請問巫師 #317
《高爾夫文摘》聲稱，如果四名業餘高爾夫球手打一輪球，其中兩人在同一個洞一桿進洞的機率是2600萬分之一。你同意這個數字嗎？
不，我不知道。
我必須相信他們的統計數據：對於業餘高爾夫球手來說，一桿進洞的機率是每洞 12,500 分之一。
然而，幾乎所有一桿進洞都是在三桿洞上實現的。典型的球場會有四個這樣的洞。因此，在三桿洞上一桿進洞的機率是 (1/12500) × (4/18) = 2,778 分之一。
也就是說，四名高爾夫球手中恰好有兩名在標準桿 3 桿洞中一桿進洞的機率為 combin(4,2) × (1/12500) 2 × (12449/12500) 2 = 1/1,286,935。
假設一輪比賽中有四個三桿洞，那麼在同一個洞中出現兩次一桿進洞的機率為 4 × (1/1,286,935) = 321,734 分之一。
《高爾夫文摘》似乎錯誤地假設了每個洞都有相同的一桿進洞機率。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
許多體育博彩公司，例如新澤西州的米高梅，都提供真正的免費投注——如果投注失敗，他們會以現金形式返還，您可以提現。這類似於老虎機的100%虧損返還，但適用於體育博彩。我應該在這個促銷活動中進行哪種投注？
像這樣的免費比賽，你絕對應該力爭上游。如果他們允許過關投注，那就盡可能多地投注過關投注，並過關投注足夠多的賽事，直到達到他們的最高賠付額，在拉斯維加斯，這個最高賠付額通常在10萬美元左右。
如果您必須對單一事件下注，那麼請找到您能找到的最大賭注。
為了說明為什麼此策略最佳，請考慮在雙零輪盤賭中下注 100 美元的相同促銷活動。如果您下注等額投注，則預期回報為 (18/38) × 200 美元 + (20/38) × 100 美元 = 147.37 美元。但是，如果您下注單一數字，則預期回報為 (1/38) × 3600 美元 + (37/38) × 100 美元 = 192.11 美元。
我遇到一個二十一點莊家，他偷看二十一點牌時會亮出底牌。他偷看後會提供保險。所以，當莊家有一張A，而我看到一張10時，我會買保險。這能降低整個遊戲的賭場優勢多少？
假設有六副牌。明牌是A的機率是1/13。其次，底牌是10點的機率是96/311。所以，這種機率出現的機率是2.37%。
我假設保險賭注是半個單位，賠率為2比1。所以，每次發生這種情況，你都可以預期獲得一個單位。由於這種情況發生的機率是2.37%，所以這對你來說就是這個數字。減去賭場優勢（無論二十一點規則如何），就可以得到遊戲的整體玩家優勢。
假設荷官手中有各種面額的籌碼，這些籌碼都能被1美元整除。你在賭桌上買入10美元。荷官會用多少種不同的方式找零這10美元？其他買入金額又如何呢？
莊家有 42 種方法可以把 10 美元分成 10 美元。具體如下：
[劇透=10 的分區] 109,1
8,2
8,1,1
7,3
7,2,1
7,1,1,1
6,4
6,3,1
6,2,2
6,2,1,1
6,1,1,1,1
5,5
5,4,1
5,3,2
5,3,1,1
5,2,2,1
5,2,1,1,1
5,1,1,1,1,1
4,4,2
4,4,1,1
4,3,3
4,3,2,1
4,3,1,1,1
4,2,2,2
4,2,2,1,1
4,2,1,1,1,1
4,1,1,1,1,1,1
3,3,3,1
3,3,2,2
3,3,2,1,1
3,3,1,1,1,1
3,2,2,2,1
3,2,2,1,1,1
3,2,1,1,1,1,1
3,1,1,1,1,1,1,1
2,2,2,2,2
2,2,2,2,1,1
2,2,2,1,1,1,1
2,2,1,1,1,1,1,1
2,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
數學家們把這些稱為「分區」。以下是起始數量最多為 405 的分區數，這是我的計算機所能計算的最大數量（2^64）。
[spoiler=分區數從 1 到 405]兩人以上共同的生日
<!--/框標題-->| 最初的 數量 | 全部的 分割區 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |
| 5 | 7 |
| 6 | 11 |
| 7 | 15 |
| 8 | 22 |
| 9 | 三十 |
| 10 | 四十二 |
| 11 | 56 |
| 12 | 77 |
| 十三 | 101 |
| 14 | 135 |
| 15 | 176 |
| 16 | 231 |
| 17 | 297 |
| 18 | 385 |
| 19 | 490 |
| 20 | 627 |
| 21 | 792 |
| 22 | 1002 |
| 23 | 1255 |
| 24 | 1575 |
| 二十五 | 1958 |
| 二十六 | 2436 |
| 二十七 | 3010 |
| 二十八 | 3718 |
| 二十九 | 4565 |
| 三十 | 5604 |
| 31 | 6842 |
| 三十二 | 8349 |
| 33 | 10143 |
| 三十四 | 12310 |
| 三十五 | 14883 |
| 三十六 | 17977 |
| 三十七 | 21637 |
| 三十八 | 26015 |
| 三十九 | 31185 |
| 40 | 37338 |
| 41 | 44583 |
| 四十二 | 53174 |
| 43 | 63261 |
| 四十四 | 75175 |
| 45 | 89134 |
| 46 | 105558 |
| 四十七 | 124754 |
| 四十八 | 147273 |
| 49 | 173525 |
| 50 | 204226 |
| 51 | 239943 |
| 52 | 281589 |
| 53 | 329931 |
| 54 | 386155 |
| 55 | 451276 |
| 56 | 526823 |
| 57 | 614154 |
| 58 | 715220 |
| 59 | 831820 |
| 60 | 966467 |
| 61 | 1121505 |
| 62 | 1300156 |
| 63 | 1505499 |
| 64 | 1741630 |
| 65 | 2012558 |
| 66 | 2323520 |
| 67 | 2679689 |
| 68 | 3087735 |
| 69 | 3554345 |
| 70 | 4087968 |
| 71 | 4697205 |
| 72 | 5392783 |
| 73 | 6185689 |
| 74 | 7089500 |
| 75 | 8118264 |
| 76 | 9289091 |
| 77 | 10619863 |
| 78 | 12132164 |
| 79 | 13848650 |
| 80 | 15796476 |
| 81 | 18004327 |
| 82 | 20506255 |
| 83 | 23338469 |
| 84 | 26543660 |
| 85 | 30167357 |
| 86 | 34262962 |
| 87 | 38887673 |
| 88 | 44108109 |
| 89 | 49995925 |
| 90 | 56634173 |
| 91 | 64112359 |
| 92 | 72533807 |
| 93 | 82010177 |
| 94 | 92669720 |
| 95 | 104651419 |
| 96 | 118114304 |
| 97 | 133230930 |
| 98 | 150198136 |
| 99 | 169229875 |
| 100 | 190569292 |
| 101 | 214481126 |
| 102 | 241265379 |
| 103 | 271248950 |
| 104 | 304801365 |
| 105 | 342325709 |
| 106 | 384276336 |
| 107 | 431149389 |
| 108 | 483502844 |
| 109 | 541946240 |
| 110 | 607163746 |
| 111 | 679903203 |
| 112 | 761002156 |
| 113 | 851376628 |
| 114 | 952050665 |
| 115 | 1064144451 |
| 116 | 1188908248 |
| 117 | 1327710076 |
| 118 | 1482074143 |
| 119 | 1653668665 |
| 120 | 1844349560 |
| 121 | 2056148051 |
| 122 | 2291320912 |
| 123 | 2552338241 |
| 124 | 2841940500 |
| 125 | 3163127352 |
| 126 | 3519222692 |
| 127 | 3913864295 |
| 128 | 4351078600 |
| 129 | 4835271870 |
| 130 | 5371315400 |
| 131 | 5964539504 |
| 132 | 6620830889 |
| 133 | 7346629512 |
| 134 | 8149040695 |
| 135 | 9035836076 |
| 136 | 10015581680 |
| 137 | 11097645016 |
| 138 | 12292341831 |
| 139 | 13610949895 |
| 140 | 15065878135 |
| 141 | 16670689208 |
| 142 | 18440293320 |
| 143 | 20390982757 |
| 144 | 22540654445 |
| 145 | 24908858009 |
| 146 | 27517052599 |
| 147 | 30388671978 |
| 148 | 33549419497 |
| 149 | 37027355200 |
| 150 | 40853235313 |
| 151 | 45060624582 |
| 152 | 49686288421 |
| 153 | 54770336324 |
| 154 | 60356673280 |
| 155 | 66493182097 |
| 156 | 73232243759 |
| 157 | 80630964769 |
| 158 | 88751778802 |
| 159 | 97662728555 |
| 160 | 107438159466 |
| 161 | 118159068427 |
| 162 | 129913904637 |
| 163 | 142798995930 |
| 164 | 156919475295 |
| 165 | 172389800255 |
| 166 | 189334822579 |
| 167 | 207890420102 |
| 168 | 228204732751 |
| 169 | 250438925115 |
| 170 | 274768617130 |
| 171 | 301384802048 |
| 172 | 330495499613 |
| 173 | 362326859895 |
| 174 | 397125074750 |
| 175 | 435157697830 |
| 176 | 476715857290 |
| 177 | 522115831195 |
| 178 | 571701605655 |
| 179 | 625846753120 |
| 180 | 684957390936 |
| 181 | 749474411781 |
| 182 | 819876908323 |
| 183 | 896684817527 |
| 184 | 980462880430 |
| 185 | 1071823774337 |
| 186 | 1171432692373 |
| 187 | 1280011042268 |
| 188 | 1398341745571 |
| 189 | 1527273599625 |
| 190 | 1667727404093 |
| 191 | 1820701100652 |
| 192 | 1987276856363 |
| 193 | 2168627105469 |
| 194 | 2366022741845 |
| 195 | 2580840212973 |
| 196 | 2814570987591 |
| 197 | 3068829878530 |
| 198 | 3345365983698 |
| 199 | 3646072432125 |
| 200 | 3972999029388 |
| 201 | 4328363658647 |
| 202 | 4714566886083 |
| 203 | 5134205287973 |
| 204 | 5590088317495 |
| 205 | 6085253859260 |
| 206 | 6622987708040 |
| 207 | 7206841706490 |
| 208 | 7840656226137 |
| 209 | 8528581302375 |
| 210 | 9275102575355 |
| 211 | 10085065885767 |
| 212 | 10963707205259 |
| 213 | 11916681236278 |
| 214 | 12950095925895 |
| 215 | 14070545699287 |
| 216 | 15285151248481 |
| 217 | 16601598107914 |
| 218 | 18028182516671 |
| 219 | 19573856161145 |
| 220 | 21248279009367 |
| 221 | 23061871173849 |
| 222 | 25025873760111 |
| 223 | 27152408925615 |
| 224 | 29454549941750 |
| 225 | 31946390696157 |
| 226 | 34643126322519 |
| 227 | 37561133582570 |
| 228 | 40718063627362 |
| 229 | 44132934884255 |
| 230 | 47826239745920 |
| 231 | 51820051838712 |
| 232 | 56138148670947 |
| 233 | 60806135438329 |
| 234 | 65851585970275 |
| 235 | 71304185514919 |
| 236 | 77195892663512 |
| 237 | 83561103925871 |
| 238 | 90436839668817 |
| 239 | 97862933703585 |
| 240 | 105882246722733 |
| 114540884553038 | |
| 242 | 123888443077259 |
| 243 | 133978259344888 |
| 244 | 144867692496445 |
| 245 | 156618412527946 |
| 246 | 169296722391554 |
| 247 | 182973889854026 |
| 248 | 197726516681672 |
| 249 | 213636919820625 |
| 250 | 230793554364681 |
| 251 | 249291451168559 |
| 252 | 269232701252579 |
| 253 | 290726957916112 |
| 254 | 313891991306665 |
| 255 | 338854264248680 |
| 256 | 365749566870782 |
| 257 | 394723676655357 |
| 258 | 425933084409356 |
| 259 | 459545750448675 |
| 260 | 495741934760846 |
| 261 | 534715062908609 |
| 262 | 576672674947168 |
| 263 | 621837416509615 |
| 264 | 670448123060170 |
| 265 | 722760953690372 |
| 266 | 779050629562167 |
| 267 | 839611730366814 |
| 268 | 904760108316360 |
| 269 | 974834369944625 |
| 270 | 1050197489931117 |
| 271 | 1131238503938606 |
| 272 | 1218374349844333 |
| 273 | 1312051800816215 |
| 274 | 1412749565173450 |
| 275 | 1520980492851175 |
| 276 | 1637293969337171 |
| 277 | 1762278433057269 |
| 278 | 1896564103591584 |
| 279 | 2040825852575075 |
| 280 | 2195786311682516 |
| 281 | 2362219145337711 |
| 282 | 2540952590045698 |
| 283 | 2732873183547535 |
| 284 | 2938929793929555 |
| 285 | 3160137867148997 |
| 286 | 3397584011986773 |
| 287 | 3652430836071053 |
| 288 | 3925922161489422 |
| 289 | 4219388528587095 |
| 290 | 4534253126900886 |
| 291 | 4872038056472084 |
| 292 | 5234371069753672 |
| 293 | 5622992691950605 |
| 294 | 6039763882095515 |
| 295 | 6486674127079088 |
| 296 | 6965850144195831 |
| 297 | 7479565078510584 |
| 298 | 8030248384943040 |
| 299 | 8620496275465025 |
| 300 | 9253082936723602 |
| 301 | 9930972392403501 |
| 302 | 10657331232548839 |
| 303 | 11435542077822104 |
| 304 | 12269218019229465 |
| 305 | 13162217895057704 |
| 306 | 14118662665280005 |
| 307 | 15142952738857194 |
| 308 | 16239786535829663 |
| 309 | 17414180133147295 |
| 310 | 18671488299600364 |
| 311 | 20017426762576945 |
| 312 | 21458096037352891 |
| 313 | 23000006655487337 |
| 314 | 24650106150830490 |
| 315 | 26415807633566326 |
| 316 | 28305020340996003 |
| 317 | 30326181989842964 |
| 318 | 32488293351466654 |
| 319 | 34800954869440830 |
| 320 | 37274405776748077 |
| 321 | 39919565526999991 |
| 322 | 42748078035954696 |
| 323 | 45772358543578028 |
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這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。