請問巫師 #293
我知道在視訊撲克中，有些牌型有兩種打法和最佳打法一樣好。例如，如果玩家拿到了全額賠付的Deuces Wild牌型中的兩對，那麼他應該只保留一對，保留哪一對都無所謂。我的問題是，是否有三種打法和正確打法一樣好的情況？
是的！在百搭撲克遊戲中，如果手牌是垃圾牌，一般來說，最好保留一張最有可能組成順子或同花的中間牌。然而，有時情況非常危急，甚至平局，這時最好保留的牌才是最好的。
例如，在兩對百搭牌撲克牌局中，以及一張QH、10D、5D、7C和2C的97.19%賠率表中，最佳玩法是只持有10D、5D和7C，三張牌都持有的預期賠率為0.240703。這可以用我的視訊撲克牌局分析器來驗證。
以下是針對同一 Joker 撲克賠率表的其他類似玩法：
- 快速控制 10S 5D 7H 2C
- QH 10D 5D 7H 2C
- KH 10D 5D 8C 3C
- KC 10S 5D 8H 3C
- KH 10D 5D 8H 3C
感謝 Gary Koehler 對此問題的幫助。
您對達陣後的新規則將如何影響半分聯注卡有何看法？
為了方便其他讀者，我分享一個技巧，就是利用半分過關投注中3分和7分的讓分盤口，額外獲得半分。我已經證明，這是一種可靠的優勢玩法，儘管波動性很大。
新規則將額外踢球點移回15碼線。這應該會降低踢球成功的機率，並促使更多兩分轉換嘗試。隨著兩分轉換嘗試的增多，無論成功與否，以三分或七分決出勝負的比賽應該會減少，從而降低在半分過關卡上從這些關鍵數字中獲得額外半分的價值。我們該擔心嗎？讓我們拭目以待。
首先，我們應該擔心，但這也必然是因為這個原因。其他規則的改變削弱了防守的侵略性，導致比賽得分更高。下圖顯示了1994年至2014年每個賽季的場均得分。
如圖所示，2006年，場均得分一直維持在42分左右。然而，從2007年開始，場均得分每年上升約半分。這引出了一個問題：平均得分的上升是否會拉平勝場分差，尤其是對於3分和7分這兩個神奇的數字。下圖顯示了各年勝場分差為3分和7分的機率。
如你所見，7分淨勝的機率穩定在9.1%。然而，3分淨勝的機率一直在穩定下降，尤其是自2004年以來。這很糟糕，因為NFL中3分淨勝的情況非常普遍。
無論三分淨勝球數減少的原因是什麼，半分過關卡的價值正在下降。新的加分規則會不會讓情況變得更糟？
我的答案是，應該會造成傷害，但不會太大。在規則改變之前，我計算出大約4.8%的達陣是在兩分轉換進攻之後進行的。在我寫這篇文章的時候，規則改變之後才進行了兩週的比賽。在2015年賽季的前兩週，共有167次達陣，其中15次是在兩分轉換進攻之後進行的，達陣率為9.0%。
從數學角度來說，我認為兩分轉換應該更常見，尤其是對於那些追求差異的弱隊來說，但我不明白為什麼事實並非如此。你問的不是這個，我只是需要吐露一下。
舉個例子，假設我的讓分賠率可以持續維持在54%。為了盡快增加我的資金，哪個選項會比較划算呢？是三隊過關投注，賠率6比1嗎？
問得好。你投注11比10的優勢是3.09%，而過關投注的優勢是10.22%。這似乎為過關投注提供了一個很好的理由。
然而，請記住，任何優勢玩法下，資金成長的最佳策略都是使用凱利準則。根據凱利法則，最佳投注額是使投注後資金預期對數最大化的投注額。對於只有兩種可能結果的投注，最佳投注額恰好是優勢除以投注賠付額（以“一比一”為基準）。
直接投注賠率為10比11。因此，最佳投注額為0.030909/(10/11) = 0.034000。假設玩家優勢為3.09%，您每場直接投注的預期贏額相當於您投注本金的0.001051倍。
過關投注的最佳投注額為 0.102248/6 = 0.017041。如果玩家優勢為 0.102248，那麼你每場單註投注的預期贏取金額相當於你投注本金的 0.001742 倍。
然而，單注投注更好，因為你可以投註三次。因此，將平注投注的預期每注收益乘以三，得到 3 × 0.001051 = 0.003153。這比過關投注的資金成長高出 81%。
如果您的資金非常多，以至於達到了最高投注限額，那麼您可能應該先進行累積投注，這種投注通常不會移動線路，然後再進行直接投注。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
你知道，現在NFL附加分必須在15碼線附近嘗試，而兩分轉換球仍然在2碼線附近嘗試。你認為這會改變判決的計算方法嗎？換句話說，現在正確的打法是什麼？
這是一個邊緣判罰，我認為這也是NFL修改規則的目的。在做出決定時應該考慮以下幾點：
- 踢球成功的機率。
- 進行兩分轉換的成功機率。
- 每隊獲勝的整體機率。
在比賽後期，考慮關鍵數據也至關重要。例如，如果比賽進行到最後階段，你剛剛達陣，讓球隊領先三分，那麼你應該踢球。如果踢進，你將領先四分，迫使對方達陣才能獲勝。如果你踢進兩分，但沒踢進，對方只能透過射門得分扳平比分。所以，我將只討論比賽初期，因為那時關鍵數據並不是很重要。
為了回答你的問題，我寫了一個模擬程式。雖然程序比較粗糙，但我認為它相當準確地反映了NFL在射門得分、達陣和失誤方面的本質。
根據凱文魯迪（Kevin Rudy）的文章《將附加分移至15碼線會產生什麼影響？ 》 ，從15碼線獲得附加分的機率為94.2%。為了讓數字更準確、更完整，我把這個機率設定為94%。
關於兩分轉換的機率，爭議更大。顯然，根據具體的防守和進攻，這也會有很大差異。我做的是，以46%到50%的兩分轉換成功率，以1%為一組進行模擬。
在每次模擬中，我都讓一支球隊始終踢球，而對方則在每個成功機率下嘗試轉換得分。我還進行了兩支球隊始終踢球的模擬，以便與兩分轉換得分的結果進行比較。
下表1顯示了兩支實力相當的球隊的比賽結果。 A隊總是在達陣後踢球。表格顯示了B隊獲勝的機率，以及根據B隊是踢球還是爭取兩分轉換（2PC）以及其成功機率，每場比賽平均額外得分。
表 1 — 平等團隊
| B隊 策略 | B隊 機率。 贏 | 平均 額外的 積分 |
|---|---|---|
| 踢 | 50.00% | 0.0001 |
| 2PC——46% | 49.76% | 0.0491 |
| 2PC——47% | 49.90% | 0.0000 |
| 2PC——48% | 50.05% | 0.0492 |
| 2PC——49% | 50.19% | 0.0980 |
| 2件——50% | 50.33% | 0.1461 |
請注意，成功機率為47%，無論是踢球或嘗試兩分，預期加分均為0.94。然而，嘗試兩分的獲勝機率要低0.1%。我認為這是因為如果你踢丟了，對方就有機會透過兩次射門得分扳平比分。需要注意的是，這個關鍵數字效應很小，但在其他條件相同的情況下，保守選擇踢球確實更有利。總而言之，如果兩隊實力持平，嘗試兩分轉換的成功機率至少應該達到49%。
下表2顯示了兩支實力懸殊的球隊的比賽結果，其中A隊實力更強。 A隊總是在達陣後踢球。其統計數據與上表1相同。
表 2 — 實力較強的 A 隊
| B隊 策略 | B隊 機率。 贏 | 平均 額外的 積分 |
|---|---|---|
| 踢 | 28.83% | -7.0039 |
| 2PC——46% | 29.01% | -7.0519 |
| 2PC——47% | 29.16% | -7.0039 |
| 2PC——48% | 29.30% | -6.9568 |
| 2PC——49% | 29.45% | -6.9083 |
| 2件——50% | 29.60% | -6.8595 |
表2顯示，在所有列出的成功機率下，實力較弱的球隊都應該選擇兩分轉換。即使是45%的成功機率，預期總得分也更低。你可能會問，這是為什麼？因為在任何比賽中，實力較弱的球隊都應該追求差異，而實力較強的球隊則應該厭惡差異。
下表3顯示了兩支實力懸殊的球隊的比賽結果，其中B隊實力更強。 A隊總是在達陣後踢球。其統計數據與上表1和2相同。表 3 — B 隊實力更強
| B隊 策略 | B隊 機率。 贏 | 平均 額外的 積分 |
|---|---|---|
| 踢 | 71.17% | 7.0042 |
| 2PC——46% | 70.53% | 6.9349 |
| 2PC——47% | 70.67% | 7.0030 |
| 2PC——48% | 70.82% | 7.0725 |
| 2PC——49% | 70.97% | 7.1412 |
| 2件——50% | 71.12% | 7.2109 |
請注意，表3顯示B隊透過踢球獲勝的機率為71.17%。儘管49%或50%的成功機率預期得分較高，但所有顯示的成功機率都低於這個數字。原因同樣在於，弱隊應該尋求差異，而強隊則應該避免差異。兩分轉換嘗試增加了比賽的波動性，這就是為什麼在其他條件相同的情況下，弱隊應該比強隊更傾向於嘗試這種嘗試。