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請問巫師 #323

這張聯贏卡好用嗎?

Rob 來自 Las Vegas

第一步,你必須在NFL比賽中押注讓分盤。你提問時(2020年1月2日),維京人領先7.5分。根據我的NFL替代讓分計算器,維京人隊+8.5獲勝的機率為52.22%。

對於所有其他遊戲,我查看了當前的勝負盤口,減去抽水,得出了獲勝機率。下表顯示了每局的獲勝機率。

威廉希爾過關卡

美酒機率獲勝
聖徒隊 -8.5 -7.5 47.78%
維京人 +8.5 8.5 52.22%
-135 57.45%
帳單135 42.55%
愛國者隊-205 67.21%
泰坦205 32.79%
-118 54.13%
菲爾118 45.87%
路易斯安那州立大學-200 66.67%
克萊姆森200 33.33%
亞足聯-130 56.52%
近場通訊130 43.48%

在第一步中,最有可能獲勝的兩支球隊是愛國者隊和路易斯安那州立大學隊。以下是我推薦的球隊獲勝的機率:

  • 維京人 +8.5 — 52.22%
  • 愛國者-67.21%
  • 路易斯安那州立大學—66.67%

這些機率的乘積是23.40%。若1賠4,報酬率為4 × 23.40% = 93.60%。換句話說,賭場優勢是6.40%。所以,我不考慮這個。

我正在考慮為“push 22”二十一點變體創建一個邊注,如果莊家以 22 點爆牌,則賠率為 11 比 1。賠率是多少?

Jay 來自 Henderson

我正在考慮為「push 22」二十一點變體創建一個邊注,如果莊家爆牌 22,那麼我就能贏。賠率是多少?賭場優勢是多少?

假設莊家總是會抽出他的牌(即使每個玩家都已經爆牌),那麼如果莊家在軟 17 點停牌,那麼在 22 點爆牌的機率為 7.88%,如果他拿到軟 17 點,那麼在 22 點爆牌的機率為 8.00%。

假設莊家拿到軟17點,賠率為11比1時,賭場優勢為4.04%。賠率為10比1時,賭場優勢將躍升至12.04%。

我應該警告你並建議玩家這是可數的(閉嘴,Wiz!)。

艾米和鮑伯舉辦了一場比賽,看誰能率先贏得四次拋硬幣的勝利。艾米想押 8,000 美元賭自己獲勝。但是,她一次只能押一次硬幣。所有賭注的賠率相同。她該如何安排賭注,才能確保如果她贏了四次,她就能贏得 8,000 美元;如果鮑伯贏了,她就能輸掉 8,000 美元?

James 來自 Westminster

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[劇透=答案]

系列中期共有16種可能的狀態。下表顯示了Amy在每種情況下應該下的注額,以及她按照此策略下注前的餘額。

回答

艾米鮑伯平衡賭注
0 0 0 2500
0 1 -2500 2500
0 2 -5000 2000
0 3 -7000 1000
1 0 2500 2500
1 1 0 3000
1 2 -3000 3000
1 3 -6000 2000
2 0 5000 2000
2 1 3000 3000
2 2 0 4000
2 3 -4000 4000
3 0 7000 1000
3 1 6000 2000
3 2 4000 4000
3 3 0 8000
[劇透]

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[劇透=解]

讓:

  • a = 艾米獲勝
  • b = Bob 獲勝
  • w = 艾米迄今為止在系列賽中的淨勝場
  • f(a,b,w) = Amy 下一場比賽的下注額

在這類謎題中,通常好的策略是從頭到尾,然後一路回到開頭。話雖如此,很容易看出:

f(3,3,0) = 8,000

在這種情況下,第七局是「贏家通吃」。艾米應該贏得 0,並在最後一輪下注 8,000,如果她贏了,她將贏得 8,000,否則將損失 8,000。

退一步說,如果她贏了3次,鮑伯贏了2次,結果會怎麼樣?如果她贏了下一輪,她就贏了整局。如果她輸了,比數將是3-3。根據f(3,3,0),如果比數是3,3,她應該得0。所以,如果她贏了下一輪,我們需要她有8,000,否則得0。這樣一來,她淨贏了4,000,下注金額也相同。所以:

f(3,2,4000)=4,000

再回過頭來看,如果她贏了3局,而鮑伯贏了1局,結果會怎麼樣?如果她下一輪贏了,她就贏了整局。如果她輸了,比數將是3-2。根據f(3,2,4000),如果比數是3,2,她應該有4,000。所以,如果她下一輪贏了,我們需要她有8,000,否則她有4,000。這樣一來,中間的淨贏利是[(4,000+8,000)/2=6,000],下注金額是這兩個目標之間距離的一半,即[(8000-4000)/2 = 2000]。所以:

f(3,1,6000) = 2,000

再退一步,假設她贏了3次,而鮑伯沒有贏,結果會怎麼樣?如果她贏了下一輪,她就贏了整場比賽。如果她輸了,比數將是3-1。根據f(3,1,6000),如果比數是3,1,她應該有6,000。所以,如果她贏了下一輪,我們需要她有8,000,否則有6,000。這樣一來,中間的淨贏利是[(6,000+8,000)/2=7,000],下注金額是這兩個目標之間距離的一半,即[(8000-4000)/2 = 2000]。所以:

f(3,0,7000) = 1,000

顯而易見,如果比數打平,艾米的淨贏額應該是0。在任何平局情況下,她贏得整個系列賽的機率都是50%。由於雙方的勝負平衡目標均為8,000,她需要押注0,否則她將有可能無法達成任何最終目標。

接下來,如果艾米在系列賽中落後,她的淨贏額應該是她領先相同分數時淨贏額的-1倍。例如,假設艾米的比數是2比3(或2比3)。如果她下一輪輸了,她就輸掉了整場比賽。如果她贏了,她的比數將是3比3。根據f(3,3,0),如果比數是3比3,她應該得0。所以,我們需要她贏下一輪時得0,否則得-8000。這樣一來,她的淨虧損就介於4000和相同金額的下注之間。所以:

f(2,3,-4000)=4,000

按照同樣的邏輯:

f(1,3,-6000) = 2,000

f(0,3,-7000) = 1,000

接下來,如果比數是 2-2,艾米應該下注多少?如果她贏了,比分將是 3-2。從上文可以看出,她需要在這個比分下淨贏 4,000。如果她以 2-3 落後,我們需要她淨輸 4,000。因此,她需要下注 4,000:

f(2,2,0) = 4,000

再退一步來看,如果比數是 2-1 會怎麼樣?我們已經確定,如果她下次擲骰子贏了(比分 3-1),她需要淨贏 6,000,如果她輸了(比分 2-2),她需要淨贏 0。這樣一來,她會得到中間值 [(6,000+0)/2=3,000] 的淨贏,以及兩個進球之間距離的一半的賭注 [(6,000-0)/2 = 3,000]。所以:

f(2,1,3000) = 3000

再回過頭來看,如果她贏了兩局,而鮑伯贏了零局,結果會怎麼樣?如果她下次擲骰子贏了,比數將是3-0。如果她輸了,比數將是2-1。如果比數是3-0,她應該淨贏7000,如果比數是2-1,她應該會淨贏3000。如果比數是2-0,她應該淨贏中間值[(7000+3000)/2=5000],並且下注金額是這兩個進球之間距離的一半[(7000-3000)/2=2000]。所以:

f(2,0,5000) = 2000

透過翻轉 Alice 兩次獲勝而 Bob 獲勝次數較少的分數,我們也知道:

f(1,2,-3000) = 3000

f(0,2,-5000) = 2000

如前所述,如果系列賽雙方勢均力敵,艾米的淨贏應為0,因此,當比分是1-1時,她的淨贏應為0。當比數是2-1時,她需要贏2,000;當比數是1-2時,她需要輸2,000。因此,當比數是1-1平手時,她應該下注2,000,或者:

f(1,1,0) = 2,000

如果艾米1-0領先怎麼辦?我們已經確定,她需要在2-0時領先5,000。在1-1時,她需要持平。如果比數是 1-0,那麼淨勝球數為中間值 [(5,000+0)/2=2,500],投注額為兩個進球距離的一半 [(5000-0)/2 = 2,500]。因此:

f(1,0,2500) = 2,500

將比數扳為 0-1:

f(0,1,-2500) = 2,500

所以,最終,我們在第一局比分為 0-0。我們需要艾米在下一輪贏的情況下贏 2,500,輸的情況下輸 2,500。因此,下注 2,500 就能達到這個目標。或者:

f(0,0,0) = 2,500

[劇透]

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

半徑為 1 的圓與方程式 y=x 2的拋物線相切。圓與拋物線之間的紅色區域面積是多少?

anonymous

點擊下面的按鈕以取得答案。

3 * sqrt(3)/4 - &pi/3 =~ 0.2518。

這是我的解決方案。 (PDF)

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

我從Mind Your Decisions的 Presh Talwalker 那裡遇到了這個問題。