請問巫師 #319

下表顯示了拉斯維加斯內幕（Vegas Insider）對兩隊每場比賽的賠率。客場公平賠率一欄將客隊客場的賠率平分給兩隊。機率一欄則顯示了客隊客場造訪的機率，該機率基於公平賠率。

將客隊在每場比賽中獲勝的機率乘以 0.00422，四捨五入為 237 分之一。

如果主隊使用 Martingale 投注贏得 100 美元，則將損失 28,081.06 美元。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

首先，我來介紹一下排列數。這意味著不僅數字重要，它們在卡片上的順序也很重要。對於 B、I、G 和 O 列，可能的排列數為 permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360,360。對於 N 列，排列數為 permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32,760。因此，賓果卡的總排列數為 360,360 ⁽⁴ × 32,760) = 552446474061128648601600000。

其次，我來討論一下組合數。這意味著數字很重要，但它們在卡片上的順序並不重要。對於 B、I、G 和 O 列，可能的組合數共有 combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3,003 種。對於 N 列，排列數為 combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1,365。因此，賓果卡的總排列數為 3,003 ⁴ × 1,365 = 111007923832370565。

在節目中，謝爾頓問自己有多少張獨特的賓果卡。根據後來的錯誤公式，我猜他指的是排列。換句話說，兩張數字相同但位置不同的卡牌都是獨一無二的。

上圖展示了 Sheldon 計算 B、I、G 和 O 列的公式。他最初計算的公式是 5! × combin(15,5)。然而，他錯誤地將其簡化為 15!/(15!-5)!。第二個感嘆號不應該出現在那裡，應該是 15!/(15-10)!。然而，他隨後又得到了正確答案 360,360。

N 列也出現了同樣的問題。公式應該是 15!/(15-4)!，而不是 15!/(15!-4)!。第二個感嘆號搞砸了。

諷刺的是，在劇集的後面，謝爾頓開始沉迷於《魔戒》年表中的錯誤，就像我迷戀這個一樣。

首先，讓我們確定可能發生這種情況的玩家牌和公共牌的組合數。顯然有四種花色。那麼，從給定花色的 13 張牌中選出 4 張，一共有 combin(13,4)=715 種組合方式。

其次，一種可能發生這種情況的方式是，玩家在牌桌上有三張相同花色的牌，另外兩張在另外39張牌中。牌桌上有三張相同花色的牌，組合方式有(9,3)=84種。然後，有組合方式有(39,2)=741種，可以從另外三種花色的39張牌中再選出兩張。因此，牌桌上有三張相同花色的牌，組合方式有84*741=62,244種。

第三，另一種可能發生這種情況的方式是，玩家在公共牌上有四張相同花色的牌，另一張在另外 39 張牌中。公共牌上有選擇花色剩餘 9 張牌中的 4 張，共有 combin(9,4)=126 種方法。然後，有 39 種方法可以從其他三種花色的另外 39 張牌中再選一張。然而，並非所有這些方法都會導致兩位玩家都使用兩張底牌。要滿足該條件，公共牌上必須有該花色的最小牌。在 8 張該花色的牌中，出現這種情況的機率是 4/8 = 1/2。因此，公共牌上有四張該花色的牌共有 126*39*(1/2)=2,457 種方法。

第四，最後一種情況是，玩家手中持有五張相同花色的牌。共有 combin(9,5)=126 種組合方式，即牌桌上有五張相同花色的牌。然而，並非所有組合方式都會導致兩位玩家都使用兩張底牌。要滿足該條件，牌桌上必須有該花色的最小兩張牌。在目前牌桌上有九張相同花色的牌中，出現這種情況的機率為 combin(5,2)/combin(9,2) = 10/36 = 5/18。因此，共有 126*(5/18)=35 種組合方式，即牌桌上有四張相同花色的牌。

因此，發生這種情況的組合數為 715*(62,244 + 2,457 + 35) = 46,286,240。

從 52 張牌中挑選 4 張作為玩家底牌，然後從牌面上剩餘的 48 張牌中挑選 5 張作為玩家底牌，總組合數為 combin(52,4)*combin(48,5) = 463,563,500,400。

因此，機率為 46,286,240 / 463,563,500,400 = 0.000399395 = 2,504 分之一。

這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。

為了分析這樣的投注，我首先會估算每支球隊的得分。我會用讓分和大小分來進行簡單的代數運算。例如，考慮孟加拉虎隊和烏鴉隊之間的第一場比賽。烏鴉隊被看好12分，大小分是48分。設：

b = 孟加拉虎隊得分
r = 烏鴉隊得分

b+12=r
b+r=48

重新排列第一個等式：b-4=-12。然後將等式加到b+r=48上，得到2b=36，因此b=18。如果孟加拉虎隊預計得分18分，那麼烏鴉隊預計得分18+12=30分。

一旦估算了總得分，我們就可以估算達陣得分。我會從每支球隊的射門得分中減去6分，然後將剩餘的得分除以7。

這些球隊預計的達陣總數為29.57。接下來，將每支球隊的預計達陣數除以該總數。這樣就能估算出球隊率先達陣的機率。然後，根據該機率計算預期值，並計算投注賠率。

正如您在表格中看到的，我認為只有兩支球隊的預期價值為正。紅人隊（沒錯，我就是這麼叫他們的）的預期價值為0.48%，而孟加拉虎隊的預期價值為21.7%。紅皮隊的優勢太小了，但我絕對會押注孟加拉虎隊。

PS：那天孟加拉虎隊確實率先達陣！

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。