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請問巫師 #279

平均而言，在一場50/50的遊戲中，需要多少次嘗試才能連續輸兩次？連續輸3次、4次、n次呢？

JyBrd0403

我們先來解決兩次損失的情況。

令 x 為從開始或每次獲勝後未來翻轉的預期次數。
令 y 為一次失敗後未來拋擲的預期次數。

我們可以建立以下兩個方程式：

（1）x = 1 + .5x + .5y

一代表玩家必須拋硬幣來改變狀態。獲勝的機率為 50%，保持在狀態 x。失敗的機率為 50%，進入狀態 y。

（2）y = 1 + .5x

再次從狀態 y 開始，1 表示在該點進行翻轉。獲勝的機率為 50%，返回狀態 x。失敗的機率為 50%，遊戲結束，無需再次翻轉，因此隱含的機率為 0.5*0。

將兩個方程式乘以 2 並重新排序可得：
（3）x - y = 2
（4）-x + 2y = 2

將兩個方程式相加可得：

（5）y=4

將其代入 (1) 至 (4) 中的任何方程，得到 x=6。

對於三損失的情況，將三種可能的狀態定義為：

令 x 為從開始或每次獲勝後未來翻轉的預期次數。
令 y 為一次失敗後未來拋擲的預期次數。
令 z 為兩次失敗後未來拋擲的預期次數。

初始方程式為：

x = 1 + .5x + .5y
y = 1 + .5x + .5z
z = 1 + .5x

我們可以將初始狀態設定為矩陣形式：

0.5 -0.5 0 1
-0.5 1 -0.5 1
-0.5 0 1 1

如果你還記得矩陣代數，我們可以用行列式（A）/行列式（B）來解 x，其中

A =

1 -0.5 0
1 1 -0.5
1 0 1

B =

0.5 -0.5 0
-0.5 1 -0.5
-0.5 0 1
0.5 -0.5 0
-0.5 1 -0.5
-0.5 0 1

Excel 有一個方便的行列式函數：=mdeterm(range)。在本例中，x = mdeterm(矩陣 A)/mdeterm(矩陣 B) = 1.75/0.125 = 14。

我們可以使用遞歸來處理更多連續失敗的情況。假設是 4 次。根據上文所述，平均需要拋硬幣 14 次才能連續失敗 3 次。此時，硬幣將再次拋出，重新開始的機率為 50%。因此：

x = 14 + 1 + x/2
x/2 = 15
x = 30

換句話說，在前一個答案上加一，然後加倍。

不難看出其中的規律。連續 n 次失敗的期望拋擲次數是 2 n+1 -2。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇上提出並討論的。

在您的「問問巫師」專欄 #277中，有人問您最早的賭場遊戲專利是什麼。您的回答提到了加勒比海梭哈撲克。這並非第一個獲得授權的賭場遊戲專利，儘管它可能是第一個成功遊戲的專利。我查了Google專利（信不信由你，但美國專利商標局的網站沒有1976年之前的專利），我發現最早的賭場類遊戲專利是1898年頒發的一項遊戲設備專利。

Jon M. 來自 Philadelphia, PA

謝謝。我不知道這是什麼專利，不過很有趣的是，發明賭場遊戲的生意可以追溯到這麼久以前。

多伊爾·布倫森（Doyle Brunson）在1976年和1977年兩度贏得世界撲克錦標賽主賽事冠軍。他每次都拿著10-2的底牌，並且兩次都在河牌圈拿到了葫蘆。這到底有多大的機率呢？

Jonathan F.

給定兩張不同點數的牌，湊成葫蘆的機率是1/121.6。河牌湊成葫蘆的機率是1/207。

在兩次河牌圈拿到這種牌的機率是 43,006 分之一。

如果起始牌是相同的兩張牌（僅在等級上），則發生這種情況的機率為 3,564,161 分之一。

兩次恰好出現 10-2 的機率是 295,379,826 分之一。

如果撲克遊戲中期有玩家死亡，會發生什麼事？

P90

我諮詢了一位前內華達州博彩監管人員兼賭場總裁。他說，這種情況會被視為「全押」的情況，就像網路撲克中意外斷線的處理方式一樣。

換句話說，當玩家死亡時，中間的籌碼會組成一個邊池。之後，任何額外的下注都會被放入一個單獨的池子中。如果死亡玩家的牌型最高，那麼他將贏得邊池。無論輸贏，他在該局牌結束後留在桌上的所有籌碼都將作為死者的遺產。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇上提出並討論的。

在牌九牌桌上，我可以請荷官檢查我的出牌方式，看看我是否按照賭場的規則出牌嗎？依照賭場規則出牌的頻率是多少？

soulhunt79

只要你不拖慢遊戲節奏，尤其是在牌桌上有大注玩家的情況下，你通常可以示範一下如何擺牌，然後問荷官：「你會這樣做嗎？」這也取決於荷官的耐心程度，以及/或其他玩家是否反對。我認識的一位荷官不喜歡被問到這個問題，因為她說，當她不得不擺自己的牌時，這個問題讓她感到困惑。對於任何高難度的遊戲，如果你是新手，我建議你第一次就嘗試自己擺一張牌，這樣就不會因為問太多問題而給其他玩家帶來不便。

關於第二個問題，如果玩家違反了傳統的莊家玩法，莊家玩法的正確率將達到80.2%。剩下的19.8%也是牌九如此難以精通的原因之一。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇上提出並討論的。

在骰子戰爭中，給定進攻和防守骰子的數量，成功的機率是多少？作為進攻方，哪個比例的預期效益最大？

odiousgambit

對於不熟悉遊戲的人來說，進攻方和防守方都會根據戰鬥中各自擁有的軍隊數量，擲1到8個骰子。點數較高的一方獲勝。如果打平，則防守方獲勝。如果進攻方失敗，他仍然可以在發動攻擊的領土上保留一支軍隊。因此，他必須至少擁有兩支軍隊才能進攻，這樣如果他獲勝，一支軍隊可以佔領被征服的領土，另一支軍隊可以留在原地。

下表顯示了根據所有 64 種骰子組合，攻擊者獲勝的機率。

攻擊者獲勝的機率

攻擊者後衛
第1軍2支軍隊3支軍隊4支軍隊5支軍隊6支軍隊7支軍隊8支軍隊
2 0.837963 0.443673 0.152006 0.035880 0.006105 0.000766 0.000071 0.000005
3 0.972994 0.778549 0.453575 0.191701 0.060713 0.014879 0.002890 0.000452
4 0.997299 0.939236 0.742831 0.459528 0.220442 0.083423 0.025450 0.006379
5 0.999850 0.987940 0.909347 0.718078 0.463654 0.242449 0.103626 0.036742
6 0.999996 0.998217 0.975300 0.883953 0.699616 0.466731 0.259984 0.121507
7 1.000000 0.999801 0.994663 0.961536 0.862377 0.685165 0.469139 0.274376
8 1.000000 0.999983 0.999069 0.989534 0.947731 0.843874 0.673456 0.471091

下表顯示了攻擊者的預期收益，定義為pr(攻擊者獲勝)*(防禦者骰子)+pr(防禦者獲勝)*(攻擊者骰子-1)。結果顯示，最大的預期收益是以8點進攻，對手以5點進攻。

攻擊者獲勝的淨收益

攻擊者後衛
第1軍2支軍隊3支軍隊4支軍隊5支軍隊6支軍隊7支軍隊8支軍隊
2 0.675926 0.331019 -0.391976 -0.820600 -0.963370 -0.994638 -0.999432 -0.999955
3 0.918982 1.114196 0.267875 -0.849794 -1.575009 -1.880968 -1.973990 -1.995480
4 0.989196 1.696180 1.456986 0.216696 -1.236464 -2.249193 -2.745500 -2.929831
5 0.999250 1.927640 2.365429 1.744624 0.172886 -1.575510 -2.860114 -3.559096
6 0.999976 1.987519 2.802400 2.955577 1.996160 0.134041 -1.880192 -3.420409
7 1.000000 1.998408 2.951967 3.615360 3.486147 2.221980 0.098807 -2.158736
8 1.000000 1.999847 2.990690 3.884874 4.372772 3.970362 2.428384 0.066365

你看過2012年1月23日的呆伯特漫畫嗎？你猜沃利當時玩的是牌九（骨牌）還是牌九撲克？

Michael M. 來自 Las Vegas

是的！我很喜歡。我覺得沃利玩的是磁磚。我的理由如下：

  • 沃利看起來就像是那種在牌桌上常見的非亞裔玩家。
  • 呆伯特是科學派，通常非常注重使用正確的術語。把牌九撲克稱為「牌九」既不準確，又很懶惰。我知道大多數人都這麼做，但我對呆伯特的期望更高。
  • 在第二幀中，呆伯特說牌九「在幾杯成人飲料下肚後就很難學會了」。請注意，他說的是“學”，而不是“玩”。牌九撲克其實不難學。如果你懂撲克，那麼不到一分鐘就能輕鬆解釋清楚。而多米諾骨牌則既難學又難玩。
  • 這幅漫畫是在農曆新年發布的。這可能是個內部笑話。

萬一斯科特亞當斯 (Scott Adams) 讀到這篇文章，我會很高興得到一個明確的答案。

我在Wizard of Vegas論壇上討論過這個問題。