請問巫師 #320
你好，巫師。玩10萬手21點，我預計會輸10手或以上嗎？
首先，我們必須計算出任何一手牌的獲勝機率，這取決於規則，而這些規則在你最初的問題中並沒有明確說明。在我關於二十一點方差的頁面上，我給出了在「自由脫衣舞規則」下，淨贏、平局和淨輸的機率。這些規則包括：六副牌，二十一點賠率為3比2，莊家在軟17點停牌，分牌後允許加倍，允許投降，允許再次分牌。根據這些規則，以下是必要的機率：
- 勝率：42.43%
- 推動：8.48%
- 虧損：49.09%
你的問題也沒有說明如何處理「推牌」。我假設「推牌」算一手牌，但不會推進或重置一系列的輸牌。除去“推牌”，在已結算的賭注下，贏和輸的機率如下：
- 勝率：46.36%
- 虧損：53.64%
也就是說，對於這樣的問題，一個很好的近似方法是：
n × l × w m
在哪裡：
n = 玩過的牌數
l = 損失機率
w = 獲勝機率
m = 連續輸牌的最少手數
在這種情況下，預期虧損次數為 100000 × 46.36% × 63.64% (10) = 91.4。換句話說，平均每 1,094 手牌至少會出現 10 手連敗。隨機模擬結果也證實了這一點。
說到這兒，我敢肯定，我那些追求完美的讀者們正準備給我發郵件，對馬可夫鏈進行一番智力上的鞭策。我想強調一下，我的公式只是一個估算，而且實際上相當不錯。
一個裝滿水的100公升水箱，裡面裝著10公斤鹽。如果我們每分鐘加入10公升純水，同時每分鐘排出10公升溶液，30分鐘後水箱中會剩下多少鹽？
讓我們先定義幾個變數：
- s = 罐中鹽的重量
- t = 鹽倒入水箱後的分鐘數
已知每分鐘排出10%的鹽分。用數學語言來表達就是：
ds/dt = (-10/100) × s
讓我們重新排列一下：
ds = (-10/100) × s dt
-10/s ds = dt
整合雙方：
（1）-10×ln(s) = t + c
接下來，我們來求出那個令人頭痛的積分常數。為了求出這個常數，我們已知當 t = 0 時 s = 10。將其代入上面的公式 (1) 中，我們得到：
-10 × ln(10) = 0 + c
所以 c = -10×ln(10)
將其代入公式 (1) 中，我們得到：
（2）-10×ln(s) = t -10×ln(10)
問題是，t=30 時，水箱裡有多少鹽。求解 t=30 時的 s：
-10×ln(s) = 30 -10×ln(10)。接下來將兩邊同時除以 -10…
ln(s) = -3 + ln(10)
s = exp(-3 + ln(10))
s = exp(-3) × exp(ln(10))
s = 指數(-3) × 10
s =~ 0.4979 公斤鹽。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
我常思考，當莊家有10點時，分牌A的統計優勢究竟有多大。等額下注真的明智嗎？等額下注是硬性規定嗎？這個問題的前提是假設玩家不算牌。
數學永遠不會說謊。根據我的二十一點附錄1 ，以下是四種玩法（A、A 和 10）的預期值，假設牌堆無限大，莊家在軟 17 點停牌，並且不允許重新分牌 A。
- 立場 = -0.540430
- 命中 = -0.070002
- 雙倍 = -0.514028
- 拆分 = 0.179689
所以，這種情況並不理想，分牌比初始下注的金額大約高出 11%。如果允許再次分牌，那麼勝算會更大。
加州彩票中有一種叫做「熱點」的遊戲。它涉及一個隨機抽取的「靶心」球，號碼範圍從1到80。每天有300場遊戲。在五天內，同一個熱點號碼在三天內在同一日的遊戲中被抽出的機率是多少？例如，數字23在週一、週三和週五的134號遊戲中被抽出（這個數字在聖經中有什麼意義？）。
首先，我們來計算任意給定遊戲號碼，5天中剛好有3天出現相同號碼的機率。答案是 COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0.001523682。這個公式的意思是，從5天中選出3個匹配的日期的機率乘以第二天和第三天與第一天匹配的機率，乘以其他兩天不匹配的機率。
因此，對於任何給定的比賽號碼，5 天中沒有 3 場比賽的機率是 1 - 0.001523682 = 0.9984763。
300 天內不發生這種情況的機率為 0.9984763 300 = 63.29%。
因此，另一種可能性是，5 天中有 3 天至少有一個抽獎號碼與相同的靶心號碼匹配，其機率為 36.71%。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。