請問巫師 #278

對於 4 到 6 點：((7-p)/(5+p))*(1/(1+o))

對於 8 到 10 分： ((p-7)/(19-p))*(1/(1+o))

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

根據歷史經驗，每場比賽至少有一次安全得分的機率為 5.77%。

每場比賽的預期安全次數為 -ln(1-0.0577) = 0.0594。

每隊每季的預期人數為 0.0594/8 = 0.0074。

同一支球隊在單一季度中恰好有兩次安全得分的機率為 e ^-0.0074 ×0.0074 ² /fact(2) = 36,505 分之一。

NFL一個賽季有267場比賽，球隊有267×8=2136個賽季。所以，根據我的估計，這種情況平均每36505/2136=17.1年就會發生一次。

這應該只是一個粗略的猜測。為了簡單起見，我沒有考慮遊戲中的一些因素。

是否判定為有效擲骰取決於您所在地區。新澤西州博彩法規 19:47-1.9(a) 規定：

當其中一個或兩個骰子離開桌面，或一個骰子停在另一個骰子上面時，擲骰子無效。 ——新澤西州 19:47-1.9(a)

賓州有完全相同的規定， 即第 537.9(a) 條：

當其中一個或兩個骰子離開桌面，或一個骰子停在另一個骰子上面時，擲骰子無效。 ——PA 537.9(a)

我問過一位拉斯維加斯的骰子荷官，他說如果擲骰子的結果在其他方面都正確，那麼這就算有效擲骰。雖然他從未見過這種情況，但他表示，如果真的發生了，荷官會簡單地移動頂部骰子，看看底部骰子落在哪個數字上。然而，人們可以在不觸碰或查看頂部骰子的情況下判斷底部骰子的結果。方法如下。首先，透過觀察骰子的四個面，你可以將前面兩種可能性縮小到兩種。以下是如何根據這三種可能性來判斷。

• 1 或 6：尋找 3。若高點與 5 相鄰，則 1 位於上方。否則，如果高點與 2 相鄰，則 6 位於上方。
• 2 或 5：尋找 3。若高點與 6 相鄰，則 2 位於上方。否則，如果高點與 1 相鄰，則 5 位於上方。
• 3 或 4：尋找 2。如果高點與 6 相鄰，則 3 位於上方。否則，如果高點與 1 相鄰，則 4 位於上方。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

這個問題是在 TwoPlusTwo.com 上提出的， BruceZ給了正確的答案。以下解答與 BruceZ 的方法相同，值得稱讚。答案比較難，請仔細閱讀。

1. 首先，考慮預期擲出 2 點的次數。擲出 2 點的機率是 1/36，所以平均需要擲 36 次才能擲出第一個 2 點。

2. 接下來，考慮同時擲出 2 和 3 的預期次數。我們已經知道，平均需要擲 36 次才能擲出 2。如果在等待 2 的過程中擲出了 3，那麼就不需要再擲 3 了。然而，如果沒有，就需要擲更多次才能擲出 3。

   擲出三的機率是 1/18，所以如果先擲出二，平均需要額外擲 18 次才能擲出三。假設擲出二的方法只有一種，擲出三的方法有兩種，那麼先擲出二的機率是 1/(1+2) = 1/3。

   所以，有1/3的機率我們需要額外擲18次才能擲出3。因此，同時擲出2和3的預期次數為36+(1/3)×18 = 42。

3. 接下來，考慮一下你還需要擲多少次才能擲出4。如果你擲出2和3的時候還沒有擲出4，那麼平均下來還需要擲12次才能擲出1次。這是因為擲出4的機率是1/12。

   那麼，先得到四，再得到二和三的機率是多少呢？首先，讓我們回顧一下當 A 和 B 不互斥時的一個常見機率規則：

   pr(A 或 B) = pr(A) + pr(B) - pr(A 和 B)

   你減去 pr(A 和 B)，因為這個偶然性在 pr(A) + pr(B) 中被重複計算了。所以，

   pr(2 或 3 之前 4) = pr(2 之前 4) + pr(3 之前 4) - pr(2 和 3 之前 4) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85。

   在擲出2和3的過程中，沒有擲出4的機率是1.0 - 0.85 = 0.15。因此，需要額外擲12次的機率為15%。因此，擲出2、3和4的預期次數為42 + 0.15*12 = 43.8。

4. 接下來，考慮一下你還需要擲多少次才能擲出5。當你擲出2到4的時候，如果你還沒有擲出5，那麼平均來說，你需要再擲9次才能擲出1，因為擲出5的機率是4/36 = 1/9。

   在得到2、3或4之前得到5的機率是多少？一般規則是：

   pr (A 或 B 或 C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A 和 B) - pr(A 和 C) - pr(B 和 C) + pr(A 和 B 和 C)

   因此，pr(2 或 3 或 4 之前 5) = pr(2 之前 5)+pr(3 之前 5)+pr(4 之前 5)-pr(2 和 3 之前 5)-pr(2 和 4 之前 5)-pr(3 和 4 之前 5)+pr(2、3 和 4 之前 5) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90。從 2 到 4 的過程中沒有擲出 4 的機率是 1 - 83/90 = 7/90。因此，有 7.78% 的可能性需要額外擲 7.2 次。因此，擲出 2、3、4 和 5 的預期次數是 43.8 + (7/90)*9 = 44.5。

5. 繼續用同樣的邏輯，計算總數從 6 到 12 的機率。每次計算下一個數字作為最後一個數字之前的機率時，所需的計算次數大約翻倍。當總數達到 12 時，你將需要進行 1,023 次計算。

   這是 pr(A 或 B 或 C 或 ... 或 Z) 的一般規則

   pr(A 或 B 或 C 或 ... 或 Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A 和 B) - pr(A 和 C) - ... - pr(Y 和 Z) 減去兩個事件的每種組合的機率
   + pr (A and B and C) + pr(A and B and D) + ... + pr(X and Y and Z) 將三個事件的每種組合的機率相加
   - pr (A 和 B 和 C 和 D) - pr(A 和 B 和 C 和 E) - ... - pr(W 和 X 和 Y 和 Z) 減去四個事件的每種組合的機率

   然後不斷重複，記住奇數事件的機率加起來，偶數事件的機率減去。對於大量可能發生的事件，這顯然會變得繁瑣，實際上需要電子表格或電腦程式。

下表顯示了每一步的預期點數。例如，擲出 2 需要擲 36 點，擲出 2 和 3 需要擲 42 點。右下角單元格顯示擲出全部 11 個點數的預期次數為 61.217385。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。