得到 56。
- 步驟 3：小於或等於 56 的最小平方是 49。49 的平方根是 7。
- 步驟 4：步驟 1 的結果為 0 或 5，因此答案是步驟 3 的結果加上步驟 1 的結果：7 & 5 = 75
求 6561 的平方根。
- 步驟 1：最後一位數字是 1 或 9。
- 第 2 步：去掉最後兩位數字，得到 65。
- 步驟 3：小於或等於 65 的最小平方是 64。64 的平方根是 8。
- 步驟4：8*(1+8) = 72。
- 步驟 5：步驟 2 的結果小於步驟 4 的結果，因此我們使用步驟 1 中的較小者作為最後一位數字，即 1。
- 步驟 6：平方根是 3 的結果加上步驟 5 的結果，即 8 & 1 = 81。
您可以在YouTube上看到此方法的演示。
在 12 小時的二十一點遊戲中，連續獲勝 60 次或更多次的機率是多少？
根據我的二十一點頁面中的方差，基於自由的脫衣舞規則，以下是淨贏、平或輸的機率：
- 勝率 — 42.43%
- 推動 — 8.48%
- 虧損——49.09%
讓我們忽略平局，考慮到這手牌最終是淨贏還是淨輸，我們獲勝的機率是 46.36%。
我們以每小時100手作為遊戲速度。
我們可以近似地計算出連續看到至少 60 手牌的機率為：
100×12×0.4636 60 = 89,412,355,233,588,500 分之 1。作為比較的基礎，如果您購買了一張強力球彩票和一張百萬大獎彩票，那麼同時中獎的機率是 88,412,922,115,818,300 分之一。
因此，兩次彩票都中獎的可能性比 12 小時內連續中 60 次彩票的可能性要大一些。