請問巫師 #306
陽光海岸賭場 (Suncoast) 正在舉辦一項撲克促銷活動，玩家在德州撲克遊戲中，如果拿到特定的高底牌對子並輸掉，即可贏得 50 至 100 美元。底牌對子取決於當天情況，可以是 J、Q、K 或 A。如果輸掉底牌對子，如果兩張底牌都是黑色，則獎金為 100 美元；如果兩張底牌都是紅色，則獎金為 75 美元；如果每種顏色各一張，則獎金為 50 美元。這項促銷活動的每小時價值是多少？
這取決於牌桌上的玩家數量。玩家越多越好，因為玩家越多，你輸的幾率就越大。下表顯示了包括你在內的所有玩家對這四對牌的輸掉機率。這假設沒有人棄牌。這顯然是一個不切實際的假設，所以我會把這些機率當作上限。
德州撲克輸錢的機率
| 玩家 | 傑克 | 皇后區 | 國王 | 王牌 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 80.16% | 77.34% | 73.57% | 68.64% |
| 8 | 74.87% | 71.29% | 66.74% | 60.95% |
| 6 | 65.95% | 61.70% | 56.68% | 50.49% |
| 4 | 50.37% | 46.09% | 41.41% | 35.82% |
| 3 | 38.43% | 34.71% | 30.79% | 21.22% |
| 2 | 22.85% | 20.37% | 17.88% | 15.07% |
平均贏利很容易計算：$100 × (1/6) + $75 × (1/6) + $50 × (1/2) = $62.50。下表顯示了四種口袋對子出現時的預期價值（假設沒有其他玩家棄牌）。
每次預期獲勝次數
| 玩家 | 傑克 | 皇后區 | 國王 | 王牌 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 50.10 美元 | 48.34 美元 | 45.98 美元 | 42.90 美元 |
| 8 | 46.79美元 | 44.56 美元 | 41.71 美元 | 38.09美元 |
| 6 | 41.22 美元 | 38.56 美元 | 35.43 美元 | 31.56 美元 |
| 4 | 31.48 美元 | 28.81 美元 | 25.88 美元 | 22.39 美元 |
| 3 | 24.02 美元 | 21.69 美元 | 19.24 美元 | 13.26 美元 |
| 2 | 14.28 美元 | 12.73 美元 | 11.18 美元 | 9.42 美元 |
下表顯示了此促銷活動每手牌的價值。它等於上表與獲得所需底牌的機率（即 6/1326 = 0.90%）的乘積。
每手牌預期贏利
| 玩家 | 傑克 | 皇后區 | 國王 | 王牌 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 0.23 美元 | 0.22 美元 | 0.21 美元 | 0.19 美元 |
| 8 | 0.21 美元 | 0.20 美元 | 0.19 美元 | 0.17 美元 |
| 6 | 0.19 美元 | 0.17 美元 | 0.16 美元 | 0.14 美元 |
| 4 | 0.14 美元 | 0.13 美元 | 0.12 美元 | 0.10 美元 |
| 3 | 0.11 美元 | 0.10 美元 | 0.09 美元 | 0.06 美元 |
| 2 | 0.06 美元 | 0.06 美元 | 0.05 美元 | 0.04 美元 |
下表顯示了此促銷活動每小時的價值，假設每小時30手。同樣，這假設沒有人棄牌，所以我將此作為每小時價值的上限。
每小時預期獲勝次數
| 玩家 | 傑克 | 皇后區 | 國王 | 王牌 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 6.80 美元 | 6.56 美元 | 6.24 美元 | 5.82 美元 |
| 8 | 6.35 美元 | 6.05 美元 | 5.66 美元 | 5.17 美元 |
| 6 | 5.60 美元 | 5.23 美元 | 4.81 美元 | 4.28 美元 |
| 4 | 4.27 美元 | 3.91 美元 | 3.51 美元 | 3.04 美元 |
| 3 | 3.26 美元 | 2.94 美元 | 2.61 美元 | 1.80 美元 |
| 2 | 1.94 美元 | 1.73 美元 | 1.52 美元 | 1.28 美元 |
考慮一個具有以下規則的遊戲：
- 隨機數產生器提供 0 到 1 之間均勻分佈的隨機數。
- 兩名玩家各自獲得一個號碼。每位玩家只能看到自己的號碼。
- 玩家 1 可以保留他的初始數字或換成新的隨機數字。
- 玩家 2 知道玩家 1 的動作，可以選擇保留原來的號碼或換成新的號碼。
- 數字較大的玩家獲勝。
我對這個遊戲有四個問題：
- 回答以下有關遊戲的問題：
- 當數字為多少時，玩家 1 不會對站立和切換產生興趣？
- 假設玩家 1 切換，那麼玩家 2 在什麼數字時應該無視站立和切換？
- 假設玩家 1 站立，那麼玩家 2 在什麼數字時應該無視站立和切換？
- 假設兩位玩家都採用最佳策略，那麼玩家 1 獲勝的機率是多少？
答案和解決方案可以在我的數學問題頁面第 225 題中找到。
超級百萬彩票中的“僅中獎”選項是否物有所值？
如果我們忽略稅收、年金對累積獎金的影響以及累積獎金分配的影響，那麼如果累積獎金超過 224,191,728 美元，您應該啟用「僅限累積獎金」選項。如果我們確實考慮了這些因素，那麼您不應該啟用“超級倍增器”，而應該啟用“超級倍增器”。
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在新西蘭奧克蘭的天空城賭場，終極德州撲克遊戲中，玩家和荷官都必須使用兩張底牌。與通常可以使用任意五張牌的規則相比，這會對賠率產生什麼影響？
該規則將賭場優勢從 2.19% 提高到 7.97%，風險因素從 0.53% 提高到 1.90%。這是因為莊家不再經常獲得資格，盲注需要順子或更好的牌才能贏錢，因此獲勝難度加大。
有關我的分析的更多詳細信息，請參閱我關於奧克蘭版終極德州撲克的新頁面。
有關此問題的討論，請參閱我在 Wizard of Vegas 論壇中的主題ULTIMATE IN NEW ZEALAND 。