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請問巫師 #332

使用 1、5、10、25、50 美分和 1 美元的標準美國硬幣，有多少種方法可以兌換 1 美元？

Gialmere

答案是 293。

[劇透=解]

設 a(x) = 只用一分錢硬幣和五分硬幣賺取 x 美分的方法數，其中 x 可以被 5 整除。

a(x) = 1+(x/5)

換句話說，方法數就是找零中可能的五分硬幣的數量，範圍從 0 到 x/5。

設 b(x) = 只用 1 美分、5 美分和 10 美分硬幣賺取 x 美分的方法數，其中 x 可以被 5 整除。

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10)，其中 x>=10。

用簡單的英語來說，賺取 x 美分的方法數是 (1) b(x-10) = 通過在每種方式中添加一角硬幣賺取 x-10 美分的方法數和 (2) a(x) = 不使用一角硬幣的方法數之和。

令 c(x) = 賺取 x 美分的方法數，只使用 1 分硬幣、5 分硬幣、10 分硬幣和 25 美分硬幣，其中 x 可以被 25 整除。

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25)，其中 x>=25。

用簡單的英語來說，賺取 x 美分的方法數是 (1) c(x-25) = 通過在每種方法上加 25 美分賺取 x-25 美分的方法數，以及 (2) b(x) = 不使用 25 美分賺取的方法數。

令 d(x) = 賺取 x 美分的方法數，只使用 1 美分、5 美分、10 美分、25 美分和半美元，其中 x 可以被 50 整除。

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50)，其中 x>=50。

用簡單的英語來說，得到 x 美分的方法數是 (1) d(x-50) = 通過在每種方法上加半美元得到 x-50 美分的方法數和 (2) c(x) = 不使用半美元的方法數之和。

下表顯示了 x = 5 至 100 的這些值。

做出改變的方法

x斧頭） b(x) c(x) d(x)
0 1 1 1
5 2 2 0
10 3 4 0
15 4 6 0
20 5 9 0
二十五6 12十三
三十7 16 0
三十五8 20 0
40 9二十五0
45 10三十0
50 11三十六49 50
55 12四十二0
60十三49 0
65 14 56 0
70 15 64 0
75 16 72 121
80 17 81 0
85 18 90 0
90 19 100 0
95 20 110 0
100 21 121 242 292

最後，加上 1 美元硬幣，答案就是 292+1 = 293。

[/spoiler]

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

我追蹤了雙零輪盤賭的3000次旋轉，因為前12個數字出現的次數似乎不如後20個數字出現的次數多。在這3000次旋轉中，1到12範圍內的數字出現了742次。這個機率是多少？

anonymous

您預計球落在 1 到 12 的次數為 3000*(12/38) = 947.37。

您的結果與預期之間的差異是 947.37 - 742 = 205.37。

變異數為 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20。

標準差是變異數的平方根 = sqrt(648.20) = 25.46。

您的結果比預期低 205.37/25.46 = 11.75 個標準差。

p 值，即偏離 11.75 個標準差或更多的機率是 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分之一。

我很想知道輪子在哪裡。

我發現一款二十一點遊戲，如果玩家分牌後拿到黑傑克，賠率為5賠6。不允許重新分牌。莊家黑傑克仍然勝過任何牌型，除了與自然牌玩家黑傑克的平局。如果莊家抽到21點，玩家分牌後拿到A和10即為贏。

Scrooge

讓我們忽略拆分十，因為即使有此規則，玩家仍然應該在 20 時對抗任何數字。

假設有六副牌，一對 A 的機率為 combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689%。

兩張 A 牌能夠發展成黑傑克的預期數量為 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355。

莊家沒有黑傑克的機率是 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%。

莊家拿到21點的機率是7.7981%。這其中的數學原理太複雜，難以解釋。

此規則有用的機率是 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044%。

每次事件的收益 = Pr(莊家未拿到 21 點) * (0.2) + Pr(莊家拿到 21 點) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。

此規則的總體收益是情況發生的頻率與發生時的收益的乘積 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%。

你有兩顆骰子。你可以隨意給兩顆骰子的每一面編號，只要每一面都是大於或等於1的整數即可。你可以在同一個骰子上重複相同的數字，並且可以隨意增加點數。除了製作標準骰子外，如何給它們編號，使任何給定點數的機率都與標準骰子相同？

anonymous

骰子 1 = 1,2,2,3,3,4。
骰子 2 = 1,3,4,5,6,8。

恐怕我對這個問題的解決方案基本上是反覆試驗。

如果我採用「伊利諾州雙打」遊戲中「不那麼醜小鴨」的最佳策略，玩家失誤的代價是多少？

anonymous

提醒一下，以下是提到的支付表：

不那麼醜的小鴨子：1-2-3-4-4-10-16-25-200-800。
伊利諾州平分：1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

接下來，這是「不那麼醜小鴨」的回報表，遵循該遊戲的最佳策略。

不那麼醜的小鴨子——正確的策略

事件支付組合可能性返回
天然皇家同花順800 458,696,304 0.000023 0.018409
四張 2 200 3,721,737,204 0.000187 0.037342
狂野皇家同花順二十五38,006,962,464 0.001907 0.047668
五張相同的牌16 61,961,233,656 0.003108 0.049735
同花順10 102,392,435,976 0.005137 0.051368
四條4 1,216,681,289,508 0.061038 0.244151
客滿4 520,566,943,104 0.026116 0.104462
沖洗3 413,870,908,056 0.020763 0.062289
直的2 1,142,885,476,800 0.057336 0.114671
三條1 5,325,911,611,716 0.267188 0.267188
沒有什麼0 11,106,773,222,412 0.557199 0.000000
全部的19,933,230,517,200 1.000000 0.997283

接下來，這是伊利諾州雙骰彩券的賠償表，使用了該賠償表的正確策略。右下角單元格顯示賠償金為0.989131。

伊利諾伊州平分—正確策略

事件支付組合可能性返回
天然皇家同花順800 459,049,128 0.000023 0.018423
四張 2 200 3,727,422,492 0.000187 0.037399
狂野皇家同花順二十五38,117,987,136 0.001912 0.047807
五張相同的牌15 62,201,557,608 0.003120 0.046807
同花順9 98,365,859,016 0.004935 0.044413
四條4 1,221,942,888,444 0.061302 0.245207
客滿4 522,030,131,520 0.026189 0.104756
沖洗3 407,586,633,720 0.020448 0.061343
直的2 1,145,767,137,120 0.057480 0.114961
三條1 5,342,397,992,292 0.268015 0.268015
沒有什麼0 11,090,633,858,724 0.556389 0.000000
全部的19,933,230,517,200 1.000000 0.989131

下表顯示了使用「不那麼醜小鴨」組合和機率的賠付表，得出的「伊利諾伊雙人賽」賠付表的回報率。右下角單元格顯示回報率為0.989131。

伊利諾州平局－NSUD 策略

事件支付組合可能性返回
天然皇家同花順800 458,696,304 0.000023 0.018409
四張 2 200 3,721,737,204 0.000187 0.037342
狂野皇家同花順二十五38,006,962,464 0.001907 0.047668
五張相同的牌15 61,961,233,656 0.003108 0.046627
同花順9 102,392,435,976 0.005137 0.046231
四條4 1,216,681,289,508 0.061038 0.244151
客滿4 520,566,943,104 0.026116 0.104462
沖洗3 413,870,908,056 0.020763 0.062289
直的2 1,142,885,476,800 0.057336 0.114671
三條1 5,325,911,611,716 0.267188 0.267188
沒有什麼0 11,106,773,222,412 0.557199 0.000000
全部的19,933,230,517,200 1.000000 0.989038

錯誤成本是伊利諾伊 Deuces 的最佳回報（第二表）減去使用 NSUD 策略的伊利諾伊 Deuces 的回報（第三個表）= 0.989131 - 0.989038 = 0.000093。