請問巫師 #335
我在《維加斯巫師》雜誌上讀到您關於可逆皇家牌局的文章，它的回報率高達 105.22% 。這個回報率假設了最佳策略，包括牌序。如果我假設皇家牌局獲勝率一般，回報率是多少？如果我使用普通的 6-5 Bonus Poker 策略（基本賠償表）呢？
假設策略無偏差，每60個皇家牌中會有1個連續出現。可逆皇家大獎的賠率為161,556/1。其他皇家牌的賠率為1800/1。因此，平均皇家牌中獎金額為(1/60)*161,556 + (59/60)*800 + 17,396/1。
如果我們假設所有皇室成員支付 17,396 並根據皇室勝利採取最佳策略，那麼回報率將下降到 103.56%。
如果我們玩標準的 6-5 紅利撲克策略，即基本支付表，那麼回報率將進一步下降到 101.97%。
考慮座標為 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) 的單位正方形。線 A 從 (0,0) 延伸到 (1,1)。線 B 從 (1,0) 延伸到 0.5,1。與線 A、B 和圓底相切的圓的半徑是多少？
這個謎題出現在 2020 年 10 月版的門薩公報中。
[劇透=提示]tan(2x)=2tan(x)/(1-tan 2 (x))[/劇透]
這是我的解決方案（PDF）。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
如果卡片上只剩下 Yahtzee 類別，那麼獲得該類別的機率有多大？
為了方便不熟悉Yahtzee的讀者，這個問題是問擲五個骰子三次，擲出五點的機率是多少。每次擲完後，你必須選擇保留哪一個骰子，以及要重新擲哪一個骰子。
[劇透=解]
以下是第一次擲骰子或玩家擲出 4 或 5 個骰子的任何擲骰子後可能出現的結果。
- 五張相同的牌 = 6*(1/6)^5 = 0.000772
- 四條 = (1/6)^3*(5/6)*4 = 0.015432
- 三條 = (1/6)^2*(5/6)^2*COMBIN(4,2) = 0.115741
- 兩張相同的牌 = 4*(1/6)*(5/6)^3 = 0.385802
- 獨一無二 = 6*5!/6^5 = 0.092593
以下是持有一對後的機率。
- 五張相同的牌 =(1/6)^3 = 0.004630
- 四張相同的牌 = 3*(1/6)^2*(5/6) = 0.069444
- 三張同點牌 = 3*(1/6)*(5/6)^2+5*(1/6)^3 = 0.370370
- 兩張相同的牌 = (5/6)^3-5*(1/6)^3 = 0.555555
以下是持有三張同點牌後的機率：
- 五張相同的牌 =(1/6)^3 = 0.002778
- 四張同點牌 = 2*(1/6)*(5/6) = 0.27778
- 三張相同的牌 = (5/6)^2 = 0.694444
以下是拿到四張同點牌後的機率：
- 五張相同的牌 =1/6 = 0.166667
- 四張同點牌 = 5/6 = 0.83333
根據這些進步的機率，以下是第二次擲骰子後每個狀態的機率：
- 五張相同的牌 = 0.000772 + 0.015432*0.166667 + 0.115741*0.002778 + 0.385802*0.004630 + 0.092593* 0.00772
- 四張相同的牌 = 0.015432*0.166667 + 0.115741*0.27778 + 0.115741*0.27778 = 0.116970
- 三張相同的牌 = 0.115741*0.694444 + 0.385802*0.370370 + 0.092593*0.115741 = 0.409022
- 兩張相同的牌 = 0.385802*0.555555 + 0.092593*0.385802 = 0.450103
- 獨一無二 = 0.092593 * 0.092593 = 0.008573
使用相同的前進機率，這是第三次擲骰子後贏得 Yahtzee 的機率：
五張相同的牌 = 0.012631 + 0.116970*(1/6) + 0.409022*(1/6)^2 + 0.450103*(1/6)^3 + 0.008573*(1/6)^4 = 0.046029。
對於那些喜歡矩陣代數的人來說，有一個轉換矩陣：
| 0.092593 | 0.694444 | 0.192901 | 0.019290 | 0.000772 |
| 0.000000 | 0.555556 | 0.370370 | 0.069444 | 0.004630 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.694444 | 0.277778 | 0.027778 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.833333 | 0.166667 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.000000 |
如果上面的矩陣是M，那麼擲三次之後的狀態就是M3 ，如下：
| 0.000794 | 0.256011 | 0.452402 | 0.244765 | 0.046029 |
| 0.000000 | 0.171468 | 0.435814 | 0.316144 | 0.076575 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.334898 | 0.487611 | 0.177491 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.578704 | 0.421296 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.000000 |
在右上角的儲存格中可以找到三次擲骰子後獲得 Yahtzee 的機率。
[/spoiler]看完《後翼棄兵》後，我注意到節目裡沒有一盤棋以平手結束。我以為高水準的西洋棋比賽有很多平手。對於大師級的西洋棋來說，平手的機率是多少？
根據 ChessBase.com 上的文章《國際象棋中的和棋次數增加了嗎？ 》 ，作者周奇宇指出，在 78,468 場評分 2600 分或以上的選手（達到 2500 分才能成為大師）的比賽中，結果如下：
- 黑棋勝率：18.0%
- 白棋勝率：28.9%
- 平手：53.1%