請問巫師 #328
如果您擲一個骰子 20 次，那麼至少一次擊中所有六面的機率是多少？
[劇透=解]
答案可以近似表示為 1 - (prob(沒有 1) + prob(沒有 2) + ... + prob(沒有 6)) = 1 - 6*(5/6)^20 = apx. 0.84349568。
然而，這會導致雙倍減去兩種不同面從未擲過的情況。從六種面中選擇兩種面，一共有(6,2)=15種方法。任兩種給定面從未擲過的機率是(4/6)^20。我們需要將這些值加到機率中，因為它們在上一個步驟中被減去了兩次。所以，現在我們得到的結果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 = 約 0.84800661。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
然而，如果任何一組從未擲出的三面在第一步中被三次減去，在第二步中被三次加去，我們需要將它們減去，因為六面中並非所有面都擲出了。從六面中選擇三面共有 combin(6,3) = 20 種方法。任何特定的三面從未擲出的機率是 (3/6)^20。所以，現在我們得到的結果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20= 約 0.847987537。
然而，如果任何一組從未擲出的四面在第一步中被減去四倍，在第二步中被加去四倍，在第三步中被減去四倍，我們需要將它們加回去，因為每個這樣的狀態已經被減去了兩次。從六面中選擇四面，共有 combin(6,4) = 15 種方法。任何特定的四面從未擲出的機率是 (2/6)^20。所以，現在我們得到的結果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 = 約 0.84798754089。
然而，如果20次擲出的點數都相同，那麼第一步就應該減去五倍，再加去五倍，第三步再減去五倍，第四步再加去五倍。我們需要把這些點數減掉。所以，現在我們得到的結果是：1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 - 6*(1/6)^20 = 約 0.84798754089。
所以答案是 1-6*(5/6)^20+COMBIN(6,4)*(4/6)^20-COMBIN(6,3)*(3/6)^20+COMBIN(6,2)*(2/6)^20-6*(1/6)^20 = 約 0.847987898989。 [/劇透]
一個標識牌上有十個燈泡插座，每個插座都裝有一個燈泡。每個插座都安裝不同尺寸的燈泡。除了每個插座中現有的燈泡外，每個插座還有一個備用燈泡。每個燈泡的壽命呈指數分佈*，平均壽命為一天。一旦一個燈泡壞了，如果該插座還有備用燈泡，備用燈泡就會立即更換。
預計最後一個燈泡燒壞的時間是多久？
一位賭場荷官正在研究一種新的三張牌撲克遊戲。她從一副標準牌中取出所有人頭牌，並徹底洗牌。然後，她給玩家1發了3張牌，給玩家2發了3張牌，給玩家3發了3張牌，最後給玩家4發了3張牌。四手牌都包含順子（任意花色的JQK）的機率是多少？
[劇透=解]
第一手牌是AKQ的機率是1*(8/11)*(4/10) = 29.09%。
假設第一手牌已經是 AKQ，那麼第二手牌是 AKQ 的機率等於 1*(6/8)*(3/7) = 32.14%。
假設第一和第二手牌都是 AKQ，那麼第三手牌是 AKQ 的機率等於 1*(4/5)*(2/4) = 40.00%
由於前三手牌都是AKQ，所以剩下的牌一定是AKQ。因此，機率是上述三個機率的乘積，即216/5775 = 約0.037402597。
[劇透]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
我在 6,000 次體育投注中獲利，投注 11 次，贏 10 次。假設每次投注的獲勝機率為 50%，那麼實現這一目標的機率是多少？
您的預期投注金額將為 6000/22 = 272.73。
6000 次投注的標準差為 sqrt(6000)*0.954545 = 73.93877。
因此，您的表現比預期高出 272.73/73.94 = 3.688556 個標準差。使用高斯曲線，高出這麼多或更多標準差的機率約為 0.000112765 = 約 8868 分之一。