請問巫師 #329
如果我使用完美的投注策略來玩視訊撲克，哪個遊戲能讓我獲得同花大順的最佳機會？
作為比較基礎，假設採用最佳策略，傳統視訊撲克中出現同花大順的機率約為 1/40,000 到 1/45,000。以下是一些隨機選擇的遊戲的具體數字：
- 9-6 J 或更好：40,391 分之一
- 25-15-9-4-4-3（伊利諾州） Deuces Wild — 43,423 分之一
- 9-7 三倍獎金：45,358 分之一
對於渴望皇家牌的玩家來說，在Chase the Royal中，機率會顯著上升。這是早期的視訊撲克變體，玩家可以在發牌時將一對人頭牌換成三張同花大順。為了使交易更有價值，如果您切換，遊戲會增加順子和同花的贏率。確切的皇家機率取決於基礎遊戲和賠率表。在三倍紅利和 8-5 賠率表的基礎遊戲中，機率最大，皇家機率為 9,151 分之一。這包括抽牌中的皇家牌，1 賠 800，機率為 9,282 分之一，以及發牌中的皇家牌，1 賠 2000，機率為 649,773 分之一。
然而，如果考慮到玩家必須支付相當於基本賭注的費用才能啟用某項功能的遊戲，情況會更加樂觀。在“Dream Card Draw Poker” （不要與“Dream Card Poker”混淆）中，玩家通常會拿到自己夢寐以求的牌（假設是數學家在做夢）作為第五張牌。在「Jacks or Better」遊戲中，「Dream Card」出現的機率最高，為50.5%。在「9-6 Jacks or Better」遊戲中，「Royal」（皇家）牌的總出現頻率為8,105分之一。請記住，由於啟用該功能需要支付費用，皇家牌的實際贏利將降至1分之400。
只要我提到夢幻牌撲克（一款不同於夢幻牌抽牌撲克的遊戲），皇家牌的出現頻率就沒那麼高。皇家牌在11-8-6 Js or Better遊戲中出現的頻率最高，為1/15,034。
這個答案沒有考慮到「Movin' On Up Poker」這個古老而鮮為人知的電子撲克遊戲，玩家可以抽兩到三次，而不是一次。我不知道這款遊戲中的“皇家頻率”，但在“三次抽獎”中，玩家必須支付相當於其基本賭註五倍的費用才能獲得額外的兩次抽獎，我粗略估計這個概率大約是四千分之一。
總而言之，如果不算那些玩家必須支付額外費用才能使用某種噱頭的遊戲，我的答案就是《追逐皇家》。
在聖塔菲站，20選1基諾彩券有一個附加投注，零中獎賠率為1賠200。賠率是多少？
經過一番研究，我發現這並不是一個附加投注，而是20選號彩券中了零分後所支付的金額。以下是我對Station Casinos 20選號彩券的完整分析。
車站賭場精選 20 基諾
| 抓住 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 20 | 5萬 | 1 | 0.000000 | 0.000000 |
| 19 | 5萬 | 1,200 | 0.000000 | 0.000000 |
| 18 | 5萬 | 336,300 | 0.000000 | 0.000000 |
| 17 | 5萬 | 39,010,800 | 0.000000 | 0.000001 |
| 16 | 10000 | 2,362,591,575 | 0.000000 | 0.000007 |
| 15 | 8000 | 84,675,282,048 | 0.000000 | 0.000192 |
| 14 | 4000 | 1,940,475,213,600 | 0.000001 | 0.002196 |
| 十三 | 1000 | 29,938,760,438,400 | 0.000008 | 0.008468 |
| 12 | 200 | 322,309,467,844,650 | 0.000091 | 0.018234 |
| 11 | 20 | 2,482,976,641,173,600 | 0.000702 | 0.014047 |
| 10 | 10 | 13,929,498,956,983,900 | 0.003940 | 0.039401 |
| 9 | 5 | 57,559,913,045,388,000 | 0.016281 | 0.081407 |
| 8 | 2 | 176,277,233,701,501,000 | 0.049862 | 0.099724 |
| 7 | 1 | 400,535,252,907,552,000 | 0.113295 | 0.113295 |
| 6 | 0 | 672,327,031,666,248,000 | 0.190175 | 0.000000 |
| 5 | 0 | 824,721,158,843,931,000 | 0.233281 | 0.000000 |
| 4 | 0 | 724,852,581,015,174,000 | 0.205032 | 0.000000 |
| 3 | 0 | 441,432,713,697,822,000 | 0.124864 | 0.000000 |
| 2 | 1 | 175,755,617,490,799,000 | 0.049714 | 0.049714 |
| 1 | 2 | 40,896,043,959,078,000 | 0.011568 | 0.023136 |
| 0 | 200 | 4,191,844,505,805,500 | 0.001186 | 0.237141 |
| 全部的 | 3,535,316,142,212,170,000 | 1.000000 | 0.686961 |
右下角單元格顯示該彩票的總體回報率為 69.70%，這是現場基諾彩票的典型回報率。
為了回答關於捕獲 0 的問題，機率列顯示該機率為 0.001186，並且以 1 贏 200，其回報率為 23.71%。
隨機內接於半徑為 1 的圓的矩形的平均面積和周長是多少？
好問題。以下是我的答案：
這是我對這兩個問題的解決方案（PDF）。
我理解，如果你提早退休，社保會減少你的退休金，如果你晚退休，社保會增加。那麼，我應該什麼時候退休才能最大限度地提高我的退休金呢？
確實如此。計算公式一直在調整，以適應從65歲提高到67歲的完全退休年齡，以及延遲申請的激勵措施（延遲退休積分）。為了簡單起見，這個答案只適用於1960年或以後出生的人，也就是完全退休年齡達到67歲的時候。
先說說正式退休年齡的每月福利，這部分福利被稱為「基本保險金額」（PIA）。最早可以申請退休的年齡是62歲，最晚是70歲。 70歲以後也可以申請，但不再有獎勵。
如果提前1至36個月申請，每月福利將減少1/180。例如，如果在65歲時提前24個月申請，每月福利將減少24/180 = 13.33%。
如果提前 37 至 60 個月申請，則在 67 歲之前的前 36 個月，每月福利將減少 36/180，即 20%，再加上 64 歲之前的每個月的 1/240。例如，如果在 62 歲時提前 60 個月申請，則每月福利將減少 (36/180) + (24/240) = 20% + 10% = 30%。
晚申請怎麼辦？如果在67歲以後申請，每月福利將增加1/150。例如，如果晚申請36個月，到70歲時，每月福利將增加36/150 = 24%。
從數學角度來看，何時申請才能達到總福利？幸運的是，考慮到生活成本調整，我們可以忽略通貨膨脹，讓事情變得簡單。此外，我們還可以忽略配偶和寡婦等其他福利的潛在權益，這些福利會使情況變得非常複雜。此外，我們還可以忽略收入測試，該測試會降低超過一定門檻的工作收入的福利。也就是說，在簡單的單人情況下，答案取決於您預計何時死亡。下表顯示了根據福利開始領取的具體年齡，每月福利與基本保險金額的比率。
收益比率
| 年齡（歲） | 年齡（月） | 收益比率 |
|---|---|---|
| 62 | 0 | 70.00% |
| 62 | 1 | 70.42% |
| 62 | 2 | 70.83% |
| 62 | 3 | 71.25% |
| 62 | 4 | 71.67% |
| 62 | 5 | 72.08% |
| 62 | 6 | 72.50% |
| 62 | 7 | 72.92% |
| 62 | 8 | 73.33% |
| 62 | 9 | 73.75% |
| 62 | 10 | 74.17% |
| 62 | 11 | 74.58% |
| 63 | 0 | 75.00% |
| 63 | 1 | 75.42% |
| 63 | 2 | 75.83% |
| 63 | 3 | 76.25% |
| 63 | 4 | 76.67% |
| 63 | 5 | 77.08% |
| 63 | 6 | 77.50% |
| 63 | 7 | 77.92% |
| 63 | 8 | 78.33% |
| 63 | 9 | 78.75% |
| 63 | 10 | 79.17% |
| 63 | 11 | 79.58% |
| 64 | 0 | 80.00% |
| 64 | 1 | 80.56% |
| 64 | 2 | 81.11% |
| 64 | 3 | 81.67% |
| 64 | 4 | 82.22% |
| 64 | 5 | 82.78% |
| 64 | 6 | 83.33% |
| 64 | 7 | 83.89% |
| 64 | 8 | 84.44% |
| 64 | 9 | 85.00% |
| 64 | 10 | 85.56% |
| 64 | 11 | 86.11% |
| 65 | 0 | 86.67% |
| 65 | 1 | 87.22% |
| 65 | 2 | 87.78% |
| 65 | 3 | 88.33% |
| 65 | 4 | 88.89% |
| 65 | 5 | 89.44% |
| 65 | 6 | 90.00% |
| 65 | 7 | 90.56% |
| 65 | 8 | 91.11% |
| 65 | 9 | 91.67% |
| 65 | 10 | 92.22% |
| 65 | 11 | 92.78% |
| 66 | 0 | 93.33% |
| 66 | 1 | 93.89% |
| 66 | 2 | 94.44% |
| 66 | 3 | 95.00% |
| 66 | 4 | 95.56% |
| 66 | 5 | 96.11% |
| 66 | 6 | 96.67% |
| 66 | 7 | 97.22% |
| 66 | 8 | 97.78% |
| 66 | 9 | 98.33% |
| 66 | 10 | 98.89% |
| 66 | 11 | 99.44% |
| 67 | 0 | 100.00% |
| 67 | 1 | 100.67% |
| 67 | 2 | 101.33% |
| 67 | 3 | 102.00% |
| 67 | 4 | 102.67% |
| 67 | 5 | 103.33% |
| 67 | 6 | 104.00% |
| 67 | 7 | 104.67% |
| 67 | 8 | 105.33% |
| 67 | 9 | 106.00% |
| 67 | 10 | 106.67% |
| 67 | 11 | 107.33% |
| 68 | 0 | 108.00% |
| 68 | 1 | 108.67% |
| 68 | 2 | 109.33% |
| 68 | 3 | 110.00% |
| 68 | 4 | 110.67% |
| 68 | 5 | 111.33% |
| 68 | 6 | 112.00% |
| 68 | 7 | 112.67% |
| 68 | 8 | 113.33% |
| 68 | 9 | 114.00% |
| 68 | 10 | 114.67% |
| 68 | 11 | 115.33% |
| 69 | 0 | 116.00% |
| 69 | 1 | 116.67% |
| 69 | 2 | 117.33% |
| 69 | 3 | 118.00% |
| 69 | 4 | 118.67% |
| 69 | 5 | 119.33% |
| 69 | 6 | 120.00% |
| 69 | 7 | 120.67% |
| 69 | 8 | 121.33% |
| 69 | 9 | 122.00% |
| 69 | 10 | 122.67% |
| 69 | 11 | 123.33% |
| 70 | 0 | 124.00% |
顯然，如果您計劃長命富貴，那麼晚申請是值得的；如果您預計自己活不過62歲，那麼就趁還能申請的時候盡量申請。問題是，無差異點在哪裡？下表顯示了根據您的死亡年齡，為了最大化總福利，最佳申請年齡。
最佳申請年齡
| 死亡年齡 | 申請年齡（歲） | 申請年齡（月） |
|---|---|---|
| 76 | 62 | 0 |
| 77 | 62 | 6 |
| 78 | 63 | 0 |
| 79 | 63 | 6 |
| 80 | 66 | 0 |
| 81 | 66 | 6 |
| 82 | 68 | 3 |
| 83 | 68 | 9 |
| 84 | 69 | 3 |
| 85 | 69 | 9 |
| 86 | 70 | 0 |
簡單來說，如果您預計會在76歲或之前去世，請儘早申請。如果您預計在86歲或之後去世，請等到70歲再申請。在大多數人實際死亡的中間年齡範圍內，請查閱表格。例如，根據我的精算計算器，62歲的男性平均預期死亡年齡為81.19歲，而女性平均預期死亡年齡為84.13歲。因此，男性平均應在66歲6個月時申請，女性平均應在69歲3個月時申請。
當然，每個人的健康和財務狀況都不同，因此在決定何時申請退休時要仔細考慮一切。