請問巫師 #261

為了協助回答這個問題, 我畫出NFL美式⾜球每週的平均得分數, 基於 1983-2009年每個球季。以下的圖表顯⽰其結果。

你可以看⾒, 曲線是起起伏伏的。⿊⾊實線是least-squared best fit line最 ⼩平⽅誤差的迴歸線, 總體來說是朝上的趨勢。所以當球季進⾏時, 氣溫下 降, 平均得分漸漸增加, 不過那可能輕易是因為隨機的變化。

這是⺫前為⽌我所能說的。針對天氣影響運動押注的⼀般意⾒, 我轉給我 的朋友Jason Been, 他是這個議題的專家。在這裡他曾說過:

在⼤多數案例, ⾵是天氣最主要影響⽐賽的因素; 不過, 這並⾮唯⼀的⼀項 因素。在棒球與其他的⼾外運動, 陰影可以是相同的效應, 尤其是在球季早 期與晚期的下午⽐賽。下⾬或下雪在⾜球來說、並⾮⼤多數⼈所想的那 般、會是很⼤的因素, 因為同樣都會影響到攻擊與防守的兩⽅。⼀個案例 將會是防守⽅對抗⻑程的接球者。下⾬和下雪將會同樣拖延雙⽅, 因此不 會有哪⼀⽅得到優勢。⾵在⾜球踢球時可以消除傳球的效⼒。我就⾒過⽐ 賽當中, 傳球的⼀⽅被逼著在強勁側⾵當下每次都得要跑著傳球。這並不 常發⽣, 不過⾵的因素最終將會影響到⽐賽的進⾏.

我曾就此問題諮詢一位前拉斯維加斯賭桌遊戲經理。他說，賠率投注超過允許的線注倍數的部分將按位置投注賠率支付。這個問題在我的同伴網站“拉斯維加斯巫師”的論壇上被提出並討論過。

根據2000-2009年NFL美式⾜球的球季, 答案是57%.

BBC 節目《相當有趣》討論了這個謎題。向下捲動 100 行即可查看答案和解答。

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以下是我根據每個初始目標計算出的 A 獲勝的機率。如你所見，故意向空中射擊可以最大化 A 的獲勝機率。

為了解答這個問題，我們用 Pr(X) 表示一輪之後 X 組（且僅剩 X 組）存活的機率。以 Pr(X*) 表示 X 組最終贏得該輪的機率，重複此過程直至遊戲狀態因有人被擊中而改變。以 Pr(X**) 表示玩家 X 是唯一倖存者的機率。為了找到最終的機率，我們先來看看兩人的狀態。顯然，雙方都會向對方射擊。

A 與 B

• Pr(A) = 0.1
  
• Pr(B) = 0.9×0.6 = 0.54
  
• Pr(AB) = 0.9×0.4 = 0.36

如果兩人都倖存下來，那麼他們將重複這個過程，直到只剩下一個倖存者。因此，最終倖存者的機率為：

• Pr(A*) = Pr(A)/(1-Pr(AB)) = 0.1/0.64 = 0.15625
  
• Pr(B*) = Pr(B)/(1-Pr(AB)) = 0.54/0.64 = 0.84375

A 與 C

• Pr(A) = 0.1
  
• Pr(C) = 0.9×0.9 = 0.81
  
• Pr(AC) = 0.9×0.1 = 0.09

如果兩人都倖存下來，那麼他們將重複這個過程，直到只剩下一個倖存者。因此，最終倖存者的機率為：

• Pr(A*) = Pr(A)/(1-Pr(AC)) = 0.1/0.91 = 0.10989011
  
• Pr(C*) = Pr(B)/(1-Pr(AC)) = 0.81/0.91= 0.89010989

B 與 C

• Pr(B) = 0.6
  
• Pr(C) = 0.4×0.9 = 0.36
  
• Pr(BC) = 0.$×0.1 = 0.04

如果兩人都倖存下來，那麼他們將重複這個過程，直到只剩下一個倖存者。因此，最終倖存者的機率為：

• Pr(B*) = Pr(A)/(1-Pr(BC)) = 0.6/.96 = 0.625
  
• Pr(C*) = Pr(B)/(1-Pr(BC)) = 0.36/.96= 0.375

現在我們來分析三人的狀況。我們先來考慮一下 A 瞄準 B 的情況。

三人遊戲－A 瞄準 B

如果A擊中B，那麼C肯定能存活，但可能擊中A，也可能擊不中。因此，擊中B的兩種可能結果是AC和C。如果A擊中B未擊中，那麼B會瞄準威脅更大的C。如果B擊中C，那麼A和B都能存活。如果B擊中C未擊中，那麼C會瞄準威脅更大的B。如果C擊中B未擊中，那麼A和C都能存活。如果C擊中B，那麼A和C都能存活。因此，可能的結果是C、AB、AC和ABC。

• Pr(A) = 0。
• Pr(B) = 0。
• Pr(C) = 0.1 × 0.9 = 0.09。這是透過 A 擊中 B，然後 C 擊中 A 來實現的。
• Pr(AB) = 0.9 × 0.6 = 0.54。這是透過 A 擊中 B，然後 B 擊中 C 來實現的。
• Pr(AC) = 0.1 × 0.1 + 0.9 × 0.4 × 0.9 = 0.334。這可以透過兩種方式實現。第一種是 A 命中 B，然後 C 未命中 A。第二種是 A 未命中 B，B 未命中 C，然後 C 命中 B。
• Pr(BC) = 0。
• Pr(ABC) = 0.9 × 0.4 × 0.1 = 0.036。這是透過三項全部缺失實現的。

按照與雙人情況相同的邏輯，我們可以將每個結果除以 (1-Pr(ABC))=0.964 來找到每個狀態的機率，假設遊戲狀態在回合之後確實發生了變化。

• Pr(C*) = 0.09/0.964 = 0.093361。
  
• Pr(AB*) = 0.54/0.964 = 0.560166。
  
• Pr(AC*) = 0.334/0.964 = 0.346473。

從雙人對決的情況來看，如果是A和B，那麼A獲勝的機率為0.15625，B獲勝的機率為0.84375。如果是A和C，那麼A獲勝的機率為0.109890，C獲勝的機率為0.890110。

• Pr(A**) = (0.560165975 × 0.15625) + (0.346473029 × 0.10989011) = 0.125600。 A 可以透過兩種方式獲勝：(1) 進入 AB 狀態，然後獲勝；(2) 進入 AC 狀態，然後獲勝。
• Pr(B**) = 0.560166 × 0.84375 = 0.472640。若B進入AB狀態，則B獲勝，B為勝者。
• Pr(C**) = 0.093361 + (0.346473 × 0.890110) = 0.401760。 C 可以透過 A 殺死 B，然後 C 在第一輪殺死 A 來獲勝，或透過進入狀態 AC，然後 C 獲勝。

因此，如果 A 的策略是先瞄準 B，那麼他成為唯一倖存者的機率是 12.56%。

三人遊戲－A 瞄準 C

如果A擊中C，那麼B肯定會倖存，但可能會擊中A，也可能不會。因此，擊中C的兩種可能結果是AB和B。如果A沒有擊中C，那麼B會瞄準威脅更大的C。如果B擊中C，那麼A和B都會存活。如果B沒有擊中C，那麼C會瞄準威脅更大的B。如果C沒有擊中B，那麼A和B都會存活。如果C擊中B，那麼A和C都會存活。因此，可能的結果是B、AB、AC和ABC。

• Pr(A) = 0。
• Pr(B) = 0.1 × 0.6 = 0.06。
• Pr(C) = 0。
• Pr(AB) = (0.1 × 0.4) + (0.9 × 0.6) = 0.04+0.54 = 0.58。這可以透過兩種方式實現。第一個是 A 擊中 C，然後 B 擊中 A。第二個是 A 擊中 B，然後 B 擊中 C。
• Pr(AC) = 0.9 × 0.4 × 0.9 = 0.324。這是透過 A 缺失 C、B 缺失 C 以及 C 命中 B 來實現的。
• Pr(BC) = 0。
• Pr(ABC) = 0.9 × 0.4 × 0.1 = 0.036。這是透過三項全部缺失實現的。

按照與雙人情況相同的邏輯，我們可以將每個結果除以 (1-Pr(ABC))=0.964 來找到每個狀態的機率，假設遊戲狀態在回合之後確實發生了變化。

• Pr(B*) = 0.06/0.964 = 0.062241。
  
• Pr(AB*) = 0.58/0.964 = 0.601660。
  
• Pr(AC*) = 0.324/0.964 = 0.336100。

按照與 A 針對 B 的情況的解決方案相同的邏輯：

• Pr(A**) = (0.601660 × 0.15625) + (0.336100 × 0.10989011) = 0.130943。
• Pr(B**) = 0.062241 + 0.601660 × 0.84375 = 0.569891。
• Pr(C**) = 0.336100 × 0.890110 = 0.299166。

因此，如果 A 的策略是先瞄準 C，那麼他成為唯一倖存者的機率是 13.09%。

三人 — A 故意失手

A故意射偏後，B會瞄準威脅更大的C。如果B擊中C，A和B都會存活。如果B射偏C，C會瞄準威脅更大的B。如果C射偏B，A和B都會存活。如果C射偏B，A和C都會存活。因此，可能的結果是AB、AC和ABC。

• Pr(A) = 0。
• Pr(B) = 0。
• Pr(C) = 0。
• Pr(AB) = 0.6。這是透過 B 擊中 C 來實現的。
• Pr(AC) = 0.4 × 0.9 = 0.36。這是透過 B 未命中 C，然後 C 命中 B 來實現的。
• Pr(BC) = 0。
• Pr(ABC) = 0.4 × 0.1 = 0.04。這是透過全部三個缺失來實現的。

按照與雙人情況相同的邏輯，我們可以將每個結果除以 (1-Pr(ABC))=0.96 來找到每個狀態的機率，假設遊戲狀態在回合之後確實發生了變化。

• Pr(AB*) = 0.6/0.96 = 0.625。
  
• Pr(AC*) = 0.36/0.96 = 0.375。

按照與 A 針對 B 的情況的解決方案相同的邏輯：

• Pr(A**) = (0.625 × 0.15625) + (0.375 × 0.109890) = 0.138865。
• Pr(B**) = 0.625 × 0.84375 = 0.527344。
• Pr(C**) = 0.375 × 0.890110 = 0.333791。

因此，如果 A 的策略是先瞄準 C，那麼他成為唯一倖存者的機率是 13.89%。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。