請問巫師 #347
在交易中獲得三張同花大順，然後在十手牌的範圍內兩次以相同花色完成抽牌的機率是多少？
第一張皇家牌，無論花色如何，發牌時湊成三張皇家牌的機率為 4*combin(5,3)*combin(47,2)/combin(52,5) = 0.01663742。抽牌時湊成皇家牌的機率為 1/combin(47,2) = 0.00092507。因此，兩張牌同時出現的機率為 0.01663742 * 0.00092507 = 0.00001539，即 64,974 分之一。
這樣，在十手牌中，出現任兩種花色的任兩張皇家牌的機率為：combin(10,2) * 0.00001539 2 (1-0.00001539) 8 = 0.00000001065810。您也指定了兩張皇家牌必須為同一花色。第二張皇家牌與第一張皇家牌相符的機率為 1/4，因此將先前的機率除以 4 可得出 0.00000000266453，即 375,301,378 分之一。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
假設有一檔遊戲節目，參賽者都是自私的，而且都是邏輯思維完美的人。規則如下。
- 主持人將 1,000,000 美元放在兩位參賽者之間的桌子上。
- 請參賽者 A 就如何在兩位參賽者之間分配資金提出建議。
- 參賽者 B 將被要求接受或拒絕該建議。
- 如果參賽者 B 接受該建議，那麼他們就按照建議分配錢款，遊戲結束。
- 如果參賽者 B 拒絕該建議，那麼主持人將扣除目前桌上 10% 的金額。
- 然後主持人會要求參賽者 B 提出建議，參賽者 A 有相同的機會接受或拒絕該建議。
- 如果參賽者A接受建議，他們就以此比例分配，遊戲結束。如果他拒絕，主持人會從剩餘金額中抽取10%。然後回到步驟2，重複此操作，直到有人接受建議。
問題是，參賽者 A 在第一輪比賽中應該建議如何分配資金？
他應該建議自己留下10/19的錢，減去1美分，然後給B 9/19的錢，再加1美分。換句話說：
答：526,315.78 美元
B：473,684.22美元
[劇透=解]
關鍵在於 A 應該讓 B 盡可能接近無差異點。
我們將底池與另一位玩家的比例設為r。如果B接受報價，他將獲得r×1,000,000美元。
如果B拒絕了邀請，那麼主持人將獲得10%的提成。之後，B將獲得位置優勢，並會將r份額分給參賽者A，並自行保留1-r。
求解r...
r×1,000,000 美元 = (1-r)×900,000 美元。
r×1,900,000 美元 = 900,000 美元。
r = 900,000 美元/1,900,000 美元 = 9/19。
A 不希望 B 完全無動於衷，以免 A 隨意選擇，讓主持人有機會從中撈取好處。所以，A 應該把多餘的 1 美分丟給 B，並給他 (9/19) × 1,000,000 美元 + 0.01 美元 = 473,684.22 美元。
答：526,315.78 美元
B：473,684.22美元
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
BetMGM有時會提供所謂的“無風險投注”，儘管它並非完全沒有風險。我認為更準確的說法應該是「第二次機會」投注。規則如下。
- 玩家對任何事件進行投注，但有最高金額限制（無累積賭注、讓分盤等）。
- 如果投注獲勝，則獲勝，玩家將正常獲得賠償。
- 如果賭注輸了，玩家將獲得與其輸掉的金額相等的促銷賭注。
- 促銷投注也可以針對任何一個事件進行投注。
- 如果促銷投注獲勝，玩家將獲得獎金。如果促銷投注失敗，玩家將一無所獲。無論哪種情況，促銷投注都會被取消。
以下是我的問題：
- 如果以 -110 的賠率投注，那麼 100 美元的無風險投注的價值是多少？
- 您推薦什麼策略？
首先，我們來看看賠率為-110的讓分盤投注。假設每次投注的勝率均為50%。
- 您有 50% 的機會贏得原始賭注並獲利 90.91 美元。
- 你有25%的機率輸掉最初的賭注，但贏下第二個賭注。這樣你輸了100美元，贏了90.91美元，淨贏了9.09美元。
- 您有 25% 的可能性會輸掉兩次賭注，損失 100 美元。
此促銷投注的預期價值為 0.5×$90.91 + 0.25×-9.09 + 0.25×-100 = $18.18。
其次，我有什麼建議？我建議投注你能找到的最大冷門。你問這個問題的時候，我能找到的最大冷門是這場大學橄欖球比賽：
邁阿密（佛羅裡達州）+575
阿拉巴馬州 -1000
假設兩次投注的賭場優勢相同，邁阿密獲勝的機率為14.01%。這意味著雙方的賭場優勢均為5.41%。
假設玩家輸了，他會尋找另一場賠率相同的遊戲來利用他的第二次機會。那麼，可能的結果如下：
- 您贏得原始賭注並獲利 575.00 美元的可能性為 14.01%。
- 您輸掉第一個賭注但贏得第二個賭注的機率為 12.05%。這樣，您輸掉了 100 美元，卻贏得了 575 美元，淨贏了 475 美元。
- 您有 25% 的可能性會輸掉兩次賭注，損失 100 美元。
此促銷投注的預期價值為 0.1401×$575 + 0.1205×$475 + 0.7394×-$100 = $63.87。
底線是兩次都孤注一擲。這項建議通常適用於「一次性」促銷籌碼。可惜的是，這類籌碼通常只限於等額投注。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。