請問巫師 #323
這張聯贏卡好用嗎？
第一步，你必須在NFL比賽中押注讓分盤。你提問時（2020年1月2日），維京人領先7.5分。根據我的NFL替代讓分計算器，維京人隊+8.5獲勝的機率為52.22%。
對於所有其他遊戲，我查看了當前的勝負盤口，減去抽水，得出了獲勝機率。下表顯示了每局的獲勝機率。
威廉希爾過關卡
| 腿 | 美酒 | 機率獲勝 |
|---|---|---|
| 聖徒隊 -8.5 | -7.5 | 47.78% |
| 維京人 +8.5 | 8.5 | 52.22% |
| 侯 | -135 | 57.45% |
| 帳單 | 135 | 42.55% |
| 愛國者隊 | -205 | 67.21% |
| 泰坦 | 205 | 32.79% |
| 海 | -118 | 54.13% |
| 菲爾 | 118 | 45.87% |
| 路易斯安那州立大學 | -200 | 66.67% |
| 克萊姆森 | 200 | 33.33% |
| 亞足聯 | -130 | 56.52% |
| 近場通訊 | 130 | 43.48% |
在第一步中，最有可能獲勝的兩支球隊是愛國者隊和路易斯安那州立大學隊。以下是我推薦的球隊獲勝的機率：
- 維京人 +8.5 — 52.22%
- 愛國者－67.21%
- 路易斯安那州立大學—66.67%
這些機率的乘積是23.40%。若1賠4，報酬率為4 × 23.40% = 93.60%。換句話說，賭場優勢是6.40%。所以，我不考慮這個。
我正在考慮為“push 22”二十一點變體創建一個邊注，如果莊家以 22 點爆牌，則賠率為 11 比 1。賠率是多少？
我正在考慮為「push 22」二十一點變體創建一個邊注，如果莊家爆牌 22，那麼我就能贏。賠率是多少？賭場優勢是多少？
假設莊家總是會抽出他的牌（即使每個玩家都已經爆牌），那麼如果莊家在軟 17 點停牌，那麼在 22 點爆牌的機率為 7.88%，如果他拿到軟 17 點，那麼在 22 點爆牌的機率為 8.00%。
假設莊家拿到軟17點，賠率為11比1時，賭場優勢為4.04%。賠率為10比1時，賭場優勢將躍升至12.04%。
我應該警告你並建議玩家這是可數的（閉嘴，Wiz！）。
艾米和鮑伯舉辦了一場比賽，看誰能率先贏得四次拋硬幣的勝利。艾米想押 8,000 美元賭自己獲勝。但是，她一次只能押一次硬幣。所有賭注的賠率相同。她該如何安排賭注，才能確保如果她贏了四次，她就能贏得 8,000 美元；如果鮑伯贏了，她就能輸掉 8,000 美元？
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系列中期共有16種可能的狀態。下表顯示了Amy在每種情況下應該下的注額，以及她按照此策略下注前的餘額。
回答
| 艾米 | 鮑伯 | 平衡 | 賭注 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 2500 |
| 0 | 1 | -2500 | 2500 |
| 0 | 2 | -5000 | 2000 |
| 0 | 3 | -7000 | 1000 |
| 1 | 0 | 2500 | 2500 |
| 1 | 1 | 0 | 3000 |
| 1 | 2 | -3000 | 3000 |
| 1 | 3 | -6000 | 2000 |
| 2 | 0 | 5000 | 2000 |
| 2 | 1 | 3000 | 3000 |
| 2 | 2 | 0 | 4000 |
| 2 | 3 | -4000 | 4000 |
| 3 | 0 | 7000 | 1000 |
| 3 | 1 | 6000 | 2000 |
| 3 | 2 | 4000 | 4000 |
| 3 | 3 | 0 | 8000 |
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[劇透=解]讓：
- a = 艾米獲勝
- b = Bob 獲勝
- w = 艾米迄今為止在系列賽中的淨勝場
- f(a,b,w) = Amy 下一場比賽的下注額
在這類謎題中，通常好的策略是從頭到尾，然後一路回到開頭。話雖如此，很容易看出：
f(3,3,0) = 8,000
在這種情況下，第七局是「贏家通吃」。艾米應該贏得 0，並在最後一輪下注 8,000，如果她贏了，她將贏得 8,000，否則將損失 8,000。
退一步說，如果她贏了3次，鮑伯贏了2次，結果會怎麼樣？如果她贏了下一輪，她就贏了整局。如果她輸了，比數將是3-3。根據f(3,3,0)，如果比數是3,3，她應該得0。所以，如果她贏了下一輪，我們需要她有8,000，否則得0。這樣一來，她淨贏了4,000，下注金額也相同。所以：
f(3,2,4000)=4,000
再回過頭來看，如果她贏了3局，而鮑伯贏了1局，結果會怎麼樣？如果她下一輪贏了，她就贏了整局。如果她輸了，比數將是3-2。根據f(3,2,4000)，如果比數是3,2，她應該有4,000。所以，如果她下一輪贏了，我們需要她有8,000，否則她有4,000。這樣一來，中間的淨贏利是[(4,000+8,000)/2=6,000]，下注金額是這兩個目標之間距離的一半，即[(8000-4000)/2 = 2000]。所以：
f(3,1,6000) = 2,000
再退一步，假設她贏了3次，而鮑伯沒有贏，結果會怎麼樣？如果她贏了下一輪，她就贏了整場比賽。如果她輸了，比數將是3-1。根據f(3,1,6000)，如果比數是3,1，她應該有6,000。所以，如果她贏了下一輪，我們需要她有8,000，否則有6,000。這樣一來，中間的淨贏利是[(6,000+8,000)/2=7,000]，下注金額是這兩個目標之間距離的一半，即[(8000-4000)/2 = 2000]。所以：
f(3,0,7000) = 1,000
顯而易見，如果比數打平，艾米的淨贏額應該是0。在任何平局情況下，她贏得整個系列賽的機率都是50%。由於雙方的勝負平衡目標均為8,000，她需要押注0，否則她將有可能無法達成任何最終目標。
接下來，如果艾米在系列賽中落後，她的淨贏額應該是她領先相同分數時淨贏額的-1倍。例如，假設艾米的比數是2比3（或2比3）。如果她下一輪輸了，她就輸掉了整場比賽。如果她贏了，她的比數將是3比3。根據f(3,3,0)，如果比數是3比3，她應該得0。所以，我們需要她贏下一輪時得0，否則得-8000。這樣一來，她的淨虧損就介於4000和相同金額的下注之間。所以：
f(2,3,-4000)=4,000
按照同樣的邏輯：
f(1,3,-6000) = 2,000
f(0,3,-7000) = 1,000
接下來，如果比數是 2-2，艾米應該下注多少？如果她贏了，比分將是 3-2。從上文可以看出，她需要在這個比分下淨贏 4,000。如果她以 2-3 落後，我們需要她淨輸 4,000。因此，她需要下注 4,000：
f(2,2,0) = 4,000
再退一步來看，如果比數是 2-1 會怎麼樣？我們已經確定，如果她下次擲骰子贏了（比分 3-1），她需要淨贏 6,000，如果她輸了（比分 2-2），她需要淨贏 0。這樣一來，她會得到中間值 [(6,000+0)/2=3,000] 的淨贏，以及兩個進球之間距離的一半的賭注 [(6,000-0)/2 = 3,000]。所以：
f(2,1,3000) = 3000
再回過頭來看，如果她贏了兩局，而鮑伯贏了零局，結果會怎麼樣？如果她下次擲骰子贏了，比數將是3-0。如果她輸了，比數將是2-1。如果比數是3-0，她應該淨贏7000，如果比數是2-1，她應該會淨贏3000。如果比數是2-0，她應該淨贏中間值[(7000+3000)/2=5000]，並且下注金額是這兩個進球之間距離的一半[(7000-3000)/2=2000]。所以：
f(2,0,5000) = 2000
透過翻轉 Alice 兩次獲勝而 Bob 獲勝次數較少的分數，我們也知道：
f(1,2,-3000) = 3000
f(0,2,-5000) = 2000
如前所述，如果系列賽雙方勢均力敵，艾米的淨贏應為0，因此，當比分是1-1時，她的淨贏應為0。當比數是2-1時，她需要贏2,000；當比數是1-2時，她需要輸2,000。因此，當比數是1-1平手時，她應該下注2,000，或者：
f(1,1,0) = 2,000
如果艾米1-0領先怎麼辦？我們已經確定，她需要在2-0時領先5,000。在1-1時，她需要持平。如果比數是 1-0，那麼淨勝球數為中間值 [(5,000+0)/2=2,500]，投注額為兩個進球距離的一半 [(5000-0)/2 = 2,500]。因此：
f(1,0,2500) = 2,500
將比數扳為 0-1：
f(0,1,-2500) = 2,500
所以，最終，我們在第一局比分為 0-0。我們需要艾米在下一輪贏的情況下贏 2,500，輸的情況下輸 2,500。因此，下注 2,500 就能達到這個目標。或者：
f(0,0,0) = 2,500
[/spoiler]這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
半徑為 1 的圓與方程式 y=x 2的拋物線相切。圓與拋物線之間的紅色區域面積是多少？
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這是我的解決方案。 （PDF）
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
我從Mind Your Decisions的 Presh Talwalker 那裡遇到了這個問題。