請問巫師 #277

首先，值得重申的是，16對10的牌局是一手介於要牌和停牌之間的牌。如果允許投降，那麼對於採用基本策略的玩家來說，這比要牌或停牌要好得多。否則，平均而言，要牌會稍微好一點。只要從八副牌的牌盒中取出一張小牌，就能改變停牌的賠率，因為少了一張小牌，剩下的大牌就更多了，要牌的風險也就更大了。這就是為什麼我說，如果你的16點由三張或更多牌組成，你就應該停牌，因為一張三張16點通常會從牌盒中取出至少兩張小牌。

其次，洗牌後的第一手牌，如果基本策略和算牌策略在如何玩這手牌上有所不同，則以基本策略為準。基本策略是根據觀察到的具體牌型精心設計的，旨在考慮牌堆的具體構成。索引值表是一種更直觀的工具，適用於所有牌盒。

在這種特殊情況下，算牌者可以選擇要牌或停牌，這取決於他如何對真實點數進行捨入。如果他向下舍入，真實點數將為 -1，因此他要牌。如果他向上捨入，即捨入到最接近的整數，則真實點數將為 0，因此他停牌。只要我提到這一點，根據唐·施萊辛格 (Don Schlesinger) 的《黑傑克攻擊》(Blackjack Attack)，舍入的首選方法是“向下取整”，即向下舍入，在本例中為 -1，因此玩家可以正確要牌。

另一個類似的情況是 15 對 10。83% 的時間（10+5 或 8+7，但不是 9+6），這會導致洗牌後第一手牌的運行計數為 -1，而投降的索引號為 0。向下舍入會導致玩家錯誤地擊中，而投降是更好的選擇。

重點是，洗牌後第一次做決定時，如果其他玩家沒有其他牌，算牌者應該使用基本策略。之後，恢復使用索引號。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

我不知道。我認為可以肯定的是，現今最早的賭場遊戲專利是加勒比海梭哈撲克。在此之前可能還有其他遊戲的專利，但最後都沒有成功。加勒比海梭哈的專利提交於1988年4月18日，並於1989年6月6日獲得授權。專利號為4,836,553 。

不是你問的，但當時賭場遊戲專利的有效期限為自頒發之日起17年，或自申請之日起20年，以較長者為準。 1995年，專利期限延長至自申請日起20年。就加勒比海梭哈而言，其專利將於2008年到期。然而，我認為它仍然擁有有效的商標，這意味著賭場可以免費提供該遊戲，但必須想出另一個未註冊商標的名稱。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

是的！押注拋硬幣者手中朝上的一面。 Persi Diaconis、Susan Holmes 和 Richard Montgomery 合著的學術論文《拋硬幣的動態偏差》得出的結論是，硬幣落地時朝上的機率為 51%。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

要找到這類條紋問題的近乎精確的答案，我們需要用到矩陣代數。我在2010年6月4日的專欄中回答過一個類似但更簡單的問題。如果你的矩陣代數還生疏，我建議你先去看看這個問題。

步驟1：確定前5000手牌中出現0到6+張皇家牌的機率。假設皇家牌的機率為40000分之一。 5000手牌中的預期皇家牌數為5000/40000 = 0.125。使用泊松估計，恰好出現r張皇家牌的機率為e ^-0.125 × 0.125 ^r / r!。這些機率如下：

步驟 2：假設剩餘的 24,995,000 手牌有 7 種狀態。對於每種狀態，之前的 5,000 手牌可能出現 0、1、2、3、4 或 5 張皇家牌，或者玩家可能已經在 5,000 手牌中拿到了 6 張皇家牌，在這種情況下，成功了，並且無法被剝奪。每出現一手新牌，玩家的狀態都可能發生以下三種情況之一：

1. 降低一級。如果5000局前打出的牌是皇家牌，現在被降級，而新出的牌不是皇家牌，就會發生這種情況。
2. 保持相同水平。如果5000場之前的牌局不是皇家牌，而新牌局也不是皇家牌，通常就會發生這種情況。如果5000場之前的牌局是皇家牌，而新牌局也是皇家牌，也會出現這種情況。
3. 升級一級。如果5000場遊戲前玩的牌不是皇家牌，而新牌是皇家牌，就會發生這種情況。

步驟 3：制定額外遊戲中每次狀態變化的幾率的轉換矩陣。

第一行對應新一手牌開始前的0級。下一手牌晉級1級的機率僅40,000分之一。停留在0級的機率為39,999/40,000。

第二行對應新一手牌開始前的1級。下一手牌晉級2級的機率，等於該手牌不丟皇家的機率與新一手牌拿到皇家的機率之積 = (4999/5000)×(1/40000) = 0.0000250。回到0級的機率，等於當前牌局丟皇家的機率與目前牌局沒拿到皇家的機率之積 = (1/5000)×(39999/40000) = 0.0002000。不變的幾率是 pr(無皇室成員退出) × pr(無新皇室成員) + pr(皇室成員退出) × pr(新皇室成員) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 750999750997975。

第2行到第6行的機率取決於過去5000手牌中皇家牌的數量。皇家牌越多，在新牌局中掉落一張皇家牌的機率就越大。設r為過去5000手牌中皇家牌的數量，p為出現新皇家牌的機率。

Pr(提升一級) = Pr(無皇室成員流失) × Pr(新皇室成員) = (1-(r/5000))× p。

Pr（維持在同一水平）= Pr（沒有皇室成員流失）× Pr（沒有新的皇室成員）+ Pr（皇室成員流失）× Pr（新的皇室成員）=（1-（r/5000））×（1-p）+（r/5000）×p。

Pr(降級) = Pr(皇室成員流失) × Pr(無新皇室成員) = (r/5000)× (1-p)。

第7行代表在5000手牌中拿到6張皇家牌，達到了成功的狀態。一旦達到這一成就，就永遠不會被剝奪，因此保持這種成功狀態的幾率是100%。

轉換矩陣的行對應新一手牌之前的等級，從最上面一行的 0 級開始。列對應新一手牌之後的等級，從最左邊一列的 0 級開始。矩陣中的數字部分對應於在一場遊戲中從每個舊狀態移動到每個新狀態的機率。我們稱之為 T1 =

如果我們將這個轉移矩陣乘以自身，就能得到連續兩局遊戲中每次狀態變化的機率。我們稱之為 T2，表示兩局遊戲中的轉移矩陣：

順便說一下，在 Excel 中，要將兩個大小相同的矩陣相乘，首先要選擇新矩陣要放置的區域。然後使用公式 =MMULT(矩陣 1 的範圍，矩陣 2 的範圍)。最後按下 Ctrl-Shift-Enter 鍵。

如果我們將 T2 乘以自身，我們就會得到連續四場比賽中每次狀態變化的機率，即 T4：

因此，繼續重複這個加倍過程 24 次，直到達到 T-16,777,216：

如果再次翻倍，就會超出 T-24,995,500 的目標。所以現在我們需要仔細地乘以較小的轉換矩陣，這些矩陣我們已經計算過了。你可以用 2 的冪來得到任何數字（二進制算術的樂趣！）。在這種情況下，T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

說實話，為了簡單起見並節省時間，你真的不需要費心計算最後四個乘法。它們只對應最後56手牌，而這56個乘法對最終結果產生影響的可能性微乎其微。我敢肯定，如果可以的話，我的許多完美主義讀者會因為我這麼說而把我打得落花流水。

步驟4：將5,000手牌後的初始狀態乘以T-24,995,500。令步驟1中的S-0為：

因此 S-0 × T-24,995,500 =

底部單元格中的數字表示在 25,000,000 手牌中至少有一次在 5,000 手牌中出現六張皇家牌的機率。因此，機率為 7,336 分之一。

感謝 CrystalMath 為這個問題提供的幫助。