請問巫師 #315
在《危險邊緣》的「最終挑戰」中，如果第二名玩家的獎金比第一名玩家多出三分之二，那麼最佳策略是什麼？假設第三名玩家不參與遊戲。
首先聲明一下。以下分析基於統計平均值。實際玩家應該根據自己對「最終危險」類別的了解程度以及對手答對的機率進行心理調整。
為了回答你的問題，我首先查看了《危險邊緣》檔案庫中的四個季度的數據，以了解第一名（領先者）和第二名（追趕者）玩家在《危險邊緣》決賽中正確和錯誤表現的四種可能組合。
最終《危險邊緣》記分卡
| 領先球員 | 追逐球員正確 | 追逐球員不正確 | 全部的 |
|---|---|---|---|
| 正確的 | 29.0% | 25.5% | 54.5% |
| 不正確 | 17.7% | 27.8% | 45.5% |
| 全部的 | 46.8% | 53.2% | 100.0% |
在繼續之前，讓我們先定義一些變數：
x = 領先球員得分較高的機率。
y = 追逐球員走高的機率。
f(x,y) = 高玩家獲勝的機率。
讓我們用上表中的 x 和 y 來表示 f(x,y)：
f(x,y) = 0.823xy + 0.545x(1-y) + 0.468(1-x)y + (1-x)(1-y)
f(x,y) = 0.810 xy - 0.455x - 0.532y + 1
為了找出 x 和 y 的最佳值，讓我們對 x 和 y 取 f(x,y) 的導數。
f(x,y) d/dx = -0.455 + 0.810y = 0
因此 y = 0.455/0.810 = 0.562
f(x,y) d/dy = -0.532 + 0.810x = 0
因此 x = 0.523/0.810 = 0.657
因此，高玩家下高注的機率為 65.7%，低玩家下高注的機率為 56.2%。
根據觀察，我認為高玩家下注高額的機率超過 65.7%，因此如果我排在第二位，我會下低額賭注。
如果兩個玩家都遵循這種隨機策略，那麼領先玩家獲勝的機率為 70.1%。
撇開所有理論不談，如果你領先，預測追趕者會做什麼，然後照做。如果你追趕，預測領先者會做什麼，然後反其道而行。此策略適用於所有此類錦標賽。這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
我在威廉希爾體育博彩上看到一些關於某天美國職棒大聯盟比賽是否會有大滿貫的投注。根據比賽場次，這個投注的公平機率和賠率是多少？
為了方便其他讀者，以下是2019年5月11日大滿貫賽事的賠率。列標題應為“是”和“否”，而不是“主場”和“客場”。
為了回答這個問題，我分析了2011年至2018年MLB的所有比賽。在這八個賽季中，19,440場比賽中出現了858個大滿貫。這意味著每場比賽的平均大滿貫數量為0.0441。這與任何特定比賽出現大滿貫的機率不同，因為一場比賽可能會出現多個大滿貫。使用泊松分佈，任何特定比賽至少出現一個大滿貫的機率為4.3176%。
有了這個機率，就很容易創建下表，按比賽場次顯示至少一場大滿貫賽事的機率和公平線。
大滿貫機率
| 遊戲 | 可能性 大滿貫 | 公平線 |
|---|---|---|
| 1 | 4.32% | 2216 |
| 2 | 8.45% | 1084 |
| 3 | 12.40% | 706 |
| 4 | 16.18% | 518 |
| 5 | 19.80% | 405 |
| 6 | 23.27% | 330 |
| 7 | 26.58% | 276 |
| 8 | 29.75% | 236 |
| 9 | 32.78% | 205 |
| 10 | 35.68% | 180 |
| 11 | 38.46% | 160 |
| 12 | 41.12% | 143 |
| 十三 | 43.66% | 129 |
| 14 | 46.09% | 117 |
| 15 | 48.42% | 107 |
| 16 | 50.65% | -103 |
我必須補充一點，我的答案是基於MLB的平均值。對於任何一天，玩家都應該考慮當時的特定比賽。具體來說，大小分盤口越高，贏得大滿貫的幾率就越大。
我找到了一台二十一點機器，玩家優勢為 0.1%。我們一共玩了 2,015,000 手平注，輸了 1,475 個單位。為了避免洩漏遊戲規則，我沒有具體說明，所以請大家相信 0.1% 的玩家優勢。假設遊戲公平，我們遇到這種糟糕狀況的機率有多大？
基於此優勢和已玩牌局，預期贏利為2015個單位。假設每手牌的標準差為1.1，則整局遊戲的標準差為1,561。您的實際贏利與預期贏利之間的差額為3,490。即3,490/1,561 = 2.24個標準差。出現如此糟糕或更差結果的機率為1.27%。
如果我在終極德州撲克中下注 50 美元作為底注，我應該贏得 50 美元 × 500 美元 = 25,000 美元的盲注。然而，賭場限制我的贏利上限為 5,000 美元。平均下來，我得花多少錢？
皇家同花順獲勝的機率是32,487分之一。每次發生這種情況，您都會損失20,000美元，即400個底注。這意味著您需要支付400/32,487 = 底注金額的1.23%。這會使賭場優勢（相對於底注金額）從2.185%上升到3.416%。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中討論過的。