請問巫師 #287
擲骰子 n 次，形成 Yahtzee 的機率是多少？
為了方便其他讀者理解，Yahtzee 指的是用五支骰子擲出五條的骰子。在 Yahtzee 遊戲中，玩家可以保留任何一個骰子，然後重新擲出剩餘的骰子。最多可以擲三次。
如果玩家願意，可以重新擲出先前持有的骰子。例如，如果玩家第一次擲出的骰子是 3-3-4-5-6，他手中持有的是 3，第二次擲出的骰子是 3-3-5-5-5，那麼他可以保留 5，並在第三次擲出的骰子上重新擲出 3。
下表列出了1至20次投擲中，相同面數的骰子的最大數量。表格顯示，三次投擲中贏得Yahtzee的機率約為4.6%。
骰子機率
| 麵包捲 | 同面最大骰子 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | |
| 1 | 0.092593 | 0.694444 | 0.192901 | 0.019290 | 0.000772 |
| 2 | 0.008573 | 0.450103 | 0.409022 | 0.119670 | 0.012631 |
| 3 | 0.000794 | 0.256011 | 0.452402 | 0.244765 | 0.046029 |
| 4 | 0.000074 | 0.142780 | 0.409140 | 0.347432 | 0.100575 |
| 5 | 0.000007 | 0.079373 | 0.337020 | 0.413093 | 0.170507 |
| 6 | 0.000001 | 0.044101 | 0.263441 | 0.443373 | 0.249085 |
| 7 | 0.000000 | 0.024501 | 0.199279 | 0.445718 | 0.330502 |
| 8 | 0.000000 | 0.013612 | 0.147462 | 0.428488 | 0.410438 |
| 9 | 0.000000 | 0.007562 | 0.107446 | 0.398981 | 0.486011 |
| 10 | 0.000000 | 0.004201 | 0.077416 | 0.362855 | 0.555528 |
| 11 | 0.000000 | 0.002334 | 0.055317 | 0.324175 | 0.618174 |
| 12 | 0.000000 | 0.001297 | 0.039279 | 0.285674 | 0.673750 |
| 十三 | 0.000000 | 0.000720 | 0.027757 | 0.249063 | 0.722460 |
| 14 | 0.000000 | 0.000400 | 0.019543 | 0.215313 | 0.764744 |
| 15 | 0.000000 | 0.000222 | 0.013720 | 0.184883 | 0.801175 |
| 16 | 0.000000 | 0.000124 | 0.009610 | 0.157896 | 0.832371 |
| 17 | 0.000000 | 0.000069 | 0.006719 | 0.134258 | 0.858954 |
| 18 | 0.000000 | 0.000038 | 0.004692 | 0.113753 | 0.881517 |
| 19 | 0.000000 | 0.000021 | 0.003272 | 0.096100 | 0.900607 |
| 20 | 0.000000 | 0.000012 | 0.002280 | 0.080994 | 0.916714 |
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
賭場需要玩多少手遊戲才能保證獲利？
當然，這取決於遊戲本身。莊家優勢越大，變異數越小，勝率越高。這也取決於信心程度。
下表顯示了在假設投注金額相同的情況下，賭場需要多少注才能在不同程度的置信度下對某些常見遊戲產生信心。例如，要讓百家樂中莊家投注的淨利潤率達到 95%，賭場需要發 20,791 手牌。
除了“Jacks or Better”之外，所有情況都基於常態分佈。如果任何一種結果的預期事件數不超過5個，則該近似值變得不可靠。因此，對於視訊撲克，我對「Royalty」結果使用了泊松分佈，其他情況則使用了常態近似。
對於二十一點，規則是：6 副牌，莊家在軟 17 點時停牌，允許分牌後加倍，允許投降，允許重新分牌 A。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
為什麼 19,933,230,517,200 這個數字在視訊撲克的總組合數中出現得如此頻繁？
為了其他讀者的利益，這裡是 9-6 Jacks or Better 的回報表。
“9-6”傑克或更好
| 手 | 付清 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 皇家同花順 | 800 | 493512264 | 0.00002476 | 0.01980661 |
| 同花順 | 50 | 2178883296 | 0.00010931 | 0.00546545 |
| 四條 | 二十五 | 47093167764 | 0.00236255 | 0.05906364 |
| 客滿 | 9 | 229475482596 | 0.01151221 | 0.10360987 |
| 沖洗 | 6 | 219554786160 | 0.01101451 | 0.06608707 |
| 直的 | 4 | 223837565784 | 0.01122937 | 0.04491747 |
| 三條 | 3 | 1484003070324 | 0.07444870 | 0.22334610 |
| 兩對 | 2 | 2576946164148 | 0.12927890 | 0.25855780 |
| 傑克或更好 | 1 | 4277372890968 | 0.21458503 | 0.21458503 |
| 沒有什麼 | 0 | 10872274993896 | 0.54543467 | 0 |
| 全部的 | 19933230517200 | 1 | 0.99543904 |
我的大多數 52 張牌遊戲的視訊撲克回報表都有相同數量的組合，即 19933230517200。問題是為什麼？
首先，從 52 張牌中選出 5 張牌共有(52,5) = 2,598,960 種方法。
其次，根據玩家棄牌的數量，抽牌組合最多有 combin(47,5) = 1,533,939 種。下表第二列顯示了根據棄牌數量計算出的抽牌組合數。
抽獎組合
| 丟棄 | 組合 | 重量 | 產品 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 7,669,695 | 7,669,695 |
| 1 | 四十七 | 163,185 | 7,669,695 |
| 2 | 1,081 | 7,095 | 7,669,695 |
| 3 | 16,215 | 473 | 7,669,695 |
| 4 | 178,365 | 43 | 7,669,695 |
| 5 | 1,533,939 | 5 | 7,669,695 |
第二列數字的最小公倍數是 7,669,695。這個數字可以表示為 5×combin(47,5)。為了保持每手牌的組合總數相同，我對聽牌組合進行了加權，使聽牌組合總數為 7,669,695。
因此，19,933,230,517,200 = combin(52,5)×combin(47,5)×5。我的一些52張牌的視訊撲克牌桌的組合數較少。這是因為有時最終回報表中每手牌的組合總數的最大公約數大於1。在這種情況下，我有時會將每個總數除以最大公約數。我的視訊撲克分析器會自動執行此操作。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇上提出並討論的。
兩位玩家分別獲得一個 (0,1) 中的隨機數。第一位玩家決定維持現狀還是棄牌並抽取新的數字。第二位玩家也同樣決定。數字大的玩家獲勝。每位玩家的最佳策略是什麼？假設採用最佳策略，每位玩家獲勝的機率是多少？
我在印度賭場玩牌九撲克，拿到了一手K和Q，心裡盤算著贏錢的數目。這時，荷官翻出了TTTJK*A（*=百搭牌），沒有同花的可能性。她把牌寫成了TTTKJ，A*。我要求看看荷官的牌路，因為我覺得TJ*KA，TT會更好，而且結果也跟我有經濟利益相關。
他們給我看了莊家的發牌規則，但規則並沒有明確說明這手牌的正確性。最後他們拿走了我的錢，給了我雙倍的不可轉讓籌碼，好讓遊戲繼續進行，這還好。在場上，4+花色的玩家們就如何發牌進行了一場討論，持續了半個多小時。最後他們決定TTTJK/A*才是正確的發牌規則，並決定修改莊家的發牌規則。
我的問題是，這手牌的規則是什麼，以及如何解釋這種令人困惑的手牌的規則？
牌九撲克從誕生之日起就是一款設計糟糕的遊戲，幾十年過去了，卻無人費心去改進。牌九撲克的缺陷包括：
- 過於混亂和複雜的家道。
- A2345 直道是第二高的荒謬規則。
- 玩家銀行和共同銀行的選項，除了我之外幾乎沒有人會調用。
我曾在拉斯維加斯大道一家大型賭場（名字就不提了）短暫工作過一段時間，當時我提議設計一種更簡潔、更強大的賭場玩法，清晰地涵蓋所有可能的情況。這種玩法不僅適用於牌九撲克，也適用於骨牌。當然，這個建議被毫無保留地否決了。
現在我的吐槽完畢，我來試著回答你的問題。雖然不同賭場的打法有所不同，但它們的組織方式或多或少都差不多。福克斯伍茲賭場的打法就是典型的打法。以你的牌為例，不清楚應該把它當作順子牌，然後按AKQJT/TT打，還是當作葫蘆牌，然後按TTTJK/AA打。
不是你問的，但讓我們來看看在數學上對賭場來說更好的玩法是什麼。使用我的牌九撲克附錄1，假設莊家押莊，我們得到以下結果：
莊家打順子牌的預期贏率可達 96.46%，而打葫蘆牌的預期贏率僅 87.49%。因此，按順子規則出牌要好得多。
就我個人而言，我編寫牌九撲克遊戲的方式是從最高牌型（五張 A）開始，然後按照 if/else if/else if/else if/end 循環的方式向上移動頁面。換句話說，我會根據可能出現的五張牌的最高牌型對牌型進行分類，然後遵循這些規則。
我認為這就是莊家規則的本意。為了證明這一點，不妨考慮一下坎特伯雷公園莊家規則。尤其是同花牌規則，其內容如下。
六張和七張同花牌會在低手牌中打出最高的兩張牌。
（例外：如果兩對是同花，則適用兩對規則。）
與所有其他賭場規則一樣，最低牌型會列在最前面。如果這手牌應該按照遇到的第一套規則來玩，那麼他們無論如何都會遵循兩對規則。既然兩對規則列在同花規則之前，那麼沒有理由明確破例遵循兩對規則。
出於實際考慮，我問了兩位荷官，他們會如何處理這手牌。他們都說，書面的賭場規則只是指導原則，如果遇到令人困惑的牌局，就問問賭場工作人員該怎麼做，然後照做就行，不要問為什麼。其中一位荷官說，有一條不成文的規則是，遵循看起來最適合當時情況的規則。在福克斯伍茲賭場，有一條針對三條的順子牌的規則。既然這條規則最能具體地描述這手牌，那就遵循這條規則，儘管完整的賭場規則也涵蓋了這手牌。
長話短說，我見過的賭場遊戲，無論是牌九撲克還是牌九牌，都沒有清楚地解釋過每一種可能的牌型。它們充滿了相互矛盾的規則。除非有人願意採取措施，否則你只能聽從現場工作人員的解釋。根據我的經驗，這些令人困惑的情況似乎通常會被判對玩家不利。
我希望有一天，玩家會對此感到厭煩，並在下次出現有利於莊家的模糊牌局時向相應的博彩管理機構投訴。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。