請問巫師 #332

設 a(x) = 只用一分錢硬幣和五分硬幣賺取 x 美分的方法數，其中 x 可以被 5 整除。

a(x) = 1+(x/5)

換句話說，方法數就是找零中可能的五分硬幣的數量，範圍從 0 到 x/5。

設 b(x) = 只用 1 美分、5 美分和 10 美分硬幣賺取 x 美分的方法數，其中 x 可以被 5 整除。

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10)，其中 x>=10。

用簡單的英語來說，賺取 x 美分的方法數是 (1) b(x-10) = 通過在每種方式中添加一角硬幣賺取 x-10 美分的方法數和 (2) a(x) = 不使用一角硬幣的方法數之和。

令 c(x) = 賺取 x 美分的方法數，只使用 1 分硬幣、5 分硬幣、10 分硬幣和 25 美分硬幣，其中 x 可以被 25 整除。

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25)，其中 x>=25。

用簡單的英語來說，賺取 x 美分的方法數是 (1) c(x-25) = 通過在每種方法上加 25 美分賺取 x-25 美分的方法數，以及 (2) b(x) = 不使用 25 美分賺取的方法數。

令 d(x) = 賺取 x 美分的方法數，只使用 1 美分、5 美分、10 美分、25 美分和半美元，其中 x 可以被 50 整除。

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50)，其中 x>=50。

用簡單的英語來說，得到 x 美分的方法數是 (1) d(x-50) = 通過在每種方法上加半美元得到 x-50 美分的方法數和 (2) c(x) = 不使用半美元的方法數之和。

下表顯示了 x = 5 至 100 的這些值。

最後，加上 1 美元硬幣，答案就是 292+1 = 293。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

您預計球落在 1 到 12 的次數為 3000*(12/38) = 947.37。

您的結果與預期之間的差異是 947.37 - 742 = 205.37。

變異數為 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20。

標準差是變異數的平方根 = sqrt(648.20) = 25.46。

您的結果比預期低 205.37/25.46 = 11.75 個標準差。

p 值，即偏離 11.75 個標準差或更多的機率是 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分之一。

我很想知道輪子在哪裡。

讓我們忽略拆分十，因為即使有此規則，玩家仍然應該在 20 時對抗任何數字。

假設有六副牌，一對 A 的機率為 combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689%。

兩張 A 牌能夠發展成黑傑克的預期數量為 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355。

莊家沒有黑傑克的機率是 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%。

莊家拿到21點的機率是7.7981%。這其中的數學原理太複雜，難以解釋。

此規則有用的機率是 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044%。

每次事件的收益 = Pr(莊家未拿到 21 點) * (0.2) + Pr(莊家拿到 21 點) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。

此規則的總體收益是情況發生的頻率與發生時的收益的乘積 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%。

[劇透=答案]

骰子 1 = 1,2,2,3,3,4。
骰子 2 = 1,3,4,5,6,8。

恐怕我對這個問題的解決方案基本上是反覆試驗。

提醒一下，以下是提到的支付表：

不那麼醜的小鴨子：1-2-3-4-4-10-16-25-200-800。
伊利諾州平分：1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

接下來，這是「不那麼醜小鴨」的回報表，遵循該遊戲的最佳策略。

接下來，這是伊利諾州雙骰彩券的賠償表，使用了該賠償表的正確策略。右下角單元格顯示賠償金為0.989131。

下表顯示了使用「不那麼醜小鴨」組合和機率的賠付表，得出的「伊利諾伊雙人賽」賠付表的回報率。右下角單元格顯示回報率為0.989131。

錯誤成本是伊利諾伊 Deuces 的最佳回報（第二表）減去使用 NSUD 策略的伊利諾伊 Deuces 的回報（第三個表）= 0.989131 - 0.989038 = 0.000093。