請問巫師 #284
你聽過西雅圖一家汽車經銷商因為海鷹隊完封巨人隊而賠了42萬美元的事嗎？我聽說他們為此買了7000美元的保險。那麼合理的保費是多少呢？
根據文章《 華盛頓汽車經銷商在海鷹隊完封巨人隊後賠付 420,000 美元》報道，該經銷商推出了一項促銷活動，如果海鷹隊在 2013 年 12 月 15 日舉行的第 15 週比賽中完封巨人隊，則將向 12 名獲勝者每人支付 35,000 美元。文章還說，如果真的發生了上述事件，經銷商還支付了 7,000 美元的保險費。
根據1983年至2012年賽季的每場NFL比賽，每場比賽都有特定一方完成。然而，作為一支落後7分的弱隊，在一場平均得分高於/低於的比賽中，我認為巨人隊被完封的機率高於平均水平。那場比賽的得分高於/低於41分。讓我們用一些代數運算來計算巨人隊的預期得分。
讓：
s=海鷹隊得分
g=巨人隊積分
根據點差和總分高/低，我們知道 s+g=41 和 s=g+7。
將第二個方程式代入第一個方程式：
(g+7) + g = 41
2克+7=41
2克=34
g = 17
接下來，讓我們根據1983年至2012年賽季的數據，根據每支球隊的預計得分來計算完封的機率。我跳過了樣本量為零的行。
完封機率
| 估計的 積分 | 樣本量 | 完封 | 比率 |
|---|---|---|---|
| 5.25 | 1 | 0 | 0.0% |
| 6.50 | 1 | 0 | 0.0% |
| 7.75 | 1 | 0 | 0.0% |
| 8.00 | 1 | 0 | 0.0% |
| 8.25 | 3 | 0 | 0.0% |
| 8.50 | 2 | 0 | 0.0% |
| 8.75 | 2 | 0 | 0.0% |
| 9.00 | 2 | 0 | 0.0% |
| 9.50 | 4 | 0 | 0.0% |
| 9.75 | 6 | 1 | 16.7% |
| 10.00 | 10 | 1 | 10.0% |
| 10.25 | 7 | 0 | 0.0% |
| 10.50 | 14 | 2 | 14.3% |
| 10.75 | 7 | 1 | 14.3% |
| 11.00 | 十三 | 1 | 7.7% |
| 11.25 | 21 | 1 | 4.8% |
| 11.50 | 22 | 3 | 13.6% |
| 11.75 | 23 | 1 | 4.3% |
| 12.00 | 三十四 | 2 | 5.9% |
| 12.25 | 三十六 | 7 | 19.4% |
| 12.50 | 41 | 3 | 7.3% |
| 12.75 | 三十九 | 4 | 10.3% |
| 13.00 | 55 | 1 | 1.8% |
| 13.25 | 58 | 5 | 8.6% |
| 13.50 | 78 | 1 | 1.3% |
| 13.75 | 89 | 5 | 5.6% |
| 14.00 | 92 | 4 | 4.3% |
| 14.25 | 108 | 7 | 6.5% |
| 14.50 | 117 | 8 | 6.8% |
| 14.75 | 141 | 7 | 5.0% |
| 15.00 | 160 | 7 | 4.4% |
| 15.25 | 160 | 7 | 4.4% |
| 15.50 | 213 | 7 | 3.3% |
| 15.75 | 198 | 11 | 5.6% |
| 16.00 | 206 | 6 | 2.9% |
| 16.25 | 221 | 12 | 5.4% |
| 16.50 | 241 | 10 | 4.1% |
| 16.75 | 273 | 7 | 2.6% |
| 17.00 | 306 | 8 | 2.6% |
| 17.25 | 305 | 8 | 2.6% |
| 17.50 | 306 | 10 | 3.3% |
| 17.75 | 323 | 4 | 1.2% |
| 18.00 | 299 | 8 | 2.7% |
| 18.25 | 332 | 8 | 2.4% |
| 18.50 | 309 | 9 | 2.9% |
| 18.75 | 307 | 7 | 2.3% |
| 19.00 | 356 | 8 | 2.2% |
| 19.25 | 389 | 5 | 1.3% |
| 19.50 | 361 | 5 | 1.4% |
| 19.75 | 343 | 6 | 1.7% |
| 20.00 | 402 | 8 | 2.0% |
| 20.25 | 379 | 6 | 1.6% |
| 20.50 | 359 | 3 | 0.8% |
| 20.75 | 353 | 5 | 1.4% |
| 21.00 | 344 | 1 | 0.3% |
| 21.25 | 317 | 3 | 0.9% |
| 21.50 | 341 | 2 | 0.6% |
| 21.75 | 331 | 1 | 0.3% |
| 22.00 | 369 | 1 | 0.3% |
| 22.25 | 336 | 0 | 0.0% |
| 22.50 | 316 | 2 | 0.6% |
| 22.75 | 280 | 3 | 1.1% |
| 23.00 | 311 | 1 | 0.3% |
| 23.25 | 290 | 3 | 1.0% |
| 23.50 | 279 | 1 | 0.4% |
| 23.75 | 255 | 1 | 0.4% |
| 24.00 | 246 | 1 | 0.4% |
| 24.25 | 219 | 0 | 0.0% |
| 24.50 | 230 | 2 | 0.9% |
| 24.75 | 230 | 1 | 0.4% |
| 25.00 | 212 | 2 | 0.9% |
| 25.25 | 207 | 0 | 0.0% |
| 25.50 | 176 | 1 | 0.6% |
| 25.75 | 154 | 0 | 0.0% |
| 26.00 | 154 | 1 | 0.6% |
| 26.25 | 113 | 0 | 0.0% |
| 26.50 | 137 | 0 | 0.0% |
| 26.75 | 122 | 0 | 0.0% |
| 27.00 | 95 | 0 | 0.0% |
| 27.25 | 98 | 0 | 0.0% |
| 27.50 | 83 | 0 | 0.0% |
| 27.75 | 81 | 0 | 0.0% |
| 28.00 | 82 | 0 | 0.0% |
| 28.25 | 55 | 1 | 1.8% |
| 28.50 | 56 | 0 | 0.0% |
| 28.75 | 51 | 0 | 0.0% |
| 29.00 | 四十八 | 0 | 0.0% |
| 29.25 | 三十四 | 0 | 0.0% |
| 29.50 | 24 | 0 | 0.0% |
| 29.75 | 二十五 | 0 | 0.0% |
| 30.00 | 24 | 0 | 0.0% |
| 30.25 | 21 | 0 | 0.0% |
| 30.50 | 18 | 0 | 0.0% |
| 30.75 | 23 | 0 | 0.0% |
| 31.00 | 16 | 0 | 0.0% |
| 31.25 | 15 | 0 | 0.0% |
| 31.50 | 8 | 0 | 0.0% |
| 31.75 | 3 | 0 | 0.0% |
| 32.00 | 6 | 0 | 0.0% |
| 32.25 | 7 | 0 | 0.0% |
| 32.50 | 6 | 0 | 0.0% |
| 32.75 | 3 | 0 | 0.0% |
| 33.00 | 4 | 0 | 0.0% |
| 33.25 | 6 | 0 | 0.0% |
| 33.50 | 5 | 0 | 0.0% |
| 34.75 | 4 | 0 | 0.0% |
| 35.00 | 2 | 0 | 0.0% |
| 35.50 | 1 | 0 | 0.0% |
| 36.00 | 2 | 0 | 0.0% |
| 36.25 | 1 | 0 | 0.0% |
| 36.50 | 1 | 0 | 0.0% |
| 37.25 | 1 | 0 | 0.0% |
| 37.75 | 2 | 0 | 0.0% |
| 42.25 | 1 | 0 | 0.0% |
接下來的步驟太複雜，無法在此解釋，但我根據估計的點數，開發了一個計算完封機率的公式。
p = 估計點數。
x = 1.562545 -0.302485 * p
完封機率 = e x /(1+e x )
下圖顯示了 14 至 22 分之間完封的實際機率和估計機率。
在本場比賽中巨人隊預計得分 17 分。
使用表格上方的公式：
x = 1.562545 -0.302485 * 17 = -3.579706
完封機率 = exp(-3.579706)/( exp(-3.579706)+1) = 2.71%。確切地說，是 0.0271275。
考慮到如果巨人隊完封對手，經銷商將需要支付42萬美元，那麼保單的合理成本應該是42萬美元×0.0271275=11394美元。通常情況下，承保此類特殊促銷活動的保險公司會將合理成本翻倍，所以我預計保費應在2,2788美元左右。所以，經銷商付的7000美元保費簡直是便宜。假設老闆仔細核算了一下，我可不想成為計算出這7,000美元保費的人。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
不存在最大質數的證明是什麼？
假設存在一個最大的質數。我們可以將這些質數編號為 p1=2，p2=3，p3=5，p4=7，…pL = 最大的質數。
現在讓我們定義數字 x = p1*p2*p3*p4*...*pL + 1。
質數的意思是沒有其他比它小的質數可以整除它。
如果我們用 p1、p2、p3、... pL 除以 x，每次都會得到餘數 1。
你可能會爭辯說，一個大於 pL 的素數也許能被 x 整除。沒錯，但這樣一來，你就找到了一個比所謂的最大質數更大的質數。如果不是，那麼 x 就變成了一個新的最大質數，從而透過反證法證明了最初關於存在最大質數的猜測。
這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。
您是否同意 Business Insider 上題為「數學告訴你現在應該買一張百萬大獎彩券」的文章？
不，我不同意。這是一篇糟糕的新聞報道，Business Insider 應該為此感到羞愧。
首先，這篇文章發表於2013年12月17日，也就是當晚6.36億美元開獎之前。讓我們用數學方法評估一下1美元彩券的價值。下表顯示了6.36億美元頭獎所有可能結果的機率和預期回報，其中未考慮一次性罰款、稅費和獎金分配等因素。由於數字較小，前三個機率以科學計數法表示。
超級百萬大獎——6.36億美元
| 抓住 | 超級球 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 是的 | 6.36億美元 | 1 | 3.86E-09 | 2.456634 |
| 5 | 不 | 100萬美元 | 14 | 5.41E-08 | 0.054077 |
| 4 | 是的 | 5,000 美元 | 350 | 1.35E-06 | 0.006760 |
| 4 | 不 | 500美元 | 4,900 | 0.000019 | 0.009463 |
| 3 | 是的 | 50美元 | 24,150 | 0.000093 | 0.004664 |
| 3 | 不 | 5美元 | 338,100 | 0.001306 | 0.006530 |
| 2 | 是的 | 5美元 | 547,400 | 0.002114 | 0.010572 |
| 1 | 是的 | 2美元 | 4,584,475 | 0.017708 | 0.035416 |
| 0 | 是的 | 1美元 | 12,103,014 | 0.046749 | 0.046749 |
| 失敗者 | 0美元 | 241,288,446 | 0.932008 | 0.000000 | |
| 全部的 | 258,890,850 | 1.000000 | 2.630865 | ||
這表明，一張1美元的彩票將獲得2.630864美元的回報。扣除彩券成本後的預期利潤為1.630864美元。 Business Insider的利潤為1.632029美元。雖然差額為0.001164美元，但並不算什麼。
然而，有三件事會顯著降低其價值：
- 一次性罰款。
- 稅收。
- 分享獎金。
讓我們逐一看一下。
大型彩券累積獎金通常以約30年的年金形式發放，包括超級百萬彩券 (Mega Millions)。如果中獎者想一次獲得所有獎金（大多數人都這麼做），就必須接受大幅減免。這很公平，因為今天的一美元比未來的一美元更值錢。在2013年12月17日的開獎中，總獎金減少至3.476億美元，相當於公佈獎金的54.65%。
接下來，我們來看看稅收。聯邦邊際所得稅率最高為39.6%。州稅從0%到12.3%不等，所以我們假設平均稅率為6%。扣除45.6%的稅金後，剩餘1.891億美元。
現在是最棘手的部分——獎金分享。值得注意的是，從 2013 年 10 月 22 日的抽獎開始，Mega Millions 將規則改為 75-15 格式，即從 1 到 75 中抽取五個號碼，然後從 1 到 15 的另一個號碼池中抽取一個號碼。這將中獎機率降低到 258,890,850 分之一，顯然是為了獲得更大的獎金。僅查看此後的 17 次抽獎，使用LottoReport.com的獎金和銷售數據，我發現獎金金額和需求之間存在指數關係。順便說一下，我在強力球彩券中也發現了同樣的情況。使用指數回歸，我計算售出彩票總數（以百萬計）的公式是 12.422 × exp(0.0052 × j)，其中 j 是獎金數額（以百萬計）。例如，如果頭獎金額為 6.36 億美元，預期銷售額為 12.422 * exp(0.0052*636) = 3.392 億美元。實際銷售額為 3.37 億美元，非常接近。
根據實際售出的彩券數量 336,545,306 張，我們預計中獎人數為 336,545,306/258,890,850 = 1.300 人。關鍵問題是，如果您中獎了，預計會有多少人分享獎金？根據泊松分佈，這個問題很容易回答。假設平均中獎人數為 1.3 人，那麼恰好有 x 人中獎的機率為 exp(1.3)×1.3 x /fact(x)。下表列出了 0 到 10 位其他中獎者的機率、您在每種情況下獲得的獎金份額以及假設您中獎後的預期份額。
預計獎金分配比例平均為 1.3 名其他得獎者
| 其他獲獎者 | 可能性 | 累積獎金份額 | 預期份額 |
|---|---|---|---|
| 10 | 0.000001 | 0.090909 | 0.000000 |
| 9 | 0.000008 | 0.100000 | 0.000001 |
| 8 | 0.000055 | 0.111111 | 0.000006 |
| 7 | 0.000339 | 0.125000 | 0.000042 |
| 6 | 0.001827 | 0.142857 | 0.000261 |
| 5 | 0.008431 | 0.166667 | 0.001405 |
| 4 | 0.032429 | 0.200000 | 0.006486 |
| 3 | 0.099786 | 0.250000 | 0.024946 |
| 2 | 0.230283 | 0.333333 | 0.076761 |
| 1 | 0.354295 | 0.500000 | 0.177148 |
| 0 | 0.272545 | 1.000000 | 0.272545 |
| 全部的 | 1.000000 | 0.559602 |
右下角的單元格顯示，您可以保留 55.96% 的資金，其餘 44.04% 將歸於那些您必須與之分享的其他獲勝者。
現在，我們的6.36億美元頭獎已降至1.891億美元 × 55.96% = 1.058億美元。讓我們看看以這個數字作為頭獎，回報表會是什麼樣子。
超級百萬大獎——1.058億美元
| 抓住 | 超級球 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 是的 | 1.058億美元 | 1 | 3.86E-09 | 0.408666 |
| 5 | 不 | 100萬美元 | 14 | 5.41E-08 | 0.054077 |
| 4 | 是的 | 5,000 美元 | 350 | 1.35E-06 | 0.006760 |
| 4 | 不 | 500美元 | 4,900 | 0.000019 | 0.009463 |
| 3 | 是的 | 50美元 | 24,150 | 0.000093 | 0.004664 |
| 3 | 不 | 5美元 | 338,100 | 0.001306 | 0.006530 |
| 2 | 是的 | 5美元 | 547,400 | 0.002114 | 0.010572 |
| 1 | 是的 | 2美元 | 4,584,475 | 0.017708 | 0.035416 |
| 0 | 是的 | 1美元 | 12,103,014 | 0.046749 | 0.046749 |
| 失敗者 | 0美元 | 241,288,446 | 0.932008 | 0.000000 | |
| 全部的 | 258,890,850 | 1.000000 | 0.582898 | ||
右下角單元格顯示預期回報率為 58.29%。換句話說，你投資 1 美元，預期能獲得約 58 美分的回報，預期損失（或賭場優勢）約為 42%。這聽起來像是在告訴你該買彩券嗎？
文章稱，“因此，只要售出的彩票數量少於 7.3 億張（目前這種情況很有可能發生），彩票的預期價值就應該為正，因此您應該考慮今天購買一張百萬大獎彩票。”
雖然銷量遠低於7.3億，但這個數字仍然很糟糕。不過，平心而論，文章接下來還說了以下：
請記住，這項分析有很多需要注意的地方。稅收可能會嚴重影響你的預期收益——聯邦政府將收取約40%的稅款，而你的家鄉州則會收取0%到13%左右的稅款。
很多人都在買彩票，正如上文所討論的，這將大大增加平局的機率，並減少隨之而來的賠付。 」——《商業內幕》
這些都是非常重要的警告！它們不應該只是在文章末尾順便提及，而應該從一開始就納入分析之中。
不是你問的，但我發現數學告訴你永遠不要玩超級百萬彩票。考慮到彩券需求呈指數級增長，根據頭獎金額，我認為最佳投注時機是5.45億美元的頭獎。如果頭獎金額超過這個數字，你就得和太多其他中獎者分享了。在這個頭獎金額下，玩家預期回報率為60.2%，損失為39.8%。這已經是最好不過了。
最後，不，我不同意《商業內幕》用聳人聽聞的標題欺騙讀者，並且沒有對稅收和獎金分配進行適當的分析。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。