請問巫師 #324
平均而言，需要擲多少次公平的骰子才能讓每個面至少擲兩次？
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這是我的解決方案。 （PDF）
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
有一個 1×1 的方形飛鏢靶。向靶心投擲一支飛鏢，飛鏢落在靶心任意位置的機率相等。飛鏢落點的座標為 (x,y)，其中 x 和 y 服從 0 到 1 之間的均勻獨立分佈。
設 z = round(x/y)。換句話說，z = x/y，四捨五入到最接近的整數。 z 為偶數的機率是多少？
了解以下提示中的無窮級數將非常有用。
[劇透=提示]萊布尼茲 π 公式指出：
1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
[/spoiler]只需答案，請點擊以下按鈕。
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[劇透=解]
如果 x/y < 0.5，則該比率將向下捨去為 0 或偶數。飛鏢靶上 (0,0) 和 (0.5) 所成直線左側的任一點都會向下捨去為 0。此區域為直角三角形，邊長為 1 又 1/2。記住，三角形的面積是 (1/2) * 底 * 高。因此，這些點向下捨去為 0 的面積為 (1/2) * (1/2) = 1/4。
圖表中下一個四捨五入為偶數 2 的區域是當 1.5 < x/y < 2.5 時。此區域為底邊為 2/3 - 2/5、高為 1 的三角形。請注意，這些是 x/y 邊界的倒數，因為 x 等於 1，所以我們需要反轉 y。因此，四捨五入為 2 的區域是 (1/2)*(2/3 - 2/5)。
圖表中下一個四捨五入為偶數 4 的區域是 3.5 < x/y < 4.5。此區域為底邊為 2/7 - 2/9、高為 1 的三角形。因此，四捨五入為 2 的區域是 (1/2)*(2/7 - 2/9)。
圖表中下一個四捨五入為下一個偶數 6 的區域是當 5.5 < x/y < 6.5 時。此區域為底邊為 2/11 - 2/13、高為 1 的三角形。因此，四捨五入為 2 的區域是 (1/2)*(2/11 - 2/13)。
開始發現規律了嗎？它是這樣的：
1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ... ) =
1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =
讓我們將 -1 移到括號內。
5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =
5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =
接下來，回想一下我們上面的提示：
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11
回到手邊的問題…
5/4 - π/4 =
(5 - π) / 4 = apx。 0.464601836602552。
有趣的是，π 和 e 在數學中不斷出現。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
設9x + 12x = 16x
x 是什麼？
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[劇透=解]
9x + 12x = 16x =
將兩邊除以 9 x
1 + (12/9) x = (16/9) x
1 + (4/3) x = ((4/3) x ) 2
（1）設 u = (4/3) x
1 + u = u 2
根據二次公式...
u = (1+sqrt(5)) / 2（黃金分割率）
將其代入公式 (1) 中：
（4/3） x =（1 + 平方根（5））/ 2
兩邊取對數：
x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]
x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)
x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = 約 1.67272093446233。[/劇透]
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
致謝：我從Mind Your Decisions的 Presh Talwalkar 那裡得到了這個問題的變體。
假設擲一個公平的六面骰子，直到出現1、2、3或6。如果1、2或3是這些遊戲結束數字中第一個出現的，那麼您什麼也贏不了。如果6是這些遊戲結束數字中第一個出現的，那麼您每次擲骰子都會贏得1美元。這場比賽的平均贏利是多少？
點擊下面的按鈕，查看幾個可能對您有幫助的無窮級數公式。
[劇透=提示]
提示 1：對 n 求 i = 0 到 ∞ 的和i = 1 / (1-n)
提示 2：i = 0 到 ∞ 的 i × n 總和i = n / (1-n) 2
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[劇透=解]
假設擲一個公平的六面骰子，直到出現1、2、3或6。如果1、2或3是這些遊戲結束數字中第一個出現的，那麼您什麼也贏不了。如果6是這些遊戲結束數字中第一個出現的，那麼您每次擲骰子都會贏得1美元。這場比賽的平均贏利是多少？
提示 1：對 n 求 i = 0 到 ∞ 的和i = 1 / (1-n)
提示 2：i = 0 到 ∞ 的 i × n 總和i = n / (1-n) 2
預期贏利可以表示為 i = 0 到 ∞ 的 (1 + i) * (1/3) i * (1/6) 總和。 =
（1/6）* (1/3) i 的 i = 0 到 ∞ 的總和+ （1/6）* (i * (1/3) i ) 的 i = 0 到 ∞ 的總和。
讓我們逐一評估一下。
i = 0 到 ∞ 的和，其中 (1/3) i =
1 / (1 - (1/3)) =
1 / (2/3) =
3/2
i = 0 到 ∞ 的和 (i * (1/3) i ) =
（1/3）/（1-（1/3）） 2 =
（1/3）/（4/9）=
（1/3）*（9/4）=
3/4
綜合起來，答案是
（1/6）*（3/2）+（1/6）*（3/4）=
（1/4）+（1/8）=
3/8
[/spoiler]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。