請問巫師 #262
《The Price is Right》中的 Punch a Bunch 遊戲每次出拳的平均獎金和最佳策略是多少？
對於那些不熟悉規則的人，可以在「價格猜猜」網站上查看規則說明。如果您不熟悉這個遊戲，請花點時間去那裡看看，因為我假設您知道規則。 YouTube上也有一些關於這個遊戲的影片。這裡有一個舊視頻，展示了第二次機會，但當時的最高獎金只有1萬美元。現在是2.5萬美元。
首先，我們來計算一下沒有第二次機會的獎金的預期價值。下表顯示，平均為1371.74美元。
打出一堆獎品，沒有第二次機會
| 獎 | 數位 | 可能性 | 預期勝利 |
| 25000 | 1 | 0.021739 | 543.478261 |
| 10000 | 1 | 0.021739 | 217.391304 |
| 5000 | 3 | 0.065217 | 326.086957 |
| 1000 | 5 | 0.108696 | 108.695652 |
| 500 | 9 | 0.195652 | 97.826087 |
| 250 | 9 | 0.195652 | 48.913043 |
| 100 | 9 | 0.195652 | 19.565217 |
| 50 | 9 | 0.195652 | 9.782609 |
| 全部的 | 46 | 1.000000 | 1371.739130 |
其次，計算有第二次機會的平均獎金。下表顯示，平均獎金為225美元。
利用第二次機會贏得豐厚獎金
| 獎 | 數位 | 可能性 | 預期勝利 |
| 500 | 1 | 0.250000 | 125.000000 |
| 250 | 1 | 0.250000 | 62.500000 |
| 100 | 1 | 0.250000 | 25.000000 |
| 50 | 1 | 0.250000 | 12.500000 |
| 全部的 | 4 | 1.000000 | 225.000000 |
第三，根據玩家找到的第二次機會數量來建立預期價值表。這可以透過簡單的數學計算得出。例如，2次第二次機會的機率為(4/50)×(3/49)×(46/48)。 s次機會的預期收益為1371.74美元+s×225美元。下表顯示了0到4次第二次機會的機率和平均收益。
Punch a Bunch 獎品回饋表
| 第二次機會 | 可能性 | 平均勝利 | 預期勝利 |
| 4 | 0.000004 | 2271.739130 | 0.009864 |
| 3 | 0.000200 | 2046.739130 | 0.408815 |
| 2 | 0.004694 | 1821.739130 | 8.551020 |
| 1 | 0.075102 | 1596.739130 | 119.918367 |
| 0 | 0.920000 | 1371.739130 | 1262.000000 |
| 全部的 | 1.000000 | 1390.888067 |
因此，每次出拳的平均贏利（包括第二次機會的額外獎金）為 1390.89 美元。
下表展示了我根據剩餘擊球次數確定最低贏額的策略。請注意，玩家可以透過三次第二次機會贏得 1,000 美元 + 250 美元 + 100 美元 + 50 美元的獎金，最終贏得 1,400 美元。
打擊一堆策略
| 剩餘沖孔數 | 最低站立高度 |
| 3 | 5,000 美元 |
| 2 | 5,000 美元 |
| 1 | 1,400美元 |
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
擲骰子的人在擲出七點前平均擲出幾分？
假設一個點數已經確定，投球者投中該點數的機率為 pr(點數為 4 或 10) × pr(投中 4 或 10) + pr(點數為 5 或 9) × pr(投中 5 或 9) + pr(點數為 6 或 8) × pr(184) +/842) +/24 × +/24) (24) × 24) (684) × +/82) × 24 (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0.406061。
如果某個事件發生的機率為 p，那麼該事件在失敗前發生的預期次數為 p/(1-p)。因此，每位射手的預期得分為 0.406061/(1-0.406061) = 0.683673。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
一次比較兩個元素，對清單進行排序的最快方法是什麼，從而最大限度地減少比較次數？
有幾種方法效果差不多。不過，我發現最容易理解的方法是合併排序。它的工作原理如下：
- 將列表一分為二。繼續將每個子集再分成兩部分，直到每個子集的大小都為 1 或 2。
- 對 2 的每個子集進行排序，將較小的成員放在最前面。
- 將子集對合併在一起。不斷重複，直到只剩下一個排序好的清單。
合併兩個清單的方法是比較每個清單的第一個成員，並將較小的放入一個新清單中。然後重複此操作，將較小的一個放在上一次比較的較小成員之後。不斷重複此操作，直到兩組合併為一個有序組。如果原始清單之一為空，則可以將另一個清單附加到合併後清單的末尾。
下表顯示了根據清單中元素的數量所需的最大比較次數。
合併排序
| 元素 | 最大比較數 |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 4 | 5 |
| 8 | 17 |
| 16 | 49 |
| 三十二 | 129 |
| 64 | 321 |
| 128 | 769 |
| 256 | 1,793 |
| 512 | 4,097 |
| 1,024 | 9,217 |
| 2,048 | 20,481 |
| 4,096 | 45,057 |
| 8,192 | 98,305 |
| 16,384 | 212,993 |
| 32,768 | 458,753 |
| 65,536 | 983,041 |
| 131,072 | 2,097,153 |
| 262,144 | 4,456,449 |
| 524,288 | 9,437,185 |
| 1,048,576 | 19,922,945 |
| 2,097,152 | 41,943,041 |
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
如果⼀⽀NFL球隊在上次⽐賽徹底被擊敗, 在下⼀場的⽐賽是否還要押注 他們、或者反向押注他們？相同的問題也針對在⼀次⽐賽⼤勝之後。我總 會聽到, ⼀⽀球隊在⼤輸之後、將會「想要證明⾃⼰」, ⽽⼀⽀球隊在⼤贏 之後、或許因為過度⾃信⽽變得懶散。怎樣才是真的？
我顯⽰出在輸掉21分或更多分之後、球隊將會涵蓋51.66%的spread點差 讓分。然⽽, 那是在誤差範圍之內。以下的列表顯⽰對抗上⼀場⽐賽的 spread點差讓分結果, 根據同⼀⽀球隊之前⽐賽的輸或贏狀況。結果從未 偏離50%、總是維持在standard deviation標準誤差之內。基本上, 我找不 到輸贏之間在spread點差讓分、以及上⼀場⽐賽輸贏多少分的統計關聯 性。
贏/輸/和局對抗Spread點差讓分、根據上⼀場⽐賽勝負的範圍
| 上⼀場⽐賽結果 | 贏注對抗點差讓分 | 輸注對抗點差讓分 | 和局對抗點差讓分 | 贏注⽐率 | 標準誤差 |
| 贏21分或更多 | 233 | 247 | 17 | 48.54% | 2.28% |
| 贏14-20分 | 235 | 219 | 11 | 51.76% | 2.35% |
| 贏10-13分 | 188 | 180 | 8 | 51.09% | 2.61% |
| 贏7-9分 | 198 | 181 | 12 | 52.24% | 2.57% |
| 贏4-6分 | 164 | 170 | 12 | 49.10% | 2.74% |
| 贏3分 | 202 | 212 | 14 | 48.79% | 2.46% |
| 贏2分 | 184 | 188 | 14 | 49.46% | 2.59% |
| 輸3分 | 209 | 207 | 12 | 50.24% | 2.45% |
| 輸4-6分 | 174 | 163 | 9 | 51.63% | 2.72% |
| 輸7-9分 | 187 | 195 | 9 | 48.95% | 2.56% |
| 輸10-13分 | 173 | 189 | 14 | 47.79% | 2.63% |
| 輸14-20分 | 220 | 232 | 15 | 48.67% | 2.35% |
| 輸21分或更多 | 249 | 233 | 15 | 51.66% | 2.28% |
列表是根據2000年球季週1到2010年球季週4的每⼀場NFL美式⾜球⽐ 賽。
Pinnacle運動簽賭公佈他們的概率以⼩數點的模式。我要如何將運動簽賭 概率從⼩數點模式轉換到American format美國模式？
讓我們檢視2010年⼗⽉25⽇星期⼀晚上⾜球⽐賽為例。European odds歐 洲概率公佈為:
New York Giants 2.750
Dallas Cowboys 1.513
兩個數值代表你在⼀個單位如果贏了、將會獲得的回報, 包括你原初的賭 注在內。當⼩數點的概率⼤於或等於2, 那麼轉換就很容易: 只要減去1, 接 著再乘以100. 如果概率⼩於2, 那麼(1)減去1, (2) 取其倒數, 再(3)乘 以-100.
如果你偏好使⽤公式, 若是⼩數點概率⽀付 x, 這裡是等同於美國概率的計 算:
如果 x>=2: 100*(x-1)
如果 x<2: -100/(x-1)
在以上的範例當中, 美國概率公式為:
New York Giants: 100*(2.750-1) = +175
Dallas Cowboys: -100/(1.513-1) = -195
你也可以⾃動轉換所有賭盤的概率, 利⽤選取「American Odds美國概 率」在Pinnacle網站logo上⽅、左上⾓pulldown menu拉下式選單中。