請問巫師 #259

為了方便其他讀者，在歐洲的許多賭場，如果您在輪盤賭中下了等額賭注，而球落在零上，則該賭注將被凍結。如果下一輪結果導致該賭注獲勝，則該賭注將被退回，且不計獎金。如果球落在相反方向，則該賭注失敗。

如果球落在零上，單次禁注會怎樣？如果賭場只允許單次禁注，那麼它就會輸。然而，有些賭場允許雙次禁注，這就是會發生的情況。如果雙次禁注贏了，它會恢復為單次禁注。如果賭場只允許最多雙次禁注，那麼雙次禁注在另一個零上會輸。同樣的邏輯，如果賭場允許三次禁注，那麼雙次禁注在另一個零上會變成三次禁注。

三重監禁下的賭場優勢是1.370120%。在我解釋如何得出這個結論之前，我們先來比較單重監禁和雙重監禁。假設第一個賭注押在紅色上。

設 Z = 零的機率 = 1/37。
設 R = 紅色數字的機率 = 18/37。

單人監禁

pr（推）= ZR = 0.0131482834。
pr（勝利）= R = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(推)-pr(贏) = 0.5003652301。
預期值 = pr(贏)-pr(輸) = -0.0138787436。

雙重監禁

如果第一輪結果為零，玩家將推牌。之後，玩家可以無限次重複 ZR，直到獲得紅色。換句話說，推牌的方式如下：

ZR, Z(ZR)R, Z(ZR)(ZR)R, Z(ZR)(ZR)(ZR)R, ...

pr（推）= 0.013323464
pr（勝率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(推)-pr(贏) = 0.5001900494。
預期值 = pr(贏)-pr(輸) = -0.0137035629。

三重監禁

首先，我們來計算一下單註被禁的機率 p ₁ ，即單注變成三注，加上兩個零，然後最終又升回單注。這種情況可能發生如下：

ZZRR、ZZ(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR、...

換句話說，賭注可以在三倍監禁和雙倍監禁之間無限次地反覆。

其次，設 p ₂ = 單一監禁賭注達到第一級或第二級監禁，然後回到單一監禁的機率。

令 p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464。

玩家可以無限次重複返回第一層。因此，平局的機率為：

ZR + _Zp2R + _{Zp2p2R + Zp2p2p2R} + _{... =}

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830。

pr（推）= 0.013325830。
pr（勝率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(推)-pr(贏) = 0.5001876839。
預期值 = pr(贏)-pr(輸) = -0.0137011974。

無限期監禁

瑪夫，你沒問，但我聽說西班牙允許無限期監禁。設p=推擠的機率。這也是從x級監禁開始，逐級下降，最後回到x級監禁的機率。

p = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

p ² - p + ZR = 0

根據二次公式 p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620。

pr（推）= 0.0133258620。
pr（勝率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(推)-pr(贏) = 0.5001876515。
預期值 = pr(贏)-pr(輸) = -0.0137011650。

Zeros 無視監禁

最後，有些賭場會忽略第一個零之後的零，因為第一個零會限制賭注。在這種情況下，平局的機率就是 (1/37)×(1/2) = 0.0135135135。

下表總結了所有四種規則。

我要感謝 ChesterDog 和 weaselman 提供的數學協助。我還要感謝 G. Artico 教授和 polarprof.it 提供上述求和公式的 HTML 程式碼，並在此做個宣傳。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

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根據2010年9月《當代二十一點簡報》的報道，拉斯維加斯共有2099張二十一點賭桌。下表顯示了四種最大二十一點變體的數量。

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