請問巫師 #258
你認為在計算彩券的預期價值時，應該把分紅獎金的機率考慮進去嗎？如果是，這個機率是多少？
我確實認為，在決定購買彩票時，這是一個應該考慮的因素，儘管它的影響可能不大。為了回答您的問題，我使用了lottoreport.com 網站上的頭獎金額和銷售數據。我查看了 2008 年 1 月以來的強力球彩票數據，因為該網站目前只有這方面的數據。我還查看了 2005 年 6 月以來的超級百萬彩票數據，當時規則有所調整。下表總結了我的結果。
強力球和超級百萬彩票的分割獎金
| 物品 | 強力球 | 超百萬 |
| 贏得大獎的機率 | 195,249,054分之1 | 175,711,536分之一 |
| 提供的平均累積獎金 | 73,569,853美元 | 65,792,976美元 |
| 每次抽獎的平均銷售額 | 23,051,548 美元 | 25,933,833美元 |
| 每期抽獎的平均預期獲勝者 | 0.118 | 0.148 |
| 每次抽獎中分紅獎金的平均機率 | 0.74% | 1.29% |
| 因共享大獎而造成的回報損失（未經調整） | 4.01% | 6.59% |
| 因共享大獎而造成的回報損失（已調整） | 1.41% | 2.31% |
因此，強力球彩券中頭獎被分割的平均機率為 0.74%，超級百萬彩券中頭獎被分割的機率為 1.29%。隨著頭獎金額的增加和彩券銷售量的上升，分割頭獎的機率也會隨之上升。超級百萬彩票中頭獎被分割的機率之所以更高，是因為中獎機率更高，而且來自其他玩家的競爭也更激烈。
綜合考慮所有因素，我得出的結論是，強力球彩券因獎金分享機制損失了4.01%，超級百萬彩券則損失了6.59%。然而，這些數字並未考慮稅收，也未考慮獎金以年金的形式支付。為了進行調整，我假設玩家只能獲得一半的獎金，要么選擇一次性領取，要么選擇年金支付。我還假設剩餘獎金的30%用於納稅，因此扣除這兩個因素後，中獎者預計可以獲得35%的獎金。經過調整後，我得出的結論是，強力球彩券因獎金分享機制損失了1.20%，超級百萬彩券則損失了1.98%。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
牌九撲克中前手、後手、以及同時出現平手的機率是多少？
基於77億手牌的模擬，假設玩家遵循莊家的規則，前手牌（低手牌）出現平手的機率為2.55%，即1/39.24。後手牌（高手牌）出現平手的機率為0.038%，即1/2,637。雙平局的機率約為1/78,200。
72法則指的是，用年報酬率除以72，就能算出你的資金翻倍所需的年數。例如，一項年回報率為10%的投資，需要72/10=7.2年才能翻倍。我有個有點無聊的問題：為什麼要72年？
首先，「72法則」只是資金翻倍所需時間的近似估計，而非確切答案。下表列出了不同年利率下「72法則」的數值以及確切的翻倍年數。
72法則－金錢翻倍的年限
| 利率 | 72法則 | 精確的 | 不同之處 |
|---|---|---|---|
| 0.01 | 72.00 | 69.66 | 2.34 |
| 0.02 | 36.00 | 35.00 | 1.00 |
| 0.03 | 24.00 | 23.45 | 0.55 |
| 0.04 | 18.00 | 17.67 | 0.33 |
| 0.05 | 14.40 | 14.21 | 0.19 |
| 0.06 | 12.00 | 11.90 | 0.10 |
| 0.07 | 10.29 | 10.24 | 0.04 |
| 0.08 | 9.00 | 9.01 | -0.01 |
| 0.09 | 8.00 | 8.04 | -0.04 |
| 0.10 | 7.20 | 7.27 | -0.07 |
| 0.11 | 6.55 | 6.64 | -0.10 |
| 0.12 | 6.00 | 6.12 | -0.12 |
| 0.13 | 5.54 | 5.67 | -0.13 |
| 0.14 | 5.14 | 5.29 | -0.15 |
| 0.15 | 4.80 | 4.96 | -0.16 |
| 0.16 | 4.50 | 4.67 | -0.17 |
| 0.17 | 4.24 | 4.41 | -0.18 |
| 0.18 | 4.00 | 4.19 | -0.19 |
| 0.19 | 3.79 | 3.98 | -0.20 |
| 0.20 | 3.60 | 3.80 | -0.20 |
為什麼是 72？不一定要剛好是 72。這只是一個與實際投資利率相符的數字。它幾乎恰好對應於 7.8469% 的利率。 72 本身並沒有什麼特別之處，就像 π 或 e 一樣。為什麼任何數字都可以呢？假設利率是 i，那麼我們來計算一下投資翻倍所需的年數 (y)。
2 = (1+i) y
ln(2)= ln(1+i) y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)
這可能不是我迄今為止最好的答案，但請嘗試遵循這個邏輯：讓 y=ln(x)。
dy/dx=1/x。
當 x 的值接近 1 時，1/x =~ x。
因此，當 x 值接近 1 時，dy/dx =~ 1。
因此，當 x 值接近 1 時，ln(x) 的斜率將接近 1。
因此，當 x 值接近 0 時，ln(1+x) 的斜率將接近 1。
「72 法則」指 .72/i =~ .6931/ln(1+i)。
我們已經確定，當 i 的值接近 0 時，i 和 ln(1+i) 相似。
因此，當 i 的值接近 0 時，1/i 和 1/ln(1+i) 相似。
使用 72 而不是 69.31 可以調整 i 和 ln(1+i) 之間的差異，使 i 的值在 8% 左右。
希望你理解得通。我的微積分學得有點生疏，我花了好幾個小時才解釋清楚。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
一個人收到兩個裝滿錢的信封。其中一個信封裡的錢是另一個信封的兩倍。這個人選好信封，打開並清點金額後，可以選擇用另一個信封換一個。問題是，換信封對這個人有什麼好處嗎？
由此看來，如果最初的信封金額較小，那麼透過調換，該男子有50%的機率使錢翻倍；如果最初的信封金額較大，那麼有50%的機率使錢減半。因此，設x為最初的信封金額，y為調換後的金額：
y = 0.5×(x/2) + 0.5×(2x) = 1.25x
假設第一個信封裡有 100 美元。那麼，另一個信封裡有 2 × 100 美元 = 200 美元的機率是 50%，另一個信封裡有 (1/2) × 100 美元 = 50 美元的機率也是 50%。在這種情況下，信封的價值為：
0.5×(100美元/2) + 0.5×(2×100美元) = 125美元
這意味著，這位男士光是交換信封，平均就能增加25%的財富！這怎麼可能？
這看似一個數學悖論，但其實只是對期望值公式的濫用。正如你在問題中提到的，另一個信封裡的錢似乎應該比你選擇的那個多25%。然而，如果你買了那個信封，那麼你一開始就應該選擇另一個信封。此外，如果你在決定換信封之前沒有打開信封，你就可以永遠用這個論點來回切換。顯然，期望值論證中一定存在一些缺陷。問題是，缺陷在哪裡？
這些年來，我花了很多時間閱讀和討論這個問題。我聽過和讀過很多關於為什麼 y=.5x + .5*2x = 1.25x 的論證是錯誤的解釋。很多人用了好幾頁的高等數學來解釋，但我認為沒有必要。這是一個簡單的問題，需要一個簡單的答案。所以，這是我的嘗試。
你必須非常謹慎地處理這樣一個事實：一個信封裡的錢是另一個信封裡的兩倍。我們把小信封裡的錢記為S，大信封裡的錢記為L。這樣：
長=2×小
S=0.5×L
請注意 2 和 0.5 因子是如何應用於不同信封的。您不能同時採用這兩個因子並將它們應用於相同的金額。如果第一個信封中有 100 美元，那麼如果是較小的信封，另一個信封中就有 200 美元。如果 100 美元是較大的信封，那麼另一個信封中就有 50 美元。因此，另一個信封中有 50 美元或 200 美元。但是，您不能由此跳到說每個信封中有 50% 的機率。這是因為那樣就等於將 0.5 和 2 因子應用於相同的金額，而您無法做到這一點。如果一開始就不知道獎金分配情況，您就無法將可能的金額分配給第二個信封。
如果 0.5x/2x 的論點是錯誤的，那麼如何正確設定另一個信封的預期值呢？我會這樣說：兩個信封之間的差額為 LS = 2S-S = S。交換信封，你要么獲得 S，要么損失 S，無論它是多少。如果兩個信封分別有 50 美元和 100 美元，那麼交換信封將獲得或損失 50 美元。如果兩個信封分別有 100 美元和 200 美元，那麼交換信封將獲得或損失 100 美元。無論哪種方式，交換信封的預期收益都是 0。我想我可以說，如果第一個信封有 100 美元，那麼另一個信封的差額有 50% 的可能性是 50 美元，有 50% 的可能性是 100 美元。所以預期差額是 75 美元。因此，另一個信封的預期價值為 0.5×($100+$75) + 0.5×($100-$75) = 0.5×($175+$25) = $100。
希望以上內容對您有幫助。這個問題總是會引發很多評論。如果您有意見，請不要直接寫信給我，而是在我的“維加斯巫師”論壇上發布。連結如下。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
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