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請問巫師 #340

如果賭場將平局賭注的贏率從通常的 8 比 1 提高到 9 比 1，那麼它需要在平局上額外下注多少才能獲得相同的預期贏率？

dandolos2000

百家樂平局的機率是0.095155968。

在通常的 8 比 1 的勝率下，玩家的預期回報為 0.095156 × (8+1) - 1 = -0.143596。

當獲勝比例為 9 比 1 時，玩家的預期回報為 0.095156 × (9+1) - 1 = --0.048440。

當贏利為 8 比 1 時，預期玩家損失將高出 0.143596/0.048440 = 2.9643960 倍。因此，如果賭場將贏利提高到 9 比 1，則賭場需要對平局採取 2.9643960 倍的行動，才能使預期賭場贏利保持不變。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

假設一個箱子裡有100個球，編號從1到100。隨機抽取10個球，不重複。抽取的最小球的平均編號是多少？

ThatDonGuy

下表顯示了組合數、機率以及對最低球的貢獻（球與機率的乘積）。右下角單元格顯示預期最低球為 9.1818182。

最低球

最低
球		組合可能性預期的
低球
1 1,731,030,945,644 0.100000 0.100000
2 1,573,664,496,040 0.090909 0.181818
3 1,429,144,287,220 0.082560 0.247681
4 1,296,543,270,880 0.074900 0.299600
5 1,174,992,339,235 0.067878 0.339391
6 1,063,677,275,518 0.061448 0.368686
7 961,835,834,245 0.055564 0.388950
8 868,754,947,060 0.050187 0.401497
9 783,768,050,065 0.045278 0.407498
10 706,252,528,630 0.040800 0.407995
11 635,627,275,767 0.036720 0.403915
12 571,350,360,240 0.033006 0.396076
十三512,916,800,670 0.029631 0.385199
14 459,856,441,980 0.026565 0.371917
15 411,731,930,610 0.023785 0.356780
16 368,136,785,016 0.021267 0.340271
17 328,693,558,050 0.018988 0.322801
18 293,052,087,900 0.016929 0.304728
19 260,887,834,350 0.015071 0.286354
20 231,900,297,200 0.013397 0.267933
21 205,811,513,765 0.011890 0.249680
22 182,364,632,450 0.010535 0.231771
23 161,322,559,475 0.009319 0.214347
24 142,466,675,900 0.008230 0.197524
二十五125,595,622,175 0.007256 0.181388
二十六110,524,147,514 0.006385 0.166007
二十七97,082,021,465 0.005608 0.151425
二十八85,113,005,120 0.004917 0.137673
二十九74,473,879,480 0.004302 0.124766
三十65,033,528,560 0.003757 0.112708
31 56,672,074,888 0.003274 0.101491
三十二49,280,065,120 0.002847 0.091100
33 42,757,703,560 0.002470 0.081512
三十四37,014,131,440 0.002138 0.072701
三十五31,966,749,880 0.001847 0.064634
三十六27,540,584,512 0.001591 0.057276
三十七23,667,689,815 0.001367 0.050589
三十八20,286,591,270 0.001172 0.044534
三十九17,341,763,505 0.001002 0.039071
40 14,783,142,660 0.000854 0.034160
41 12,565,671,261 0.000726 0.029762
四十二10,648,873,950 0.000615 0.025837
43 8,996,462,475 0.000520 0.022348
四十四7,575,968,400 0.000438 0.019257
45 6,358,402,050 0.000367 0.016529
46 5,317,936,260 0.000307 0.014132
四十七4,431,613,550 0.000256 0.012032
四十八3,679,075,400 0.000213 0.010202
49 3,042,312,350 0.000176 0.008612
50 2,505,433,700 0.000145 0.007237
51 2,054,455,634 0.000119 0.006053
52 1,677,106,640 0.000097 0.005038
53 1,362,649,145 0.000079 0.004172
54 1,101,716,330 0.000064 0.003437
55 886,163,135 0.000051 0.002816
56 708,930,508 0.000041 0.002293
57 563,921,995 0.000033 0.001857
58 445,891,810 0.000026 0.001494
59 350,343,565 0.000020 0.001194
60 273,438,880 0.000016 0.000948
61 211,915,132 0.000012 0.000747
62 163,011,640 0.000009 0.000584
63 124,403,620 0.000007 0.000453
64 94,143,280 0.000005 0.000348
65 70,607,460 0.000004 0.000265
66 52,451,256 0.000003 0.000200
67 38,567,100 0.000002 0.000149
68 28,048,800 0.000002 0.000110
69 20,160,075 0.000001 0.000080
70 14,307,150 0.000001 0.000058
71 10,015,005 0.000001 0.000041
72 6,906,900 0.000000 0.000029
73 4,686,825 0.000000 0.000020
74 3,124,550 0.000000 0.000013
75 2,042,975 0.000000 0.000009
76 1,307,504 0.000000 0.000006
77 817,190 0.000000 0.000004
78 497,420 0.000000 0.000002
79 293,930 0.000000 0.000001
80 167,960 0.000000 0.000001
81 92,378 0.000000 0.000000
82 48,620 0.000000 0.000000
83 24,310 0.000000 0.000000
84 11,440 0.000000 0.000000
85 5,005 0.000000 0.000000
86 2,002 0.000000 0.000000
87 715 0.000000 0.000000
88 220 0.000000 0.000000
89 55 0.000000 0.000000
90 10 0.000000 0.000000
91 1 0.000000 0.000000
全部的17,310,309,456,440 1.000000 9.181818

有一種更簡單的方法可以解決這類問題，其中最低球的值為 1。最低球的公式是 (m+1)/(b+1)，其中 m 是球的最大值，b 是球的數量。在本例中，m=100，n=10，所以最低球的值是 101/11 = 9.181818。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

以下謎題出現在 2021 年 3 月 6 日的《紐約時報》上。

規則非常簡單：

  1. 每行、每列和每個區域必須恰好有兩顆星。
  2. 任何兩顆星星都不能相接，即使是對角線也不行。

您能幫忙解決一下嗎？

anonymous

這題叫做「Two not Touch」謎題。下面的按鈕顯示了我的答案和答案。

[劇透=答案]

兩個不接觸解決了

[劇透]

這是我的解決方案（PDF）。

一個公平的六面骰子，如果任一擲出六次，預期擲出的次數是多少？

Ace2

點擊下面的按鈕查看我的答案。

答案是 2597868106693535971 / 131621703842267136 = 近似值：19.73738396371749

這是我的解決方案（PDF）。