請問巫師 #330
在一家老式西部酒吧里，一場關於紙牌遊戲的爭吵逐漸升級為附近所有的牛仔都拔出槍互相射擊。
當硝煙最終散去時，90%的牛仔腿部中彈，85%的牛仔手臂中彈，80%的牛仔腹部中彈，75%的牛仔頭部中彈。令人驚訝的是，只有四種傷勢都達到的牛仔在這場激烈的槍戰中陣亡。
最終被安葬的牛仔的最小可能百分比是多少？
[劇透=答案]30%[/劇透]
[劇透=嚮導解]
首先，向 90% 的牛仔的腿部開槍。
接下來，射擊手臂上剩下的10%。你還有75%的子彈可以射擊手臂，所以從那些已經中過腿的子彈中抽取。
所以，我們現在處於：
僅腿部 15% (90% - 75%)
僅武裝 10%
兩者均為 75%
都不是 0%
總腿長：90%
總臂長：85%
接下來，我們來看看腹部受傷的情況（80%）。拍攝那 25% 的受傷者，他們腹部只有一處受傷。我們還有 80% - 25% = 55% 的受傷者可以拍攝。我們會從腹部兩處受傷的人員中抽取這 55%。所以現在我們得出：
腿和內臟 15%
手臂和內臟 10%
腿部和手臂 20% (75% - 55%)
三者皆有 55%
一次受傷 0%
零傷害 0%
最後，考慮頭部受傷的75%。首先，射擊恰好兩次受傷的45%。我們還剩30%，所以從三次受傷的55%中抽取。這樣就剩下：
頭、腿和內臟 15%
頭部、手臂和內臟 10%
頭部、腿部和手臂 20%
腿部、手臂和腸道：25% (55% - 30%)
全部四個 30%
零傷害 0%
一次受傷 0%
兩次受傷 0%
[劇透=CharliePatrick 解答]
假設有20個牛仔。我們選擇這個數字是因為所有涉及的機率都能被5%整除，而20的5%等於1。
把他們排成一排。然後，從左邊開始，射殺其中90%的人，也就是18人，射中他們的腿部。然後畫一個圖表，上面一行寫牛仔的編號，左邊一列寫每個人的受傷總數，如下圖所示。
| 受傷 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | ||
| 2 | ||||||||||||||||||||
| 3 | ||||||||||||||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 全部的 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
接下來，你需要射中85%的子彈，也就是17發子彈擊中手臂。從兩個腿部沒有中彈的牛仔開始。你剩15發子彈。回到左邊的牛仔，沿著這一排往下移動，射中腿部的子彈總數達到15發。你的傷害卡應該是這樣的：
| 受傷 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 一個 | 一個 |
| 2 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | |||||
| 3 | ||||||||||||||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 全部的 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
接下來，你需要射擊 80%，也就是腹部 16 發子彈。從五個只受過一次傷的牛仔開始。你還有 11 發子彈要打。回到左邊的牛仔，沿著這一排往下移動，總共射擊 11 發已經受過兩次傷的牛仔。你的傷勢卡應該是這樣的：
| 受傷 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 一個 | 一個 |
| 2 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 |
| 3 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | |||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 全部的 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
接下來，你需要射擊75%，也就是頭部15個。從9個只被射中兩次的牛仔開始。你還有6個牛仔需要射擊。回到左邊的牛仔，沿著這一排往下移動，總共射擊6個已經被射中三次的牛仔。你的傷害卡應該是這樣的：
| 受傷 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 一個 | 一個 |
| 2 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 一個 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 |
| 3 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 |
| 4 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | ||||||||||||||
| 全部的 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
可以看到，6名牛仔被槍擊四次，14名牛仔被槍擊三次。因此，最多只能受三次傷的比例是14/20 = 70%。
對於一般情況，如果四個機率分別是 a、b、c 和 d，那麼可以存活的最大比值是 1-(a+b+c+d)，只要 a+b+c+d >=3 且 a+b+c+d <=4。
我要感謝並讚揚維加斯巫師論壇成員 CharliePatrick 提供的解決方案。
[劇透]從這篇文章開始，這個問題就在我的論壇中被提出並討論過。
一位賭場荷官正在研究一種新的三張牌撲克遊戲。她從一副標準牌中取出所有人頭牌，並徹底洗牌。然後，她給玩家1發了3張牌，給玩家2發了3張牌，給玩家3發了3張牌，最後給玩家4發了3張牌。四手牌都包含順子（任意花色的JQK）的機率是多少？
[劇透=解]
每次發牌給一位玩家。第一位玩家拿到每種等級的牌的機率為 4^3/combin(12,3) = 64/220。
假設第一個玩家拿到順子，那麼牌堆裡每個點數的牌就剩下三張了。第二位玩家拿到每個點數一張的機率是 3^3/combin(9,3) = 27/84。
假設前兩位玩家拿到順子，那麼牌堆裡每個點數的牌就剩下兩張了。那麼第三位玩家拿到每種點數各一張的機率是 2^3/combin(6,3) = 8/20。
假設前三名玩家拿到了順子，那麼牌堆裡就剩下一張牌，每張牌都剩下一張。這三張牌顯然組成了順子。
因此，四名玩家全部拿到順子的機率為 (64/220)*(27/84)*(8/20)*1 = 216/5775 = 72/1925 = 3.74%。
[劇透]這個問題是在我在 Wizard of Vegas 的論壇上提出並討論的，從這篇文章開始。
現在你已經分析了Oscar's Grind 、 Labouchere和斐波那契投注系統。哪一個系統整體上能提供最高的機率來實現你的獲勝目標？
假設每個系統都基於百家樂中的玩家投注。假設我們的Oscar's Grind和Labouchere投注系統的資金是現有資金的50倍。斐波那契數列（斐波那契數列為1、2、3、5、8、13和21的和）的資金是現有資金的53倍。
以下是每種方法的成功機率：
- 拉布謝爾：97.53%
- 奧斯卡的磨礪：97.69%
- 斐波那契：97.93%
如果我一直說“所有投注系統都同樣沒用”，你可能會疑惑，為什麼它們會有所不同。原因是我用「以總輸錢數與總投注金額之比衡量」來限定這個說法。斐波那契投注系統的成功機率最高，因為玩家平均投注金額較小。其他兩種投注系統的平均投注金額較大，這更有可能消耗玩家的資金。拉布謝爾投注系統的成功機率最低，但投注額最高，這讓玩家可以更長時間地享受遊戲體驗。整體而言，以下是每種投注系統的平均投注額與獲勝目標的比率：
- 拉布謝爾：20.95
- 奧斯卡的磨礪：14.56
- 斐波那契數列：9.59
總而言之，你選擇的投注系統應該取決於你的遊戲目的。如果你想最大化你的成功機率，斐波那契數列是不錯的選擇。如果你想玩得更久、投注更多，那麼洛布切爾數列是最佳選擇。
由於它們都基於相同的賭注，因此無論使用什麼系統，您玩得越多，輸掉的錢與賭注的錢之比總是會接近 1.235%，即玩家賭注的莊家優勢。
一隻青蛙可以跳一英尺或兩英尺。青蛙多次跳躍，總共跳了十英尺，並且永遠向前。考慮到跳躍距離和順序，有多少種不同的方法可以做到這一點？
[劇透=答案]89[/劇透]
[劇透=解]
- 如果青蛙只需要跳一隻腳，顯然只有一種方法。記住，青蛙不能超出目標。
- 如果青蛙需要跳兩英尺，則有兩種方法可以實現 - （1）1 英尺和 1 英尺，或（2）2 英尺。
如果青蛙需要跳三英尺，那麼在最後一次跳躍之前，它可以離青蛙一英尺，也可以離青蛙兩英尺。有一種方式可以離青蛙兩英尺，如步驟1所示；還有兩種方式可以離青蛙一英尺，如步驟2所示。因此，跳三英尺有三種方式。這也很容易驗證：(1) 1+1+1，(2) 1+2，(3) 2+1。
如果青蛙需要跳四英尺，那麼在最後一次跳躍之前，它可以離青蛙兩英尺或三英尺遠。如步驟2所示，有兩種方法可以離青蛙兩英尺遠，如步驟3所示，有三種方法可以離青蛙一英尺遠。因此，跳四英尺遠的方法有五種。這也很容易驗證：(1) 1+1+1+1，(2) 1+1+2，(3) 1+2+1，(4) 2+1+1，(5) 2+2。
如果青蛙需要跳5英尺，那麼它在最後一次跳躍前可以距離目標3英尺或4英尺。距離目標2英尺有3種方法，如步驟3所示；距離目標1英尺有5種方法，如步驟4所示。因此，跳5英尺有3+5=8種方法。這也很容易驗證：(1) 1+1+1+1+1，(2) 1+1+1+2，(3) 1+1+2+1，(4) 1+2+1+1，(5) 2+1+1+1，(6) 2+2+1，(7) 2+1+2，(8) 11+2+2+11+2。
你開始看規律了嗎？這就是斐波那契數列。依照同樣的邏輯，青蛙總共可以跳出10英尺，總共有89種方法。 [劇透]