請問巫師 #348
兩座城市，方特勒羅伊和索思沃思，橫跨一條海峽。兩艘渡輪整天往返於兩座城市之間。兩艘渡輪以不同的速度航行。它們同時從兩座城市出發。
他們第一次過河是在距離Southworth 5英里的地方。第二次過河是在距離Fauntleroy 3英里的地方。假設沒有時間裝卸貨物，但兩輛車都立即掉頭。同時假設他們沿直線行駛。
這兩個城市相距多遠？
[spoiler=解] 令 t 1 = 第一次穿越的時間
設t2 = 第二次穿越的時間
r = 渡輪最初離開 Fauntleroy 的速度與渡輪最初離開 Southworth 的速度之比。
c = 兩座城市之間的海峽距離。
已知他們第一次過河的地點距離Southworth有5英里。用公式來表達：
c-5 = r*t 1
5 = t 1
使 t 1相等，我們得到：
c-5 = 5r，或 r = (c-5)/5
我們也已知，他們第二次過河時，距離方特勒羅伊有3英里。用公式來表達：
3c-3 = r*t 2
c+3 = t2
使 t 2相等，我們得到：
2c - 3 = r*(c+3)
代入 r=(c-5)/5
2c-3 = [(c-5)/5] * (c+3)
10c - 15 = c^2 - 2c - 15
c^2 - 12c = 0 c - 12 = 0 c = 12
因此，該水道長 12 英里。
[劇透]如果在無骰子擲骰子遊戲中提供 Fire Bet，那麼獲勝的機率是多少？
提醒一下，在無骰子擲骰子遊戲中，2、3、11 和 12 不會立即決定透過線投注，但會被視為點數，就像 4、5、6、8、9 和 10 一樣。
我的解決方案的第一步需要計算通過線投注的任何給定結果的機率，如下所示。
無廢話擲骰子可能的結果
| 事件 | 公式 | 可能性 | 分數 |
|---|---|---|---|
| 出來滾 | 1/6 | 0.166667 | 1/6 |
| 2分獲勝 | （1/36）*（1/7） | 0.003968 | 1/252 |
| 3分獲勝 | （2/36）*（2/8） | 0.013889 | 1/72 |
| 4分獲勝 | （3/36）*（3/9） | 0.027778 | 1/36 |
| 5分獲勝 | （4/36）*（4/10） | 0.044444 | 2/45 |
| 6分獲勝 | （5/36）*（5/11） | 0.063131 | 25/396 |
| 8分獲勝 | （5/36）*（5/11） | 0.063131 | 25/396 |
| 9分獲勝 | （4/36）*（4/10） | 0.044444 | 2/45 |
| 10分獲勝 | （3/36）*（3/9） | 0.027778 | 1/36 |
| 11分獲勝 | （2/36）*（2/8） | 0.013889 | 1/72 |
| 12分獲勝 | （1/36）*（1/7） | 0.003968 | 1/252 |
| 2分損失 | （1/36）*（6/7） | 0.023810 | 1/42 |
| 3分損失 | （2/36）*（6/8） | 0.041667 | 1/24 |
| 4分損失 | （3/36）*（6/9） | 0.055556 | 1/18 |
| 5分損失 | （4/36）*（6/10） | 0.066667 | 1/15 |
| 6分損失 | （5/36）*（6/11） | 0.075758 | 5/66 |
| 8分損失 | （5/36）*（6/11） | 0.075758 | 5/66 |
| 9分損失 | （4/36）*（6/10） | 0.066667 | 1/15 |
| 10分損失 | （3/36）*（6/9） | 0.055556 | 1/18 |
| 11分損失 | （2/36）*（6/8） | 0.041667 | 1/24 |
| 12分損失 | （1/36）*（6/7） | 0.023810 | 1/42 |
如果將所有輸的方式加起來，您將得到 7303/13860 = 約 0.526912。
我解決這個問題的下一步是運用微積分。它基於這樣一個事實：如果過線投注結算間隔一段隨機時間，答案將保持不變。我們將投注結算間隔的平均時間為1，並服從指數分佈，這意味著它具有無記憶性。
讓 x 代表射手開始射擊以來的時間。
投擲者未獲得 2 分勝利的機率為 exp(-x/252)。因此，獲得至少一次 2 分勝利的機率為 1-exp(-x/252)。
投手未獲得3分勝利的機率是exp(-x/72)。因此，至少獲得一次3分勝利的機率是1-exp(-x/72)。
投手沒能獲得4分勝利的機率是exp(-x/36)。因此，至少獲得一次4分勝利的機率是1-exp(-x/36)。
投手未獲得 5 分勝利的機率為 exp(-2x/45)。因此，獲得至少一次 5 分勝利的機率為 1-exp(-2x/45)。
投手沒能獲得6分勝利的機率是exp(-2x/45)。因此，至少獲得一次6分勝利的機率是1-exp(-x/72)。
請注意，這些機率對於 8 到 12 是相同的，因此我們可以對它們進行平方，以表明它們各自實現了兩次。
射手沒有失敗的機率是 exp(-7303x/13860)。
輸的機率是7303/13860。
我們可以透過從 t = 0 到無窮大積分來解決這個問題，即所有獲勝要求都已滿足、失敗結果尚未滿足以及給定賭注的失敗機率已經解決的乘積的機率。
被積分的函數是 exp(-7303x/13860)*(1-exp(-x/252))^2*(1-exp(-x/72))^2*(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-2x/45))^2*(1-exp(32))^2*(1-exp(-2x/45))^2*(1-exp(22)。
將其輸入積分計算器，例如integral-calculator.com上的那個。記得輸入從 0 到無窮大的極限。答案就是上面的答案。
[劇透]感謝您對「必須擊中」累進牌的分析。我的問題是，您計算出牌生命值的公式是假設玩家立即獲得優勢，還是假設一開始可能略微不利，但隨著玩家對計量表的貢獻，很快就會轉為有利？
好問題。之前它給出了一個針對「短期」玩家的公式，其中第一次下注的累積獎金必須為正。
然而，對於那些能夠堅持玩到中大獎的長期玩家來說，他們的生命值較低。我更新了頁面，並添加了針對這兩類玩家的公式。簡而言之，這兩個公式如下：
j（短期）= m × (1-f)/(1-f+r)
j（長期）= m × (1-fr)/(1-f+r)
在哪裡：
j = 損益平衡累積獎金大小（莊家優勢為 0%）
f = 所有固定獎金加上老虎機俱樂部積分和獎勵的價值。
m = 最大累積獎金（必須擊中的點數）
n = 最低累積獎金（重新播種點）
r = 公尺上升率
你想玩一個需要普通六面骰的遊戲。很遺憾，你把骰子弄丟了。不過，你有四張索引卡，你可以隨意標記。玩家必須從這四張卡中隨機選擇兩張，不能重複，然後計算兩張卡的點數總和。
如何給卡片編號，使得兩張不同卡片的總和代表擲骰子的次數？
[劇透=答案]
給它們編號為 0、1、2 和 4。
從四張牌中抽出兩張的方法有以下六種。
- 0+1=1
- 0+2=2
- 1+2=3
- 0+4=4
- 1+4=5
- 2+4=6
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。