請問巫師 #352
密西西比撲克中最高賠付能增加多少賭場優勢？
問得好。密西西比梭哈玩家肯定應該意識到，最高賠償可能會減少他們在同花大順上的贏利，從而增加賭場優勢。
密西西比撲克中，皇家同花順的最高賠率是500比1，並且適用於所有投注。玩家有兩次機會加註至底注的3倍，因此最終下注最高可達底注的7倍。如果玩家希望獲得皇家同花順，則應該盡可能加註。
在密西西比撲克牌中，玩家在底注（Ante）上的最大投注額應為最高賠付額/3500，且不受賠付上限的影響。例如，如果最高賠付額為80,000美元，那麼我建議底注的最高投注額為22.86美元。我會將其四捨五入為20美元。
下表顯示了不同投注額和常見最高贏額的賭場優勢。表假設玩家採用最佳策略，且贏額不設上限。請注意，隨著投注額的增加和上限的降低，賭場優勢會隨之增加。
有賠付上限的莊家優勢
| 賭注 | 5萬美元上限 | 8萬美元上限 | 10萬美元上限 |
|---|---|---|---|
| 15美元 | 5.02% | 4.91% | 4.91% |
| 20美元 | 5.15% | 4.91% | 4.91% |
| 25美元 | 5.22% | 5.04% | 4.91% |
| 50美元 | 5.38% | 5.28% | 5.22% |
| 75美元 | 5.49% | 5.37% | 5.33% |
| 100美元 | 5.64% | 5.41% | 5.38% |
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
Vital Vegas 嚴厲批評了一位玩家，因為他在贏得 110 萬美元的累積獎金後只給了 200 美元小費。在這種情況下，應該如何正確對待小費？
是的，雖然他們因為小費太少而責備玩家，但他們卻巧妙地迴避了小費應該是多少才合適的問題。
不僅大獎的小費禮儀沒有明確的定義，連小額獎金的小費禮儀也同樣沒有明確的定義。人們對此的看法五花八門，其中許多觀點來自從未中過大獎的人。
首先，我要強調的是，小費並非可有可無。在賭場，根據贏的金額和服務水平，支付小費是理所當然的。這時，你很容易變成“粉紅先生”，為自己不該給小費找藉口。小費制度肯定有缺陷，但這就是我們現有的製度。如果你不同意並拒絕給小費，那就不要要求任何需要小費的服務。
其次，一旦確定了玩家中獎，該給多少小費？我這裡討論的只是玩家只中了一個大獎的情況。如果玩家中了很多大獎，規則會有所不同，這在高額投注時很正常。記住，審核大獎文件的規則如下：
- 在“老虎機”上贏得 1,200 美元或更多。
- 在基諾遊戲中贏得 1,500 美元或更多。
- 在 AA 撲克錦標賽中贏得 5,000 美元或更多。
- 在桌上遊戲中贏得 600 美元或更多，並且賭注至少為 300 倍。
我建議給多少小費？我以前說過獎金的0.5%到2%，獎金越高，給的百分比就越低。不過，當時我還沒想過獎金會這麼高。我覺得這個範圍在10萬美元左右比較適合。
這個問題促使我創建了一個具體的公式，我認為它適用於從1200美元到數百萬美元的任何累積獎金。公式如下：
如果您看不到圖像，它是 2×sqrt(jackpot-$1100)。
以下是一些常見累積獎金金額的計算公式。
建議小費表
| 大獎 | 提示 |
|---|---|
| 1,200美元 | 20美元 |
| 2,000 美元 | 60美元 |
| 5,000 美元 | 125美元 |
| 10,000美元 | 189美元 |
| 2萬美元 | 275美元 |
| 5萬美元 | 442美元 |
| 10萬美元 | 629美元 |
| 100萬美元 | 1,999美元 |
如果是110萬美元，我的公式建議是2096.57美元。我認為四捨五入到2000美元就可以了。當然，也要考慮其他因素，例如服務品質。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
對於任意給定的大數，該數附近的質數之間的平均距離是多少？此外，小於該數的質數有幾個？
對於任意大數 n 附近的質數之間的平均距離，一個非常好的估計方法是 ln(n)。這個估計器的精確度令人驚嘆。
作為佐證，下表列出了前 1500 萬個素數的範圍，以百萬為一組。表中列出了素數之間範圍內的平均距離以及平均距離的估計值。此估計值是該範圍內最大和最小素數平均值的自然對數。例如，對於第 15 組一百萬個質數，其值為 ln((256,203,221+275,604,541)/2)。
質數之間的平均距離
| 第一總理 在範圍內 | 最後的質數 在範圍內 | 質數 在範圍內 | 平均距離 | 估計 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 15,485,863 | 1,000,000 | 15.485861 | 15.86229105 | |
| 15,485,867 | 32,452,843 | 1,000,000 | 16.966976 | 16.9922867 | |
| 32,452,867 | 49,979,687 | 1,000,000 | 17.52682 | 17.53434381 | |
| 49,979,693 | 67,867,967 | 1,000,000 | 17.888274 | 17.89175615 | |
| 67,867,979 | 86,028,121 | 1,000,000 | 18.160142 | 18.15864108 | |
| 86,028,157 | 104,395,301 | 1,000,000 | 18.367144 | 18.3716137 | |
| 104,395,303 | 122,949,823 | 1,000,000 | 18.55452 | 18.54883262 | |
| 122,949,829 | 141,650,939 | 1,000,000 | 18.70111 | 18.70058553 | |
| 141,650,963 | 160,481,183 | 1,000,000 | 18.83022 | 18.83322787 | |
| 160,481,219 | 179,424,673 | 1,000,000 | 18.943454 | 18.95103217 | |
| 179,424,691 | 198,491,317 | 1,000,000 | 19.066626 | 19.05703535 | |
| 198,491,329 | 217,645,177 | 1,000,000 | 19.153848 | 19.15337672 | |
| 217,645,199 | 236,887,691 | 1,000,000 | 19.242492 | 19.24163365 | |
| 236,887,699 | 256,203,161 | 1,000,000 | 19.315462 | 19.32305683 | |
| 256,203,221 | 275,604,541 | 1,000,000 | 19.40132 | 19.39864545 |
資料來源：Prime Pages 上的Primes 之間的差距。
要計算任意給定數下的質數個數，我們可以先對 ln(n) 的平均距離估計值求積分。這樣就能得到任意數 n 以內的質數之間平均距離的總和。
f(n)=ln(n) 的積分是多少？回想一下分部積分法告訴我們：
f(n)*g'(n) 的積分 dn = f(n)*g(n) - (f'(n)*g(n)) 的積分 dn
設 f(n)=ln(n) 且 g'(n)=1。則 f'(n)=1/n 且 g(n)=n。因此，ln(n) 的積分為 ln(n)*n - ((1/n)*n) 的積分 = ln(n)*n - n = n*(ln(n)-1)
如果我們將 n*(ln(n)-1) 除以 n，我們就能得到從 2 到 n 範圍內質數之間的平均距離。這個距離就是 ln(n)-1。
如果我們將 n 除以質數之間的平均距離，我們會得到 n 以下質數的平均數量，等於 n/(ln(n)-1)。
作為證據，下表列出了各種大數下的素數個數及其估計值。 Excel 只允許 15 位有效數字，請諒解。拜託，誰能製作一個能處理更多數字的電子表格。
質數之間的平均距離
| n | n 以下的質數 | n/(ln(n)-1) |
|---|---|---|
| 10 | 4 | 8 |
| 100 | 二十五 | 二十八 |
| 1,000 | 168 | 169 |
| 10,000 | 1,229 | 1,218 |
| 10萬 | 9,592 | 9,512 |
| 1,000,000 | 78,498 | 78,030 |
| 10,000,000 | 664,579 | 661,459 |
| 1億 | 5,761,455 | 5,740,304 |
| 1,000,000,000 | 50,847,534 | 50,701,542 |
| 10,000,000,000 | 455,052,511 | 454,011,971 |
| 100,000,000,000 | 4,118,054,813 | 4,110,416,301 |
| 1,000,000,000,000 | 37,607,912,018 | 37,550,193,650 |
| 10,000,000,000,000 | 346,065,536,839 | 345,618,860,221 |
| 100,000,000,000,000 | 3,204,941,750,802 | 3,201,414,635,781 |
| 1,000,000,000,000,000 | 29,844,570,422,669 | 29,816,233,849,001 |
| 10,000,000,000,000,000 | 279,238,341,033,925 | 279,007,258,230,820 |
| 100,000,000,000,000,000 | 2,623,557,157,654,230 | 2,621,647,966,812,030 |
| 1,000,000,000,000,000,000 | 24,739,954,287,740,800 | 24,723,998,785,920,000 |
| 10,000,000,000,000,000,000 | 234,057,667,276,344,000 | 233,922,961,602,470,000 |
| 100,000,000,000,000,000,000 | 2,220,819,602,560,910,000 | 2,219,671,974,013,730,000 |
| 1,000,000,000,000,000,000,000 | 21,127,269,486,018,700,000 | 21,117,412,262,910,000,000 |
| 10,000,000,000,000,000,000,000 | 201,467,286,689,315,000,000 | 201,381,995,844,660,000,000 |
| 100,000,000,000,000,000,000,000 | 1,925,320,391,606,800,000,000 | 1,924,577,459,166,810,000,000 |
| 1,000,000,000,000,000,000,000,000 | 18,435,599,767,349,200,000,000 | 18,429,088,896,563,900,000,000 |
| 10,000,000,000,000,000,000,000,000 | 176,846,309,399,143,000,000,000 | 176,788,931,049,964,000,000,000 |
來源：有幾個質數？在素數頁面上。