請問巫師 #263
2010年10月29日， 《拉斯維加斯評論報》刊登了一項關於里德和安格爾參議員競選的民意調查。調查顯示，在625名潛在選民的調查中，安格爾的得票率為49%，里德的得票率為45%。調查也顯示，誤差幅度為4%。以下是我的問題：
- Angle 獲勝的機率是多少？
- Angle 的得票率的 95% 信賴區間是多少？
- 誤差幅度是什麼意思？
抱歉，回覆得有點過時。以下是我在選舉前寫的。
首先，我要剔除剩下的6%，他們要么猶豫不決，要么會把選票浪費在第三方候選人身上，或者「以上皆非」（在內華達州，這兩者是可以考慮的）。有些人可能不同意這個假設。說實話，忽略他們的另一個原因是，如果候選人超過兩位，計算起來會更加複雜。所以，四捨五入後，安格爾有306票，里德有281票，樣本總數為587票。
我將使用標準常態近似來回答這個問題。如果我是一個完美主義者，那麼我會使用T分佈，因為實際的平均值和變異數是未知的。然而，在我看來，對於常態分佈來說，587的樣本量是完全可以接受的。
樣本數 = 306+281 = 587。
角度樣本平均值為 306/587 = 0.521295。
平均值的估計標準差為 (0.521295 × 0.478705 / (587-1))^0.5 = 0.0206361。
Angle 的 50% 以上的份額為 (0.521295-0.5)/0.0206361 = 1.031917 個標準差。
根據常態分佈，Reid 最終結果超出預期 1.031917 個標準差的機率為 0.151055。這可以在 Excel 中使用函數 NORMSDIST(-1.031917) 計算得出。因此，Angle 獲勝的機率為 1-0.151268 = 84.89%。
若要建立 95% 的置信區間，請注意高斯曲線兩側 2.5% 的點與平均值之間的標準差為 1.959964。這可以在 Excel 中使用函數 NORMSINV(0.975) 計算。如前所述，樣本平均值的估計標準差為 0.0206361。因此，兩位候選人的得票率與民調結果之間的標準差在 0.0206361×1.959964 = 0.040446 以內的可能性為 95%。因此，Angle 的 95% 信賴區間為 0.521295 +/- 0.040446 = 48.08% 至 56.17%。
有人告訴我，如果這樣表述在數學上是不正確的：「Angle在所有Angle/Reid選票中的份額有95%的可能性落在48.08%到56.17%之間。」我最初的回答就是這樣的，但兩位統計學家對我的措辭感到震驚。解釋一下他們的回答，他們說我必須使用被動語態，說「48.08%和56.17%將以95%的機率圍繞Angle的份額」。 說實話，在我看來，這聽起來是一樣的。然而，他們強調置信區間是隨機的，而Angle的份額是不可改變的，而我最初的措辭暗示了相反的意思。無論如何，我希望頻率統計專家們會對第二種表述感到滿意。
「誤差幅度」是95%信賴區間兩端差值的一半。在本例中，(56.17% - 48.08%)/2 = 4.04%。
作為後續，以下是實際結果：
里德：361,655
角度：320,996
其他：21,979
因此，不計入「其他」選票，里德獲得了53.0%的選票，安格爾獲得了47.0%的選票。里德輕鬆贏了6%。這不禁讓人思考，民調結果為何如此懸殊。是偶然嗎？選民改變了主意嗎？還是民調結果本身就很糟糕？我把這些問題留給讀者去思考（我討厭教科書上這麼說）。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
最近的一個嘉年華推出了一款井字棋遊戲。遊戲售價1英鎊，玩家需要將三個彈力十足的球丟向一個底部有9個格子的大木箱。假設每個球都落在不同的格子裡，那麼獲勝的機率是多少？
有八種獲勝方式：三行、三列和兩條對角線。從 9 個方格中抽出 3 個，一共有(9,3)=84 種組合方式。因此獲勝機率為 8/84 = 9.52%。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
是不是只有我覺得線上賭場提供「現場二十一點」聽起來就讓人想算牌？
我同意，這確實是一個不錯的優勢玩法。 5dimes 真人娛樂場遊戲提供以下規則：
- 6 層甲板。
- 牌盒開始時燒一張牌，每次換發牌員時也燒一張牌，每30分鐘一次。如果管理員必須介入，我看過兩次，那麼就會燒掉三張牌。
- 莊家在軟 17 點時停牌。
- 提前投降，除非面對 Ace。
- 允許分牌後加倍。
- 僅分成兩隻手。
- 沒有底牌，但玩家只輸給莊家黑傑克的原始賭注。
- 投注範圍：$5-$250、$10-$250 或 $25-$500
根據這些規則，賭場優勢為 0.24%。
規則規定滲透率為75%。我兩次數了每副牌的牌張數，兩次都是211張，也就是68%。我論壇的一位成員Shortow在YouTube上發布了兩個切牌的影片：影片1 和影片2。在我看來，視訊2的滲透率似乎更高一些。我估計滲透率在60%到70%之間，具體數字取決於荷官。
玩家不僅可以輕鬆計算這局牌，還可以使用單獨螢幕上的計算器做出完美的決策。二十一點即時分析器（Blackjack Real Time Analzyer）就是這樣一款產品。然而，我不知道他們採用了什麼樣的遊戲保護措施。掃描每張牌後，很容易就能確定牌點和下注大小之間的相關性，如果相關性夠正，就應該發出警告。
如果你嘗試一下，我很想知道會發生什麼。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
我與⼀位朋友打賭, 他⼀般是在我可以擊敗spread點差讓分50%的地⽅下 注、或者在將臨的NFL美式⾜球每⼀場正規球季。如果我贏的話, 我會拿 到$1000. 如果他贏的話, 我得⽀付$500. 直到10/31/10星期⽇我領先19場 ⽐賽、⽽他要與我deal交易妥協。這時哪⼀種提議⽐較好？
很不錯的打賭, 簡直是輕⽽易舉。這就像是丟擲硬幣拿到2⽐1的賠率。甚 ⾄更好, 因為你在tie和局也會贏。
在寫作本⽂的當時, 正規球季的256場⽐賽已經進⾏了95場。運⽤binomial distribution⼆項式分佈, 我顯⽰出你贏的機率為99.87%. 公平的議定價格 應該是$998.02.
這個問題曾被提出與討論在我的夥伴網站討論區 Wizard of Vegas拉斯維 加斯巫師.