請問巫師 #339
我在第55屆超級盃比賽中看到一個賭注，賭這場比賽是否會以NFL歷史上從未出現過的獨特比分組合結束，這個賭注叫做「Scorigami」。賠率如下：
是：+1100
編號：-1400
您認為賠率是多少？
好問題！還好有NFL Scorigami可以告訴我們 NFL 歷史上所有比分組合的次數。
我確信頻率論者會討厭我的答案，但我必須做出一些假設才能得到從未發生過的事件的機率。
首先，為了得到單一球隊的得分，我查看了NFL的歷史比賽。特別是1994年至2018年之間的比賽。我選擇1994年的原因是，兩分轉換規則從那一年開始實施，這應該會使單一球隊的得分分佈稍微平滑一些。我選擇2018年作為結束日期，因為那是我所能獲得的數據中上限。下圖是該分佈圖。
1994-2018 年 NFL 球隊個人得分
| 積分 | 數數 | 可能性 |
|---|---|---|
| 0 | 170 | 0.013490 |
| 1 | 0 | 0.000000 |
| 2 | 2 | 0.000159 |
| 3 | 303 | 0.024044 |
| 4 | 0 | 0.000000 |
| 5 | 5 | 0.000397 |
| 6 | 267 | 0.021187 |
| 7 | 420 | 0.033328 |
| 8 | 二十九 | 0.002301 |
| 9 | 188 | 0.014918 |
| 10 | 706 | 0.056023 |
| 11 | 三十二 | 0.002539 |
| 12 | 123 | 0.009760 |
| 十三 | 646 | 0.051262 |
| 14 | 530 | 0.042057 |
| 15 | 128 | 0.010157 |
| 16 | 434 | 0.034439 |
| 17 | 892 | 0.070782 |
| 18 | 91 | 0.007221 |
| 19 | 282 | 0.022377 |
| 20 | 860 | 0.068243 |
| 21 | 511 | 0.040549 |
| 22 | 189 | 0.014998 |
| 23 | 548 | 0.043485 |
| 24 | 821 | 0.065148 |
| 二十五 | 118 | 0.009364 |
| 二十六 | 267 | 0.021187 |
| 二十七 | 673 | 0.053404 |
| 二十八 | 382 | 0.030313 |
| 二十九 | 131 | 0.010395 |
| 三十 | 336 | 0.026662 |
| 31 | 578 | 0.045866 |
| 三十二 | 61 | 0.004841 |
| 33 | 146 | 0.011585 |
| 三十四 | 394 | 0.031265 |
| 三十五 | 200 | 0.015870 |
| 三十六 | 71 | 0.005634 |
| 三十七 | 163 | 0.012934 |
| 三十八 | 265 | 0.021028 |
| 三十九 | 三十 | 0.002381 |
| 40 | 50 | 0.003968 |
| 41 | 146 | 0.011585 |
| 四十二 | 78 | 0.006189 |
| 43 | 二十五 | 0.001984 |
| 四十四 | 58 | 0.004602 |
| 45 | 85 | 0.006745 |
| 46 | 7 | 0.000555 |
| 四十七 | 16 | 0.001270 |
| 四十八 | 四十七 | 0.003730 |
| 49 | 三十五 | 0.002777 |
| 50 | 5 | 0.000397 |
| 51 | 15 | 0.001190 |
| 52 | 14 | 0.001111 |
| 53 | 1 | 0.000079 |
| 54 | 4 | 0.000317 |
| 55 | 6 | 0.000476 |
| 56 | 6 | 0.000476 |
| 57 | 2 | 0.000159 |
| 58 | 3 | 0.000238 |
| 59 | 5 | 0.000397 |
| 60 | 0 | 0.000000 |
| 61 | 0 | 0.000000 |
| 62 | 2 | 0.000159 |
| 全部的 | 12602 | 1.000000 |
雖然這並不重要，但團隊平均得分是 21.60165。
其次，對於每個從未發生過的比分 xy，我計算其機率為 2×prob(x)×prob(y)。為什麼要乘以 2？因為 xy 的比分可能有兩種結果。例如，第 55 屆超級盃的最終結果可能是堪薩斯城 x -- 坦帕灣 y，或是堪薩斯城 y -- 坦帕灣 x。超級盃可能不會以平手結束，所以我們不需要關心 xx 的比分。如果我們關心的話，就不會乘以 2。
例如，11-15分的成績從未發生過。我將11分的機率設為0.002539，將15分的機率設為0.010157。這樣，11-15分的機率就是2×0.002539×0.010157 = 0.0000515835。
對每個從未發生過的比分都進行同樣的計算，總機率為 0.0179251。公平投注賠率應該是 +5479，也就是 55 比 1。所以，只要投注 11 比 1 的賠率就很不錯了！真希望我能用這個方法。
我承認，這意味著兩隊各得一分的可能性為零，雖然這種情況從未發生過，但確實有可能。沒錯，確實存在著「一分安全」的情況。但我認為兩隊各得一分的機率微乎其微。
實際上，第55屆超級盃的勝負比數是56.5。如此高的比分肯定會增加“Scorigami”的機率。如果非要估算的話，我會把它定為2%，也就是49比1的公平賠率。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
擲 15 個骰子，點數總和為 53 的機率是多少？
[劇透=解]
有一個簡單的方法可以在電子表格中得到這樣的答案。為了說明這一點，我們考慮另一個問題：用八個骰子擲出總點數 20 的機率是多少？
對於「1 個骰子」列，顯然有一種方法可以將總數從 1 擲到 6。
對於每個包含兩個或更多骰子的單元格，向左移動一個單元格，然後將該單元格上方的六個單元格相加。這樣做的原理應該很明顯。複製並貼上此公式到包含八個骰子且總數為 20 的儲存格中。
您可以看到儲存格總數為 36,688。擲八個六面骰共有 8 6 = 262,144 種方法。因此，八個骰子總點數為 20 的機率答案為 36688 / 262,144 = 0.139954。
使用相同的邏輯，20 個骰子總數為 53 的機率是 0.059511。
骰子總數
| 全部的 | 1天 | 2個骰子 | 3個骰子 | 4個骰子 | 5個骰子 | 6個骰子 | 7個骰子 | 8個骰子 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | 0 | |
| 8 | 5 | 21 | 三十五 | 三十五 | 21 | 7 | 1 | |
| 9 | 4 | 二十五 | 56 | 70 | 56 | 二十八 | 8 | |
| 10 | 3 | 二十七 | 80 | 126 | 126 | 84 | 三十六 | |
| 11 | 2 | 二十七 | 104 | 205 | 252 | 210 | 120 | |
| 12 | 1 | 二十五 | 125 | 305 | 456 | 462 | 330 | |
| 十三 | 21 | 140 | 420 | 756 | 917 | 792 | ||
| 14 | 15 | 146 | 540 | 1161 | 1667 | 1708 | ||
| 15 | 10 | 140 | 651 | 1666 | 2807 | 3368 | ||
| 16 | 6 | 125 | 735 | 2247 | 4417 | 6147 | ||
| 17 | 3 | 104 | 780 | 2856 | 6538 | 10480 | ||
| 18 | 1 | 80 | 780 | 3431 | 9142 | 16808 | ||
| 19 | 56 | 735 | 3906 | 12117 | 25488 | |||
| 20 | 三十五 | 651 | 4221 | 15267 | 36688 |
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
你是一名煙火技師，負責遊樂園的夜間煙火表演。你收到了一些來自歐洲的新型煙火，正在測試其中一枚，以便讓它與表演的音樂同步。
煙火火箭以4公尺²的恆定加速度垂直向上發射，直至化學燃料耗盡。隨後，其上升速度在重力作用下減緩，直至達到138公尺的最大高度並爆炸。
假設沒有空氣阻力，重力加速度為每秒9.8米，火箭需要多長時間才能達到最大高度？
[劇透=解]
讓：
t = 火箭燃料耗盡後的時間。
r = 火箭燃料持續的時間。
我將用向上的方向來表示加速度。因此，火箭燃料燃盡後的加速度是-9.8。
提醒一下，加速度的積分是速度，速度的積分是位置。我們假設位置是相對於地面的。
當火箭首次發射時，我們已知加速度為 4。
取積分，r秒後火箭的速度等於4r。
將速度積分可以得到 2r 2的 r 秒後火箭的位置。
現在讓我們看看火箭燃料燒完後會發生什麼事。
我們已知重力加速度為-9.8。
t時刻的重力速度為-9.8t。然而，它從火箭向上也有4r的速度。
設 v(t) = 時間 t 時的速度
v(t) = -9.8t + 4r
當 v(t) = 0 時，火箭將達到最大高度。讓我們來解決這個問題。
v(t) = 0 = -9.8t + 4r
4r = 9.8t
t = 40/98 r = 20r/49。
換句話說，無論火箭燃料持續多長時間，火箭都會在其中的 20/49 時間內繼續飛行。
我們也知道，在達到的最大高度行駛的距離是 138。
讓我們對 v(t) 進行積分，得到行進距離的公式，我們稱之為 d(t)。
d(t) = -4.9t 2 + 4rt + c，其中 c 為積分常數。
正如我們已經證明的，當燃料耗盡時，火箭的行程為 2r 2 ，因此這必定是積分常數。由此可得：
d(t) = -4.9t² + 4rt + 2r²
我們知道在時間 20r/49 時達到了最大高度 138，因此讓我們將 t=20r/49 代入方程式來解 r：
d((20r/49) = -4.9((20r/49) 2 + 4r(20r/49) + 2r 2 = 138
r2 *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138
r2 = 49
r = 7
因此，火箭燃料可持續使用七秒。
我們已經知道火箭在這段時間內繼續上升了 20/49，也就是 140/49 = 約 2.8571 秒。
因此，從發射到最大速度的時間為 7 + 140/49 = 483/49 = 約 9.8571 秒
[/spoiler]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。