請問巫師 #331
假設美國眾議院所有435名有投票權的議員都參加了同一場Zoom會議，會議安排在上午9點至10點進行。然而，他們無需參加整個會議，只需參加其中的一部分即可。每位議員都會隨機選擇一個確切的時間，在一小時的時間內加入和退出會議。那麼，至少有一位議員在會議中與其他所有議員重疊的機率是多少？換句話說，在會議期間，他們可以看到其他所有議員的面孔，但不一定同時出現。
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[劇透=答案]2/3[/劇透]
這是我的解決方案（PDF）。
這個問題已在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論。
它改編自 FiveThirtyEight 上的謎題“ 你能參加世界上最大的 Zoom 會議嗎？” 。
如果玩家已達到重新分牌的限制，並且允許抽牌分牌，則您的基本策略圖表不會說明如何處理一對 A。
幾乎不可能找到一款允許抽牌分牌A，然後拿到一對A，最後達到分牌限制的二十一點遊戲。儘管如此，我還是盡力解決最棘手的情況，並且承認我當時的基本策略表並沒有說明在這種情況下該怎麼做。
答案是要牌，但雙倍除外，如果：
- 莊家有 6 點明牌（任意數量的牌）
- 發牌人有一副或兩副牌，牌面為五點。
這是在各種此類情況下這種情況的預期值。
擊中並加倍軟 12 的期望值
| 甲板 | 站立 軟 17 | 經銷商 明牌 | 打 電動車 | 雙倍的 電動車 | 最好的 玩 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 站立 | 5 | 0.182014 | 0.215727 | 雙倍的 |
| 1 | 打 | 5 | 0.182058 | 0.215933 | 雙倍的 |
| 1 | 站立 | 6 | 0.199607 | 0.247914 | 雙倍的 |
| 1 | 打 | 6 | 0.201887 | 0.258415 | 雙倍的 |
| 2 | 站立 | 5 | 0.169241 | 0.170637 | 雙倍的 |
| 2 | 打 | 5 | 0.169339 | 0.171311 | 雙倍的 |
| 2 | 站立 | 6 | 0.192311 | 0.213109 | 雙倍的 |
| 2 | 打 | 6 | 0.194397 | 0.227011 | 雙倍的 |
| 4 | 站立 | 5 | 0.162849 | 0.148228 | 打 |
| 4 | 打 | 5 | 0.162955 | 0.149183 | 打 |
| 4 | 站立 | 6 | 0.18902 | 0.196249 | 雙倍的 |
| 4 | 打 | 6 | 0.19074 | 0.211466 | 雙倍的 |
預期值取自我的二十一點手持計算器。
在即將到來的2020年總統大選中，候選人至少需要多少比例的普選票才能獲勝？假設所有候選人都投票，並且只投給兩位候選人中的一位。
答案是，候選人即使只獲得 21.69% 的普選票，仍然能夠獲勝。
具體來說，下表顯示了各州的人口和選舉人票數。人口數據截至2019年，選舉人票數則為2010年上次調整時的數據。提醒一下美國以外的讀者，每個州還會額外獲得兩張選舉人票。因此，人口較少的州對選舉的影響力遠大於人口較多的州。截至2020年大選，懷俄明州選民在總統選舉中的影響力幾乎是德州選民的四倍。
根據規則，一位候選人可以在德克薩斯州、佛羅裡達州、加利福尼亞州、北卡羅來納州、紐約州、喬治亞州、亞利桑那州、維吉尼亞州、俄亥俄州、賓夕法尼亞州、新澤西州和密蘇裡州獲得100%的選票，並在其他每個州獲得一半（少一票）的選票，從而獲得總計257,085,170張普選票。同時，另一位候選人只能獲得71,215,374張普選票，並以剛好所需的270張選舉人票獲勝。
下表按每張選舉人票對應的人口（百萬）進行細分（從少到多）。
選舉團假設情景
| 狀態 | 人口 | 選舉 投票 | 百萬人 每張選舉人票 | 投票給A | 投票給 B |
|---|---|---|---|---|---|
| 德州 | 28,995,881 | 三十八 | 1.311 | - | 28,995,881 |
| 佛羅裡達 | 21,477,737 | 二十九 | 1.350 | - | 21,477,737 |
| 加州 | 39,512,223 | 55 | 1.392 | - | 39,512,223 |
| 北卡羅來納州 | 10,488,084 | 15 | 1.430 | - | 10,488,084 |
| 紐約 | 19,453,561 | 二十九 | 1.491 | - | 19,453,561 |
| 喬治亞州 | 10,617,423 | 16 | 1.507 | - | 10,617,423 |
| 亞利桑那 | 7,278,717 | 11 | 1.511 | - | 7,278,717 |
| 維吉尼亞州 | 8,535,519 | 十三 | 1.523 | - | 8,535,519 |
| 俄亥俄州 | 11,689,100 | 18 | 1.540 | - | 11,689,100 |
| 賓州 | 12,801,989 | 20 | 1.562 | - | 12,801,989 |
| 科羅拉多州 | 5,758,736 | 9 | 1.563 | 2,879,369 | 2,879,367 |
| 華盛頓 | 7,614,893 | 12 | 1.576 | 3,807,447 | 3,807,446 |
| 紐澤西州 | 8,882,190 | 14 | 1.576 | - | 8,882,190 |
| 伊利諾州 | 12,671,821 | 20 | 1.578 | 6,335,911 | 6,335,910 |
| 麻薩諸塞州 | 6,949,503 | 11 | 1.583 | 3,474,752 | 3,474,751 |
| 密西根州 | 9,986,857 | 16 | 1.602 | 4,993,429 | 4,993,428 |
| 田納西州 | 6,833,174 | 11 | 1.610 | 3,416,588 | 3,416,586 |
| 密蘇裡州 | 6,137,428 | 10 | 1.629 | - | 6,137,428 |
| 印第安納州 | 6,732,219 | 11 | 1.634 | 3,366,110 | 3,366,109 |
| 馬裡蘭州 | 6,045,680 | 10 | 1.654 | 3,022,841 | 3,022,839 |
| 俄勒岡州 | 4,217,737 | 7 | 1.660 | 2,108,869 | 2,108,868 |
| 威斯康辛州 | 5,822,434 | 10 | 1.717 | 2,911,218 | 2,911,216 |
| 路易斯安那州 | 4,648,794 | 8 | 1.721 | 2,324,398 | 2,324,396 |
| 南卡羅來納州 | 5,148,714 | 9 | 1.748 | 2,574,358 | 2,574,356 |
| 俄克拉荷馬州 | 3,956,971 | 7 | 1.769 | 1,978,486 | 1,978,485 |
| 明尼蘇達州 | 5,639,632 | 10 | 1.773 | 2,819,817 | 2,819,815 |
| 肯塔基州 | 4,467,673 | 8 | 1.791 | 2,233,837 | 2,233,836 |
| 阿拉巴馬州 | 4,903,185 | 9 | 1.836 | 2,451,593 | 2,451,592 |
| 猶他州 | 3,205,958 | 6 | 1.872 | 1,602,980 | 1,602,978 |
| 愛荷華州 | 3,155,070 | 6 | 1.902 | 1,577,536 | 1,577,534 |
| 內華達州 | 3,080,156 | 6 | 1.948 | 1,540,079 | 1,540,077 |
| 康乃狄克州 | 3,565,287 | 7 | 1.963 | 1,782,644 | 1,782,643 |
| 阿肯色州 | 3,017,825 | 6 | 1.988 | 1,508,913 | 1,508,912 |
| 密西西比州 | 2,976,149 | 6 | 2.016 | 1,488,075 | 1,488,074 |
| 堪薩斯州 | 2,913,314 | 6 | 2.060 | 1,456,658 | 1,456,656 |
| 愛達荷州 | 1,787,065 | 4 | 2.238 | 893,533 | 893,532 |
| 新墨西哥州 | 2,096,829 | 5 | 2.385 | 1,048,415 | 1,048,414 |
| 內布拉斯加州 | 1,934,408 | 5 | 2.585 | 967,205 | 967,203 |
| 西維吉尼亞州 | 1,792,147 | 5 | 2.790 | 896,074 | 896,073 |
| 蒙大拿 | 1,068,778 | 3 | 2.807 | 534,390 | 534,388 |
| 夏威夷 | 1,415,872 | 4 | 2.825 | 707,937 | 707,935 |
| 新罕布夏州 | 1,359,711 | 4 | 2.942 | 679,856 | 679,855 |
| 緬因州 | 1,344,212 | 4 | 2.976 | 672,107 | 672,105 |
| 德拉瓦州 | 973,764 | 3 | 3.081 | 486,883 | 486,881 |
| 南達科他州 | 884,659 | 3 | 3.391 | 442,330 | 442,329 |
| 羅德島 | 1,059,361 | 4 | 3.776 | 529,681 | 529,680 |
| 北達科他州 | 762,062 | 3 | 3.937 | 381,032 | 381,030 |
| 阿拉斯加州 | 731,545 | 3 | 4.101 | 365,773 | 365,772 |
| 直流 | 705,749 | 3 | 4.251 | 352,875 | 352,874 |
| 佛蒙特 | 623,989 | 3 | 4.808 | 311,995 | 311,994 |
| 懷俄明州 | 578,759 | 3 | 5.184 | 289,380 | 289,379 |
| 全部的 | 328,300,544 | 538 | 71,215,374 | 257,085,170 |
資料來源：
假設七出局不會導致 Fire Bet 輸掉，平均需要擲多少次才能贏得全部六個點數？
答案是 219.149467。
我能想到兩種解決這個問題的方法。第一種是使用馬可夫鏈。下表顯示了在128種可能狀態下，任意給定一個狀態所需的預期擲骰結果。
Fire Bet — 馬可夫鏈
| 要點 4 製成 | 要點 5 製成 | 第 6 點 製成 | 第 8 點 製成 | 第 9 點 製成 | 第 10 點 製成 | 預期的 麵包捲 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 不 | 不 | 不 | 不 | 不 | 不 | 219.149467 |
| 不 | 不 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 183.610129 |
| 不 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 208.636285 |
| 不 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 168.484195 |
| 不 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 215.452057 |
| 不 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 177.801038 |
| 不 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 203.975216 |
| 不 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 160.639243 |
| 不 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 215.452057 |
| 不 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 177.801038 |
| 不 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 203.975216 |
| 不 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 160.639243 |
| 不 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 211.272344 |
| 不 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 170.911638 |
| 不 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 198.520513 |
| 不 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 150.740559 |
| 不 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 不 | 208.636285 |
| 不 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 168.484195 |
| 不 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 196.113524 |
| 不 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 149.383360 |
| 不 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 203.975216 |
| 不 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 160.639243 |
| 不 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 189.938796 |
| 不 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 137.865939 |
| 不 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 203.975216 |
| 不 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 160.639243 |
| 不 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 189.938796 |
| 不 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 137.865939 |
| 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 198.520513 |
| 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 150.740559 |
| 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 182.290909 |
| 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 121.527273 |
| 是的 | 不 | 不 | 不 | 不 | 不 | 183.610129 |
| 是的 | 不 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 136.890807 |
| 是的 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 168.484195 |
| 是的 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 113.177130 |
| 是的 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 177.801038 |
| 是的 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 126.849235 |
| 是的 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 160.639243 |
| 是的 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 98.046264 |
| 是的 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 177.801038 |
| 是的 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 126.849235 |
| 是的 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 160.639243 |
| 是的 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 98.046264 |
| 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 170.911638 |
| 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 113.931818 |
| 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 150.740559 |
| 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 75.954545 |
| 是的 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 不 | 168.484195 |
| 是的 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 113.177130 |
| 是的 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 149.383360 |
| 是的 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 80.208000 |
| 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 160.639243 |
| 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 98.046264 |
| 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 137.865939 |
| 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 53.472000 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 160.639243 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 98.046264 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 137.865939 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 53.472000 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 150.740559 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 75.954545 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 121.527273 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 0.000000 |
簡而言之，任何給定狀態的預期擲骰次數是直到得分或失分（5.063636）的預期擲骰次數加上玩家前進到下一個狀態的預期擲骰次數，再除以不前進的機率。
另一種方法是使用積分。首先計算每種可能結果的預期擲骰次數。然後將每個結果的機率與平均擲骰次數進行點積，得到解決過關投注的平均擲骰次數，右下角顯示的結果是 3.375758 = 557/165。
火注 — 預期擲骰結果
| 事件 | 可能性 | 平均擲骰數 | 預期卷 |
|---|---|---|---|
| 4分獲勝 | 0.027778 | 5 | 0.138889 |
| 第 5 部分勝利 | 0.044444 | 4.6 | 0.204444 |
| 第 6 部分勝利 | 0.063131 | 4.272727 | 0.269743 |
| 第 8 部分勝利 | 0.063131 | 4.272727 | 0.269743 |
| 第 9 部分勝利 | 0.044444 | 4.6 | 0.204444 |
| 第 10 部分勝利 | 0.027778 | 5 | 0.138889 |
| 第 4 部分損失 | 0.055556 | 5 | 0.277778 |
| 第 5 部分損失 | 0.066667 | 4.6 | 0.306667 |
| 第 6 部分損失 | 0.075758 | 4.272727273 | 0.323691 |
| 第 8 部分損失 | 0.075758 | 4.272727273 | 0.323691 |
| 第 9 部分損失 | 0.066667 | 4.6 | 0.306667 |
| 第 10 部分損失 | 0.055556 | 5 | 0.277778 |
| 出來贏 | 0.222222 | 1 | 0.222222 |
| 出來滾動損失 | 0.111111 | 1 | 0.111111 |
| 全部的 | 1.000000 | 3.375758 |
從那裡我們可以得到任何給定點獲勝之間的預期結果：
- 在 4 點之間擲骰子獲勝 = (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = 約 121.527273。
- 在 5 點之間擲骰子獲勝 = (4/36)*(4/10)*4.6*(557/165) = 1671/21 = 約 75.954545。
- 在 6 點之間滾動獲勝 = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = 約 53.472。
10、9 和 8 分獲勝者的預期擲點數分別與 4、5 和 6 分獲勝者的預期擲點數相同。
假設點數為 4 的獲勝者不是離散發生的，而是服從平均值為 6684/55 的指數分佈。此隨機變數持續 x 個單位時間而不發生的機率為 exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684)。
它在 x 個時間單位內至少發生一次的機率是 1-exp(-55x/6684)。
如果我們將這六個點表示為連續變量，那麼這六個點在 x 個時間單位內發生的機率是 (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2。
六個事件中至少有一個事件在 x 個時間單位內沒有發生的機率是 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2。
將上述內容從 0 積分到無窮大，我們可以得到所有六個事件發生的預期時間。
使用此積分計算器可得出答案 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = apx 219.1494672902。
這為何有效很難解釋，所以請相信這一點。