請問巫師 #326
擲骰子遊戲中的鐵十字策略是什麼？您對此有何看法？
鐵十字是一種投注場地和位置的方式，在擲出 7 以外的任何數字時都會獲勝。場地已經涵蓋了 2、3、4、9、10、11 和 12。玩家將在此基礎上加上 5、6 和 8 的位置投注，以覆蓋除 7 之外的其餘數字。下表顯示了場地投注 5 美元、5 美元位置投注 5 美元、6 美元位置投注 6 和 8 的數學計算情況。
鐵十字勳章
| 骰子總數 | 贏 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 10 | 1 | 0.027778 | 0.277778 |
| 3 | 5 | 2 | 0.055556 | 0.277778 |
| 4 | 5 | 3 | 0.083333 | 0.416667 |
| 5 | 2 | 4 | 0.111111 | 0.222222 |
| 6 | 2 | 5 | 0.138889 | 0.277778 |
| 7 | -22 | 6 | 0.166667 | -3.666667 |
| 8 | 2 | 5 | 0.138889 | 0.277778 |
| 9 | 5 | 4 | 0.111111 | 0.555556 |
| 10 | 5 | 3 | 0.083333 | 0.416667 |
| 11 | 5 | 2 | 0.055556 | 0.277778 |
| 12 | 15 | 1 | 0.027778 | 0.416667 |
| 三十六 | 1.000000 | -0.250000 |
表格右下角顯示預期損失為0.25美元。總投注金額為22美元。因此，總賭場優勢為0.25美元/22美元=1/88=1.14%。
說到這兒，你可能會疑惑，為什麼這個賭場優勢會低於每次投注的賭場優勢。答案是，投注6和8的賭場優勢為1.52%，投注5的賭場優勢為4.00%，這些優勢都是基於每次投注的。如果以每次投注為單位來定義位置投注的賭場優勢，那麼投注6和8的賭場優勢為0.46%，投注5的賭場優勢為1.11%。
我們可以對所有投注進行加權平均，得出 1.14% 的賭場優勢，如下所示：
（$5*2.78% + $5*1.11% + $12*0.46%）/22 = $0.25/$22 = 1.14%。
警惕那些在12點的場地投注中只支付2比1賠率的賭場。堅持要求獲得完整的3比1賠率。短賠率會使該投注的賭場優勢從2.78%翻倍至5.56%。
在我看來，與大多數遊戲相比，1.14% 的賠率已經相當不錯了。然而，在擲骰子遊戲中，你的賠率可以更高。例如，如果賠率為 3-4-5 倍，請下注 Pass 和 Come，再加上全賠率，你的賭場優勢可以降至 0.37%。反過來，下注 Don't Pass 和 Don't Come，再加上全賠率，賭場優勢就會降到 0.27%。擲一個公平的骰子，每個面至少擲出兩次，預期擲骰子的次數是多少？
[劇透=解]
雖然這個問題可以用冗長乏味的馬可夫鏈來解決，但我更喜歡用積分法。我在我的Fire Bet和Bonus Craps頁面中解釋瞭如何使用這種方法。
想像一下，重大事件不再由一次擲骰子決定，而是被視為一個時間瞬間。假設事件之間的時間間隔具有無記憶性，平均間隔為一個時間單位。換句話說，事件之間的時間間隔服從平均值為1的指數分佈。這對裁決賭注來說無關緊要，因為事件仍然是一次一個地發生的。
根據泊松分佈，在 x 個單位時間內，骰子任一面擲出次數為零的機率為 exp(-x/6)*(x/6) 0 /0! = exp(-x/6)。泊松分佈也表示，任一面擲出恰好一次的機率為 exp(-x/6)*(x/6) 1 /1! = exp(-x/6) * (x/6)。因此，任一面在 x 個單位時間內擲出兩次或兩次以上機率為 1 - exp(-x/6)*(1 + (x/6))。六面擲出至少兩次的機率為 (1 - exp(-x/6)*(1 + (x/6))) 6。至少有一面未擲出至少兩次的機率等於：
我們需要將其與所有時間結合起來，以找出平均需要多長時間才能實現預期目標。
幸運的是，我們此時可以使用積分計算器。對於連結中的那個，在「計算積分」後面的文字方塊中輸入 1- (1 - exp(-x/6)*(1 + x/6))^6 dx = apx. 24.1338692，並在自訂下將積分的邊界設為 0 到 ∞。
答案是 390968681 / 16200000 = 約 24.13386919753086
[劇透]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
我有一個由兩個部分組成的問題。
對於第 1 部分，給出：- x + y + z = 1
- x^2 + y^2 + z^2 = 4
- x^3 + y^3 + z^3 = 9
x^4 + y^4 + z^4 是多少？
對於第二部分，當出現以下情況時，一般情況的答案是什麼：
- x + y + z = a
- x^2 + y^2 + z^2 = b
- x^3 + y^3 + z^3 = c
你先用一個公平的六面骰擲六次，記錄每次擲出的結果。然後，你把這些數字寫在另一個沒有標籤的公平骰子的六個面上。例如，如果你擲出的六次結果是3、5、3、6、1和2，那麼你的第二個骰子上就不會出現4，而是會出現兩個3。
接下來，你把第二顆骰子擲六次。把這六個數字寫在另一個公平骰子上，然後繼續這個過程，用前一個骰子產生一個新的骰子。
最終，你會得到一個六個面點數都相同的骰子。為了達到這個狀態，從一個骰子轉換到另一個骰子的平均次數是多少（或是總擲骰數除以6）？
[劇透=解]
為了避免混淆，我們用字母而不是數字來標記初始骰子。我們用字母標記每個可能的骰子狀態。例如，AAABBC 表示三個相同字母，兩個相同字母，一個相同字母。初始狀態顯然是 ABCDEF。
令 E(ABCDEF) 為從狀態 ABCDEF 開始的預期擲骰次數。
E(ABCDEF) = 1 + [180 × E(AAAAAB) + 450 × E(AAAABB) + 300 × E(AAABBB) + 1800 × E(AAAABC) + 7200 × E(AAABBC) + 1800 × E(AABBCC) + 7200 × E(AAABBC) + 1800 × E(AABB ×) + AAA ×BAA × E(AAABBC) + 1800 × E(AABB) + AAA ×BAA.202020000000000+) + 20202022229 × +202022) +2020202022) +20202,000 E(AABCDE) + 720 × E(ABCDEF)]/46656基於從一個狀態到另一個狀態的組合數量，下面的轉換矩陣顯示了從每個初始狀態（左列）到每個新狀態的轉換方式數量。順便說一下，這花了幾個小時才建造好。
過渡矩陣A
| 狀態 前 | 啊啊啊啊 | AAAAB | AAAABB | AAABBB | AAAABC | AAABBC | 美國商務部商務合作委員會 | AAAABCD | ABCD | ABCDE | ABCDEF |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| AAAAB | 15,626 | 18,780 | 9,750 | 2,500 | - | - | - | - | - | - | - |
| AAAABB | 4,160 | 13,056 | 19,200 | 10,240 | - | - | - | - | - | - | - |
| AAABBB | 1,458 | 8,748 | 21,870 | 14,580 | - | - | - | - | - | - | - |
| AAAABC | 4,098 | 12,348 | 8,190 | 2,580 | 7,920 | 10,080 | 1,440 | - | - | - | - |
| AAABBC | 794 | 5,172 | 8,670 | 5,020 | 6,480 | 17,280 | 3,240 | - | - | - | - |
| 美國商務部商務合作委員會 | 192 | 2,304 | 5,760 | 3,840 | 5,760 | 23,040 | 5,760 | - | - | - | - |
| AAAABCD | 732 | 4,464 | 4,140 | 1,680 | 7,920 | 14,400 | 2,520 | 4,320 | 6,480 | - | - |
| ABCD | 130 | 1,596 | 3,150 | 1,940 | 5,280 | 16,800 | 3,600 | 4,800 | 9,360 | - | - |
| ABCDE | 68 | 888 | 1,380 | 760 | 3,960 | 11,520 | 2,520 | 7,200 | 14,040 | 4,320 | - |
| ABCDEF | 6 | 180 | 450 | 300 | 1,800 | 7,200 | 1,800 | 7,200 | 16,200 | 10,800 | 720 |
我不會長篇大論地講解矩陣代數，只是假設矩陣 B 如下：
矩陣B
| 狀態 前 | AAAAB | AAAABB | AAABBB | AAAABC | AAABBC | 美國商務部商務合作委員會 | AAAABCD | ABCD | ABCDE | ABCDEF |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| AAAAB | -27876 | 9750 | 2500 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -46656 |
| AAAABB | 13056 | -27456 | 10240 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -46656 |
| AAABBB | 8748 | 21870 | -32076 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -46656 |
| AAAABC | 12348 | 8190 | 2580 | -38736 | 10080 | 1440 | 0 | 0 | 0 | -46656 |
| AAABBC | 5172 | 8670 | 5020 | 6480 | -29376 | 3240 | 0 | 0 | 0 | -46656 |
| 美國商務部商務合作委員會 | 2304 | 5760 | 3840 | 5760 | 23040 | -40896 | 0 | 0 | 0 | -46656 |
| AAAABCD | 4464 | 4140 | 1680 | 7920 | 14400 | 2520 | -42336 | 6480 | 0 | -46656 |
| ABCD | 1596 | 3150 | 1940 | 5280 | 16800 | 3600 | 4800 | -37296 | 0 | -46656 |
| ABCDE | 888 | 1380 | 760 | 3960 | 11520 | 2520 | 7200 | 14040 | -42336 | -46656 |
| ABCDEF | 180 | 450 | 300 | 1800 | 7200 | 1800 | 7200 | 16200 | 10800 | -46656 |
答案是矩陣 B 的行列式與矩陣 A 的行列式之比：
確定（A）= 1,461,067,501,120,670,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
確定（B）= 14,108,055,348,203,100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Determ(B) / Determ(A) = 約 9.65599148388557
[劇透]