請問巫師 #336
南加州的莫龍戈賭場正在進行一項促銷活動：如果莊家拿到硬 16 點，他們將支付 16 美元的獎金。這筆錢值多少錢？
這對玩家來說是個好消息！他們的網站沒有詳細說明，所以我假設它只適用於前兩張牌。我從2018年10月的《當代二十一點》簡報上看到，大多數牌桌都有以下規則：
- 莊家拿到軟 17
- 六副甲板
- 二十一點賠率為 3 比 2
- 允許分牌後加倍
- 允許重新分牌
我的二十一點莊家優勢計算器顯示，這些規則的莊家優勢在連續洗牌的情況下為 0.55%，在切牌的情況下為 0.57%。
無論規則如何，前兩張牌出現硬16的機率是6.51%。如果以6.51%的機率贏得16美元，那麼每手牌的價值為1.04美元。我假設最低下注額為25美元，因為在新冠疫情期間，大多數賭場都提高了最低下注額。不計獎金，25美元下注，每手牌的預期虧損為0.14美元。這意味著每手牌的預期利潤為1.04美元 - 0.14美元 = 0.90美元。相對於下注金額，這意味著玩家優勢為3.59%！
如果我們假設一個好的情況，即以每小時 80 輪的速度玩三手 25 美元的牌，那麼預計每小時贏利將達到 216 美元！
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
有一塊 5x5 的釘板和 3 個釘子。三個隨機放置的釘子形成三角形的機率是多少？
[劇透=解]
首先，對於釘子來說，有 combin(25,3) = 2,300 種可能的組合。
這些組合中有多少種可以組成三角形？讓我們用這個棋盤來幫忙：
首先，棋盤有五行、五列和兩條對角線。對於其中任一條對角線，棋子排列成直線的方式有 (5,3) = 10 種組合方式。因此，這樣一共有 12*10 = 120 種組合方式。
其次，有四種方法可以將一行/列的中心方塊連接到相鄰行/列的中心方塊。換句話說，這三種放置方式：
- A3、B4、C5
- C5、D4、E3
- E3、D2、C1
- C1、B2、A3
所以，現在是 120 + 4 = 124
第三，有四條不同的對角線，即四個空間：
- A2、B3、C4、D5
- B5、C4、D3、E2
- E4、D3、C2、B1
- D1、C2、B3、A4
對於每個棋子，有(4,3)=4種組合方式來放置三個棋子。這樣一來，棋子總數增加了4*4 = 16。
我們現在有 124+16 = 140
第四，考慮一下國際象棋中騎士的移動方式，在2x1的L形棋盤中。騎士在每個角落有兩種移動方式。在所有這些方式中，騎士都可以沿著第一步形成的直線再次移動。所以，還有4*2 = 8種移動方式：
- A1、C2、E3 A1、B3、C5
- A5、B3、C1
- A5、C4、E3
- E5、C4、A3
- E5、D3、C1
- E1、D3、C5
- E1、C2、A3
還有四條這樣的騎士線穿過中心：
- A2、C3、E4
- A4、C3、E2
- B5、C3、D1
- D5、C3、B1
加上 12 條騎士線，我們得到 140+12= 152
如果總共有 2,300 種組合，其中 152 種形成線條，那麼 2300-152 = 2,148 種組合不會形成線條，因此會形成三角形。
因此，我們的答案是 2,148/2,300 = 93.39%。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
我找到了一款四副牌的西班牙式21點遊戲，分牌後如果出現A/10，賠率為3-2。這條規則值多少錢？
為了簡單起見，我們假設不允許重新分牌。另外，西班牙21點使用48張西班牙牌，沒有10。最後，請記住，在西班牙21點中，21點自動獲勝。
即使沒有這條規則，玩家也應該永遠分牌。在四副西班牙牌遊戲中，拿到一對 A 的機率是 combin(16,2)/combin(192,2) = 120/18336 = 0.65%。
每張A牌湊成10的機率為(4*12)/(48*12-2) = 48/190 = 25.26%。如果是兩張A牌，那麼湊成黑傑克的機率為2*48/190 = 96/190 = 0.5053。
每張黑傑克都會額外值半個單位。因此，該規則的價值為 (120/18336)*(96/190)*(1/2) = 0.17%。
即使有這條規則，玩家仍然不應該分牌，所以我們不必擔心。所以，這條規則將賭場優勢降低了0.17%。
有多少個獨特的矩形，其周長的瓷磚數量等於內部的瓷磚數量？
[劇透=解]
令 x 和 y 為內矩形的尺寸。
該矩形的面積是 x*y。
週長面積為 2x + 2y + 4
已知 xy = 2x+2y+4
xy-2x = 2y + 4
x(y-2) = 2y+4
x=(2y+4)/(y-2)
y 必須大於或等於 3。讓我們看看當 y 值等於或大於 3 時 x 是多少。
如果 y = 3，則 x = 10
如果 y = 4，則 x = 6
如果 y = 5，則 x = 14/3
如果 y = 6，則 x=4
因此，3x10 和 4x6 是解。 6x4 不是，因為它不是唯一解。隨著 y 增大，x 會變小。就像 y 必須等於或大於 3 一樣，x 也必須等於或大於 3。由於 x 的值隨著 y 的增大而減小，因此 x 只有一個可能的值，即 x=3。但是，如果 x=3，則 y=10，這也不是唯一的解。
所以答案是2：內矩形有3x10和4x6個答案。如果你喜歡用外矩形來計算答案，那麼答案應該是5x12和6x8。
[/spoiler]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。