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請問巫師 #335

我在《維加斯巫師》雜誌上讀到您關於可逆皇家牌局的文章,它的回報率高達 105.22% 。這個回報率假設了最佳策略,包括牌序。如果我假設皇家牌局獲勝率一般,回報率是多少?如果我使用普通的 6-5 Bonus Poker 策略(基本賠償表)呢?

anonymous

假設策略無偏差,每60個皇家牌中會有1個連續出現。可逆皇家大獎的賠率為161,556/1。其他皇家牌的賠率為1800/1。因此,平均皇家牌中獎金額為(1/60)*161,556 + (59/60)*800 + 17,396/1。

如果我們假設所有皇室成員支付 17,396 並根據皇室勝利採取最佳策略,那麼回報率將下降到 103.56%。

如果我們玩標準的 6-5 紅利撲克策略,即基本支付表,那麼回報率將進一步下降到 101.97%。

考慮座標為 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) 的單位正方形。線 A 從 (0,0) 延伸到 (1,1)。線 B 從 (1,0) 延伸到 0.5,1。與線 A、B 和圓底相切的圓的半徑是多少?

這個謎題出現在 2020 年 10 月版的門薩公報中。

anonymous

[劇透=提示]tan(2x)=2tan(x)/(1-tan 2 (x))[/劇透]

答案是 (1+sqrt(2)+sqrt(5)-sqrt(10))/6 = apx. 0.248000646617418.

這是我的解決方案(PDF)。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

如果卡片上只剩下 Yahtzee 類別,那麼獲得該類別的機率有多大?

anonymous

為了方便不熟悉Yahtzee的讀者,這個問題是問擲五個骰子三次,擲出五點的機率是多少。每次擲完後,你必須選擇保留哪一個骰子,以及要重新擲哪一個骰子。

答案是 4.6029%。

[劇透=解]

以下是第一次擲骰子或玩家擲出 4 或 5 個骰子的任何擲骰子後可能出現的結果。

  • 五張相同的牌 = 6*(1/6)^5 = 0.000772
  • 四條 = (1/6)^3*(5/6)*4 = 0.015432
  • 三條 = (1/6)^2*(5/6)^2*COMBIN(4,2) = 0.115741
  • 兩張相同的牌 = 4*(1/6)*(5/6)^3 = 0.385802
  • 獨一無二 = 6*5!/6^5 = 0.092593

以下是持有一對後的機率。

  • 五張相同的牌 =(1/6)^3 = 0.004630
  • 四張相同的牌 = 3*(1/6)^2*(5/6) = 0.069444
  • 三張同點牌 = 3*(1/6)*(5/6)^2+5*(1/6)^3 = 0.370370
  • 兩張相同的牌 = (5/6)^3-5*(1/6)^3 = 0.555555

以下是持有三張同點牌後的機率:

  • 五張相同的牌 =(1/6)^3 = 0.002778
  • 四張同點牌 = 2*(1/6)*(5/6) = 0.27778
  • 三張相同的牌 = (5/6)^2 = 0.694444

以下是拿到四張同點牌後的機率:

  • 五張相同的牌 =1/6 = 0.166667
  • 四張同點牌 = 5/6 = 0.83333

根據這些進步的機率,以下是第二次擲骰子後每個狀態的機率:

  • 五張相同的牌 = 0.000772 + 0.015432*0.166667 + 0.115741*0.002778 + 0.385802*0.004630 + 0.092593* 0.00772
  • 四張相同的牌 = 0.015432*0.166667 + 0.115741*0.27778 + 0.115741*0.27778 = 0.116970
  • 三張相同的牌 = 0.115741*0.694444 + 0.385802*0.370370 + 0.092593*0.115741 = 0.409022
  • 兩張相同的牌 = 0.385802*0.555555 + 0.092593*0.385802 = 0.450103
  • 獨一無二 = 0.092593 * 0.092593 = 0.008573

使用相同的前進機率,這是第三次擲骰子後贏得 Yahtzee 的機率:

五張相同的牌 = 0.012631 + 0.116970*(1/6) + 0.409022*(1/6)^2 + 0.450103*(1/6)^3 + 0.008573*(1/6)^4 = 0.046029。

對於那些喜歡矩陣代數的人來說,有一個轉換矩陣:

0.092593 0.694444 0.192901 0.019290 0.000772
0.000000 0.555556 0.370370 0.069444 0.004630
0.000000 0.000000 0.694444 0.277778 0.027778
0.000000 0.000000 0.000000 0.833333 0.166667
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000

如果上面的矩陣是M,那麼擲三次之後的狀態就是M3 ,如下:

0.000794 0.256011 0.452402 0.244765 0.046029
0.000000 0.171468 0.435814 0.316144 0.076575
0.000000 0.000000 0.334898 0.487611 0.177491
0.000000 0.000000 0.000000 0.578704 0.421296
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000

在右上角的儲存格中可以找到三次擲骰子後獲得 Yahtzee 的機率。

[劇透]

看完《後翼棄兵》後,我注意到節目裡沒有一盤棋以平手結束。我以為高水準的西洋棋比賽有很多平手。對於大師級的西洋棋來說,平手的機率是多少?

anonymous

根據 ChessBase.com 上的文章《國際象棋中的和棋次數增加了嗎? 》 ,作者周奇宇指出,在 78,468 場評分 2600 分或以上的選手(達到 2500 分才能成為大師)的比賽中,結果如下:

  • 黑棋勝率:18.0%
  • 白棋勝率:28.9%
  • 平手:53.1%