請問巫師 #346
我聽說了《危險邊緣》的投注規則，叫「三分之二規則」。你知道嗎？
是的。這指的是當第二名玩家的得分超過第一名玩家的2/3時，他的策略就會改變。
讓我們將情況簡化為雙人遊戲，如下所示：
- 狀況A：第二名的人數還不到第一名的一半。
- 情境 B：第二位玩家擁有第一名的 1/2 到 2/3 份額。
- 狀況C：第二名擁有第一名的2/3以上。
在繼續深入討論之前，我想提醒讀者《危險邊緣》規則的一項變化，該規則在「最終危險邊緣」之後對平局進行了修改。現在不再是雙方選手同時晉級，而是設定一個突然死亡決勝題。以下就是這種情況。
情況 A
假設 A=10,000 美元，B=4,000 美元
玩家A不應冒險下注，下注金額不應超過A-2B-1。如果他對該類別沒有信心，可以下注0美元。無論哪種方式，他都能確保獲勝。在這種情況下，A的下注金額應在0美元到1999美元之間。
玩家B毫無希望，除非A下注過多而輸掉比賽。在這種情況下，B應該考慮第三名的分數，並儘量保持領先，如果可以的話，爭取第二名贏得2000美元，而不是第三名贏得1000美元。
情況 B
假設 A=10,000 美元，B=6,000 美元
A 的策略是預期 B 會全押，如果押對了，押注金額會涵蓋 2B。然而，為了安全起見，他不應該押注過高，以免押錯後金額低於 B。在這種情況下，他應該至少押注 2B - A + 1 和 AB - 1。在這種情況下，押注範圍是 2,001 美元到 3,999 美元。
B 的策略是，如果答對了，至少要獲得足夠的分數才能超過 A，並提高總分。在本例中，A 的分數是 4,001 美元，B 的分數是 6,000 美元。
如果兩位玩家都按照預期行事並遵循此策略，那麼玩家 B 獲勝的唯一可能性是 A 猜錯而 B 猜對。這種情況的機率約為 19%。
情況 C
這裡的事情變得更加複雜，涉及更多的博弈論和隨機化。
假設 A=$10,000，B=$7,000。
在進一步探討之前，重要的是估算「最終危險邊緣」線索被正確解答的機率。根據第30至34季的數據，第一名玩家的正確率為52%，第二名玩家的正確率為46%。然而，這些機率是正相關的。以下是所有四種可能性的細分：
- 均正確：27%
- 第一名正確，第二名錯誤：25%
- 第一個位置錯誤，第二個位置正確：19%
- 兩者都不正確，為 29%。
儘管前兩位玩家的 Jeopardy 平均答對率為 49%，但兩人都答對或都答錯的機率卻高達 56%。
當然，這些可以根據類別而改變，但讓我們保持簡單並使用上述機率。
在這種情況下，玩家B不必依賴A錯而B正確。他可以下注較低金額，例如0美元，確保在A錯的情況下獲勝。換句話說，如果A的賭注足以彌補B的賠率（如果正確），那麼如果A錯而B的賭注為0美元，他就有可能跌破B的賠率。
然而，如果A預測B會押低注，例如0美元，那麼A也可以押0美元來鎖定勝局。兩位玩家基本上都可以選擇押低注還是押高注。 A應該希望押與B相同的注，而B應該押與B相反的注。如果兩位玩家都是完美的邏輯學家，他們就會隨機做出決定。
在這種情況下，A 的高額投注應為 2B-A+1 至 AB-1，與情況 B 相同。在這種情況下，A 的低額投注應為 2,999 美元至 4,001 美元。
B 的高額投注應與情況 B 相同，如果正確，投注金額應足以超過 A。在本例中，分別為 3,001 美元和 7,000 美元。 B 的低額投注應為 0 美元。
如果我跳過數學計算並直接討論兩位玩家的隨機化策略，請原諒我。
玩家 A 選擇高牌的機率為 62.3%，選擇低牌的機率為 37.7%。
球員 B 應該處於高位，機率為 61.2%，處於低位，機率為 38.8%。
假設兩位玩家都遵循這種隨機化策略，且機率配對正確，則玩家 A 獲勝的機率為 65.2%。
如果玩家 A 的得分超過玩家 B 的 2/3，那麼他獲勝的機率就會上升到 81.0%。
在雙重危險中下注時，兩位玩家都應該牢記 2/3 規則的重要性。
在您的視訊撲克程式設計技巧中，您解釋了儘管視訊撲克中有 2,598,960 種可能的起手牌，但在 52 張牌的撲克牌組中，只需分析 134,459 種類型的牌。我的問題是，如果有人玩的是牌順序很重要的遊戲，例如Ace$ Bonus Poker或連續皇家牌有累積獎金的遊戲，那麼需要分析多少種不同類型的牌？
為此，我向我尊敬的同事Gary Koehler請教，他是視訊撲克數學專家。他的答案是15,019,680。
擲一個六面骰子，直到發生以下任一事件：
A) 任何一方都出現了六次。
B) 每一方都至少出現過一次。
事件 A 先發生的機率是多少？
為了像我一樣使用微積分來回答這個問題，我建議使用積分計算器，例如integral-calculator.com/上的那個。
這是我的解決方案（PDF）。
這個問題在我的Wizard of Vegas論壇中被提出（用略有不同的措辭）並被討論過。