請問巫師 #281
假設一枚公平硬幣被拋擲 n 次，出現至少一次 t 次反面的機率是多少？
答案是 1-F (t) n+2 /2 n ，其中 F (t) n是 t 步斐波那契數列中的第 n 個數字。
你可能會問，斐波那契數列是什麼？它的第一個數字是 1。在 t 步驟序列中，每個後續數字都是前 t 個數字總和。假設第一個數字之前的任何數字都是 0。
讓我們來看一個兩步序列。第一個數字是 1。第二個數字是前兩個數字總和。假設 1 前面有 0，所以第二個數字是 0+1=1。第三個數字是 1+1=2，第四個數字是 1+2=3，第五個數字是 2+3=5。
前十二個二步斐波那契數列為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。
我們舉個例子，拋十次硬幣，至少有一次連續擲出兩次反面的機率是多少？
我們使用兩步驟斐波那契數列，因為我們只需要兩次反面。數列中的第 12 個數字（比翻轉次數多 2 個）是 144。因此，答案是 1-F (2) 10+2 /2 10 = 1 - 144/2 10 = 1 - 144/1024 = 85.94%。
在 20 次拋擲中，連續出現 5 次反面的機率是多少？
前 22 個 5 步斐波那契數列為 1、1、2、4、8、16、31、61、120、236、464、912、1793、3525、6930、13624、26784、52656、10351930、13624、26784、52656、103519626206462620620620626206206206206206206262620620620696206。
因此答案為 1 - F (5) 20+2 /2 20 = 1 - 786,568/1,048,576 = 1 - 75.01% = 24.99%。
我在Wizard of Vegas論壇上討論過這個問題。
直到我開始在賭場玩W2-Gs的時候我才意識到這一點，但是有沒有什麼方法可以不用提供社保號碼就能拿到錢呢？我有點擔心賭場會取得不必要的資訊。我中過幾次皇家註和手牌，我不喜歡賭場扣留我的執照，還得填寫我的社保號碼。
首先，您必須出示帶有照片的身份證件，否則賭場將扣留您的獎金，直到您出示為止。如果您出示身分證明文件但拒絕出示或申報有效的社會安全號碼或其他稅務識別號碼，則將扣除25%至30%的獎金，具體取決於累積獎金是超過還是少於5,000美元，以及您來自美國還是簽訂了互惠稅收協定的國家。
截至 2011年，這些國家包括亞美尼亞、澳洲、奧地利、亞塞拜然、孟加拉、巴貝多、白俄羅斯、比利時、保加利亞、加拿大、中國、賽普勒斯、丹麥、埃及、愛沙尼亞、芬蘭、法國、喬治亞、德國、希臘、匈牙利、冰島、印度、印尼、愛爾蘭、以色列、義大利、牙買加、日本、哈薩克、吉爾吉斯、吉爾吉斯、陶吉宛、盧森堡、墨西哥、摩爾多瓦、摩洛哥、紐西蘭、挪威、巴基斯坦、菲律賓、波蘭、葡萄牙、羅馬尼亞、俄羅斯、俄羅斯、斯洛伐克、斯洛維尼亞、南非、韓國、西班牙、斯里蘭卡、瑞典、瑞士、塔吉克斯坦、泰國、捷克共和國、荷蘭、特立尼達和多巴哥、突尼斯、土耳其、庫曼斯坦、烏克蘭、英國、烏茲克。
我一直在努力弄清楚具體規則，但總是頭痛。請參閱美國國稅局簽發W2G表格的規則，以了解更多資訊。
感謝《賭徒的稅務幫助》的合著者 Marissa Chien 和 MathExtremist 對這個問題的幫助。
我在Wizard of Vegas論壇上討論過這個問題。
根據CardPlayer.com報導，阿米爾·萊哈沃特（Amir Lehavot）是九位進入 2013 年世界撲克錦標賽決賽桌的選手之一，他將以每 1% 份額 29,248 美元的價格出售第九名（最低 733,224 美元）的獎金。這個價格合理嗎？
首先，讓我們回顧一下籌碼堆疊。
2013 WSOP 決賽桌籌碼量
| 玩家 | 洋芋片 |
|---|---|
| 陳俊傑 | 38,000,000 |
| 阿米爾·萊哈沃特 | 29,700,000 |
| 馬克·麥克勞克林 | 26,525,000 |
| 傑伊法伯 | 25,975,000 |
| 瑞安·里斯 | 25,875,000 |
| 西爾萬·盧斯利 | 19,600,000 |
| 米歇爾·布魯梅爾豪斯 | 11,275,000 |
| 馬克紐豪斯 | 7,350,000 |
| 大衛貝內菲爾德 | 6,375,000 |
下表顯示了錦標賽中每場最終比賽的勝利情況。
2013年WSOP決賽桌獎金
| 地方 | 贏 |
|---|---|
| 第一 | 8,359,531美元 |
| 第二 | 5,173,170美元 |
| 第三 | 3,727,023美元 |
| 第四 | 2,791,983 美元 |
| 第五 | 2,106,526美元 |
| 第六 | 1,600,792美元 |
| 第七 | 1,225,224美元 |
| 第八 | 944,593美元 |
| 第九 | 733,224美元 |
假設每位玩家的水平相同，獲勝機率可以用籌碼佔總籌碼量的份額來估算。然而，之後的每個位置都會變得更加複雜。為了解答這個問題，我開發了撲克錦標賽計算器。
輸入以上資訊後，您會發現阿米爾的預期獎金為 3,658,046 美元。然後減去第 9 名的最低獎金 733,224 美元，您將獲得 2,924,822 美元的預期非保證獎金。每 1% 的份額價值 29,248.22 美元。這恰好是 cardplayer.com 文章中引用的價格。
順便說一句，Lehavot 獲得了第三名，獎金為 3,727,023 美元。扣除第九名的 733,224 美元保證金，再除以 100，每 1% 的份額可獲得 29,938 美元的回報。每股原始成本為 29,248 美元，因此每股收益為 2.36%。
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我認為我有一個成功的投注系統。但是，我需要比你們百家樂頁面上提供的3000多個百家樂牌盒更多的牌盒來測試它。你們能提供更多嗎？
希望你開心；我剛剛創造了25萬個這樣的系統。與其在賭場用真金白銀輸錢，不如免費發現你的系統最終會崩潰（它們都會崩潰）。
我在Wizard of Vegas論壇上討論過這個問題。
如果每個賭場都有一個秘密房間，裡面有一台電腦控制每筆賭注的結果，那你們網站上的數學還有什麼用呢？它能讓輪盤賭裡的球落在玩家輸得最多的地方。在紙牌遊戲中，它還能控制洗牌機，讓玩家拿到壞牌。你們是太天真了，還是真的參與陰謀了？
我要說的是，威尼斯人的「秘密房間」裡有餅乾。
我在Wizard of Vegas論壇上討論過這個問題。