請問巫師 #322
我坐在一局德州撲克桌前，當牌局進行時，高手拿到了同花順。桌上另外兩位玩家說，這是連續第三張同花順。這機率是多少？
在一場10人參與的德州撲克遊戲中，假設無人棄牌，那麼高手牌為順子或同花大順的機率是350.14分之一。三局中有三局出現這種情況的機率是42,926,491分之一。
然而，那張牌桌可能已經玩了好幾個小時了。或許更現實的問題是，這種情況在一天中至少發生一次的機率是多少。假設整整24小時都在玩，每小時24手牌，那麼這個問題的答案是59,621分之一。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
假設策略正確，在終極德州撲克中，如果玩家加註4倍，獲勝的機率是多少？我記錄了96手4倍牌局。不算平局，我贏了66手，輸了30手。這與預期相比如何？
假設 4 倍加註策略正確，則在 4 倍加註的情況下，每個結果的機率為：
- 勝率：58.82%
- 虧損：38.47%
- 平手：2.72%
若排除平手因素，勝率是60.46%。在96手牌中，4倍勝的預期次數為58.04次。因此，66次勝率略高於預期，但幅度並不顯著。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
阿克塞爾和鮑伯各自有一副52張的牌。兩人都隨機洗牌。然後，他們同時從每副牌中翻出一張牌。他們同時翻出同一張牌至少一次的機率是多少？
答案很容易估算為 1-(51/52) 52 = 0.63568648。然而，估算在智力上實在難以令人滿意。所以，讓我們來求一個精確的解吧！
步驟 1：首先，考慮第二副牌的排序方式數，其中第一張牌是 1。答案是排序其他 51 張牌的方式數，即 51！ = 1551118753287382280224243016469303211063259720016986112000000000000。
任何牌都能搭配第一副牌，所以我們必須對所有 52 張牌都進行相同的操作。這樣一來，就有 52*51! = 52! 種組合，其中至少有一張牌匹配。
步驟 2：然而，步驟 1 會重複計算兩張牌相符的所有情況。例如，如果前兩張牌是 1 和 2，那麼我們需要將其他牌的 50! 種排列方式計算兩次，第一次將 1 作為第一張牌，第二次將 2 作為第二張牌。從 52 張牌中選出 2 張牌的方式數為 combin(52,2) = 1326。每兩張牌的組合，其他牌的排列方式有 50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000000 種。因此，對於步驟 2，我們需要減去 combin(52,2)*50! = (52*51/2!)*50! = 52!/2! 種組合。
步驟 3：接下來，考慮隨機牌堆中前三張牌的順序為 1、2 和 3 的情況。其餘 49 張牌有 49! 種排序方法。在初步步驟中，我們會數三次，以找出至少一張相符的牌。然後，在第二步驟中，我們會減去所有 combin(3,2)=3 種從這三張牌中選擇 2 張的方法。因此，這種情況會被計算 3-3=0 次，因此我們需要將它們加回去。有 combin(52,3) 種選擇至少 3 張配對牌的情況。因此，我們需要重新加入 combin(52,3)*49! = 52*51*50*49!/3! = 52!/3! 種組合。
步驟 4：接下來，考慮隨機牌堆中前四張牌的順序為 1、2、3 和 4 的情況。其餘 48 張牌有 48! 種排序方法。在初始計數至少一張匹配牌的步驟中，我們需要數四次。然後，在步驟 2 中，我們需要減去所有 combin(4,2)=6 種從這四張牌中選擇兩張的方法。然後，我們需要加上所有 combin(4,3)=4 種從這四張牌中選擇三張的方法。因此，每種情況都有 4-6+4=2 種計數方法。因此，我們需要減去其中一種計數方法，使每種情況都只計算一次。共有 combin(52,4)*48! = 52*51*50*49*48!/4! = 52!/4! 種需要加回去的情況。
我們將繼續這樣做，交替進行加法和減法來修正重複計算。
最後，隨機牌堆中至少有一張牌與有序牌堆匹配的情況數量 = combin(52,1)*51! - combin(52,2)*50! + combin(52,3)*49! - combin(52,4)*48! ... - combin(52,52)!1! = 52,4)*48! ... - combin(52,52)!1 52!/4! ... - 52!/52! = x = 333239808909468890675694068318655265019682314241643033726180828783。
共有 52 種方法可以排列 52 張牌！ = y = 5271776154963652194226185415451226599692124538619822080000000000000 種方法可以排列 52 張牌。
因此，答案是 x/y = 0.6321205588285576784044762298
沒有匹配的機率是 1-(x/y) = 0.3678794411714423215955237702。
如果這個數字看起來很熟悉，那就對了。 1/e = 0.3678794411714423215955237702。
因此，答案可以非常接近地估計為 1-(1/e)。
致謝
數學計算是在Pari/GP中進行的
這個問題已在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論。
在您網站上名為賓果模式機率(PDF) 的文檔中，您指出，假設遊戲中有 300 張牌，那麼找到獲勝者的預期呼叫次數如下：
- 四角球：8.43
- 小鑽石：11.833
兩種模式都只需要四個標記，並且只有一種獲勝方式。為什麼獲勝所需的球數不同？
這個問題很難解釋。首先，我想說的是，單張牌遊戲中的預期叫牌次數是一樣的。然而，多張牌遊戲中存在相關效應。
這個問題很難快速回答，但如果硬要回答，那是因為四角圖案需要球集中在B列和O列。而小菱形圖案則更容易在B、N和O列上更均勻地分佈球。
讓我們把遊戲簡化成無限多張牌，每次抽球都會放回原位。以下是兩種遊戲中獲勝所需的球數：
- 四個角：2.5+2.5+((1/2)*10+(1/2)*(2.5+5)) = 13.75
- 小鑽石：=(5/3)+((1/3)*((5/3)+(5/2)+5)+(2/3)*((5/2)+((1/2)*((5/2)+5)+(1/2)*(5+5)))) = 12 + 2/9
這表明四個角球多花了 1.53 個球。
根據正常的賓果遊戲規則，透過模擬執行此程序，假設有無限張牌，結果如下：
- 四角：12.8289
- 鑽石：11.3645
這次相差 1.46 個球。
我希望展示的是，如果標記分佈在更多列上，圖案更容易被覆蓋。因此，我認為在單排賓果遊戲中，你通常會看到獲勝的賓果圖案是水平的。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中討論過的。
上圖中，邊長為1的正方形中有一個四分之一圓和兩個半圓。請問紅色區域的面積是多少？
點擊以下按鈕查看我的答案。
[spoiler=答案](3/8)*asin(4/5)-(1/4)=~0.0977357067506052[/劇透]點擊以下按鈕查看我的解決方案。
[劇透=解]這是我的解決方案的連結。 （PDF）
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
致謝：我要感謝Mind Your Decisions提供這個數學謎題。