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Wizard 巫師推薦

請問巫師 #307

我正在參加2018年的「死亡池」活動。規則如下：

  1. 每位參賽者必須提交一份十位 100 歲以下在世名人的名單。
  2. 如果任何名人在 2018 年去世（美聯社提到有證據證明），那麼名單上有該名人名字的任何人都將獲得 100-x 分，其中 x 是去世時的年齡。
  3. 2019 年 1 月 1 日得分最高的玩家獲勝。

從平均值來看，這個遊戲的最佳策略是什麼？

anonymous

身為前精算師，你問對人了。希望精算師協會不會認為我的答案是對職業的濫用。話雖如此，為了回答你的問題，我查閱了我之前工作單位——社會安全局首席精算師辦公室——的2014年期間壽命表。

週期生命表顯示了 2014 年任何特定年齡和性別的人的死亡機率等。利用這些信息，我創建了下表，其中顯示了從 0 到 100 歲的所有年齡段和兩種性別的死亡機率和預期分數。

2014年期間生命表死亡池

年齡機率
死亡——男性		機率
死亡——女性		預期的
積分 — 男性		預期的
積分 — 女性
0 0.006320 0.005310 0.632000 0.531000
1 0.000403 0.000352 0.039852 0.034835
2 0.000282 0.000221 0.027626 0.021683
3 0.000211 0.000161 0.020514 0.015612
4 0.000181 0.000131 0.017405 0.012556
5 0.000161 0.000111 0.015313 0.010515
6 0.000141 0.000111 0.013260 0.010405
7 0.000131 0.000101 0.012184 0.009360
8 0.000121 0.000091 0.011127 0.008334
9 0.000091 0.000081 0.008256 0.007328
10 0.000101 0.000091 0.009073 0.008154
11 0.000101 0.000081 0.008973 0.007168
12 0.000131 0.000101 0.011535 0.008861
十三0.000202 0.000131 0.017547 0.011389
14 0.000303 0.000151 0.026023 0.012992
15 0.000404 0.000191 0.034304 0.016267
16 0.000505 0.000232 0.042393 0.019464
17 0.000616 0.000272 0.051129 0.022582
18 0.000748 0.000302 0.061316 0.024796
19 0.000880 0.000343 0.071262 0.027768
20 0.001022 0.000373 0.081780 0.029855
21 0.001145 0.000404 0.090445 0.031884
22 0.001258 0.000444 0.098105 0.034643
23 0.001310 0.000475 0.100880 0.036546
24 0.001332 0.000495 0.101246 0.037625
二十五0.001344 0.000526 0.100811 0.039422
二十六0.001377 0.000556 0.101864 0.041162
二十七0.001389 0.000577 0.101371 0.042106
二十八0.001421 0.000608 0.102330 0.043740
二十九0.001454 0.000648 0.103234 0.046036
三十0.001507 0.000669 0.105517 0.046837
31 0.001530 0.000710 0.105584 0.048998
三十二0.001574 0.000751 0.107011 0.051084
33 0.001617 0.000813 0.108364 0.054454
三十四0.001661 0.000864 0.109644 0.057041
三十五0.001716 0.000926 0.111521 0.060194
三十六0.001781 0.001008 0.113970 0.064538
三十七0.001857 0.001081 0.116963 0.068090
三十八0.001933 0.001164 0.119830 0.072145
三十九0.002020 0.001237 0.123207 0.075427
40 0.002118 0.001340 0.127066 0.080422
41 0.002258 0.001445 0.133232 0.085232
四十二0.002410 0.001560 0.139778 0.090455
43 0.002615 0.001696 0.149075 0.096649
四十四0.002843 0.001853 0.159228 0.103761
45 0.003105 0.002011 0.170771 0.110606
46 0.003401 0.002191 0.183635 0.118300
四十七0.003742 0.002403 0.198314 0.127342
四十八0.004108 0.002647 0.213613 0.137656
49 0.004532 0.002894 0.231133 0.147577
50 0.004994 0.003194 0.249696 0.159718
51 0.005473 0.003487 0.268191 0.170880
52 0.005993 0.003794 0.287656 0.182103
53 0.006565 0.004104 0.308561 0.192871
54 0.007159 0.004428 0.329324 0.203676
55 0.007799 0.004767 0.350946 0.214498
56 0.008475 0.005153 0.372902 0.226729
57 0.009179 0.005534 0.394696 0.237972
58 0.009856 0.005889 0.413944 0.247347
59 0.010575 0.006272 0.433558 0.257150
60 0.011350 0.006683 0.453991 0.267338
61 0.012209 0.007180 0.476135 0.280016
62 0.013061 0.007720 0.496330 0.293355
63 0.013921 0.008339 0.515084 0.308537
64 0.014814 0.009029 0.533320 0.325041
65 0.015831 0.009839 0.554094 0.344371
66 0.016981 0.010741 0.577354 0.365197
67 0.018300 0.011752 0.603909 0.387812
68 0.019778 0.012879 0.632894 0.412117
69 0.021443 0.014142 0.664734 0.438397
70 0.023384 0.015613 0.701513 0.468376
71 0.025547 0.017271 0.740873 0.500852
72 0.027877 0.019047 0.780560 0.533320
73 0.030384 0.020918 0.820374 0.564797
74 0.033098 0.022938 0.860535 0.596385
75 0.036256 0.025299 0.906400 0.632465
76 0.039868 0.028043 0.956841 0.673035
77 0.043883 0.031127 1.009299 0.715914
78 0.048257 0.034590 1.061657 0.760984
79 0.053128 0.038456 1.115692 0.807583
80 0.058709 0.043007 1.174177 0.860145
81 0.065070 0.048186 1.236322 0.915536
82 0.072149 0.053762 1.298691 0.967712
83 0.079906 0.059769 1.358409 1.016065
84 0.088524 0.066380 1.416378 1.062085
85 0.098157 0.073823 1.472348 1.107351
86 0.108904 0.082381 1.524651 1.153334
87 0.120889 0.092180 1.571556 1.198344
88 0.134134 0.103305 1.609607 1.239664
89 0.148707 0.115744 1.635778 1.273180
90 0.164522 0.129477 1.645220 1.294772
91 0.181584 0.144435 1.634254 1.299911
92 0.199903 0.160621 1.599225 1.284970
93 0.219362 0.177816 1.535534 1.244713
94 0.239881 0.196194 1.439286 1.177165
95 0.260293 0.214694 1.301463 1.073469
96 0.280129 0.233056 1.120515 0.932225
97 0.299042 0.251152 0.897125 0.753456
98 0.316317 0.268235 0.632634 0.536471
99 0.332667 0.284442 0.332667 0.284442
100 0.348651 0.301417 0.000000 0.000000

表顯示，90 歲男性的最高預期分數為 1.645220。

這個問題是在我的非賭博論壇“Diversity Tomorrow”中提出和討論的。

我記錄了7456次輪盤賭的旋轉。結果如下。我懷疑輪盤有偏差，但不確定數據是否足夠確鑿，可以玩這個遊戲。

輪盤數據

獲勝
數位		發生
0 204
二十八214
9 175
二十六177
三十203
11 181
7 223
20 205
三十二184
17 222
5 224
22 241
三十四194
15 210
3 209
24 176
三十六203
十三217
1 217
00 197
二十七173
10 195
二十五198
二十九217
12 197
8 207
19 163
31 180
18 201
6 186
21 203
33 171
16 164
4 200
23 191
三十五163
14 177
2 194
全部的7456

Bnitty

下圖按順序顯示了您在輪盤上的結果。藍線表示您的結果。紅線表示您需要的數字 207.11，以克服 5.26% 的賭場優勢。

對此分佈進行卡方檢定，結果顯示自由度為 37，統計量為 68.1。出現這種或以上偏態分佈的機率為 1/725。

我認為卡方檢定並非適用於這種情況的最佳方法，因為它沒有考慮結果的順序，但我也不知道有更好的檢定方法。有人建議使用Kolmogorov-Smirnov 檢驗，但我認為這並不合適。如果有其他適當的檢驗方法，我洗耳恭聽。

我可以說，如果你押注圍繞數字5的3個數字弧，那麼你記錄的旋轉次數將獲得10.57%的利潤。然而，如果你押注圍繞數字5的7個數字弧，利潤率就會下降到2.84%。

如果非要用簡單易懂的語言來回答，我會說輪盤確實有偏見，但並非確鑿無疑的證據。然而，這種偏見可能不足以顯著且自信地克服賭場優勢。假設賭場不在賭桌之間調換輪盤，我認為在下大注之前應該收集更多數據。很抱歉，我的回答如此模稜兩可。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

兩位玩家，山姆和丹，各有五枚硬幣。兩人都必須選擇將一到五枚硬幣放在手中。同時，兩人必須透露所擲硬幣的數量。如果兩人選擇的硬幣數量相同，則山姆獲勝並收集所有擲出的硬幣。如果兩人選擇的硬幣數量不同，則丹將收集所有擲出的硬幣。假設兩位玩家都是完美的邏輯學家，那麼丹的最佳策略是什麼？

ThatDonGuy

[劇透=答案]

丹應該如下隨機化他的策略：

  • 挑選一枚硬幣的機率 = 77/548。
  • 挑選一枚硬幣的機率 = 107/548。
  • 挑選一枚硬幣的機率 = 117/548。
  • 挑選一枚硬幣的機率 = 122/548。
  • 挑選一枚硬幣的機率 = 125/548。

採用這種策略，無論 Sam 挑選多少硬幣，Dan 都有望每回合贏得 3.640510949 個硬幣。

[劇透]

可以在我的數學問題網站問題 230 中找到解決方案。

在我的“拉斯維加斯巫師”論壇中可以找到與此相關的問題。

舊金山加州大賭場（California Grand Casino）正在推出一款名為「Hot Action Blackjack」的二十一點遊戲。遊戲規則如下：

  • 連續洗牌機中有六副牌，另外還有 18 張鬼牌，面值為 2。
  • 莊家拿到軟 17。
  • 前兩張牌加倍。
  • 重新分成四手。
  • 禁止抽牌或重新分割 A 牌。
  • 不投降。
  • 二十一點的賠率為 6 比 5。
  • 如果玩家的前兩張牌是百搭牌，那麼他將獲得 4 比 1 的獎金。
  • 如果玩家的前兩張牌是同花色的 A，那麼他將獲得 5 比 1 的獎金。
  • 玩家必須支付 5% 的佣金才能玩。

基本策略和莊家優勢是什麼？

JPClav

首先，這是我根據這些規則制定的基本策略：

綜合考慮，我根據初始投注給出的賭場優勢是 6.01%（哎喲！）。換句話說，如果玩家下注 100 美元（不計 5 美元佣金），那麼他預計會損失 6.01 美元。這也解釋了為什麼我會在加州遠離玩家坐莊的遊戲，除非你是坐莊的。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。