請問巫師 #257
能否請您為視障玩家製作一份無障礙的二十一點策略圖表？可惜的是，螢幕閱讀器（將文字讀成語音的程式）無法很好地讀取這張圖表。您能否寫一份逐步指南？如果能提供無障礙圖表，我們將不勝感激！
千萬別說我不是盲人視障人士的朋友。這是我的《巫師簡易策略》的簡易文字版本。這不是標準的基本策略，後者雖然更強大，但用文字表達起來會比較冗長。
總是：
- 重擊 8 或更少。
- 站在 17 號或以上的硬地上。
- 軟牌 15 或以下時擊中。
- 站在軟 19 或以上。
- 如果有 10 或 11，如果您的牌比莊家的明牌多，則加倍（將莊家的 A 視為 11 點），否則要牌。
- 投降人數為 16 人，反對人數為 10 人。
- 分開 8 和 A。
如果玩家手牌不符合上述「始終」規則之一，且莊家有 2 到 6 的牌，則如下玩：
- 9 點加倍。
- 站在 12 至 16 號硬地上。
- 雙軟 16 至 18。
- 分割 2、3、6、7 和 9。
如果玩家手牌不符合上述「始終」規則之一，且莊家手牌為 7 到 A，則要牌。
有關文字形式的完整基本策略，請參閱我的4 副牌到 8 副牌基本策略。
將兩副54張牌（包括兩張鬼牌）洗在一起。給一位玩家一半。這位玩家拿到全部四張紅色3的機率是多少？
有 4 張紅色 3 和 104 張其他牌。只有一個方法可以湊齊所有 4 張紅色 3。玩家有 (104,50)= 1.46691 × 10 28種組合方式可以湊齊另外 104 張牌中的 50 張。總組合數為 (108,54)= 2.48578 × 10 30 。組合數 (104,50)/組合數 (108,54) = 0.059012。
如果您不喜歡處理如此大的數字，這裡有一個替代解決方案。將四個紅色三號依 1 到 4 進行編號。第一個紅色三號在玩家牌堆中的機率是 54/108。現在移除前三個。玩家擁有第二個紅色三號的機率是 53/107，因為玩家剩餘 53 張牌，而牌堆裡還有 107 張。同樣，玩家擁有第三個紅色三號的機率是 52/106，第四個紅色三號的機率是 51/105。 (54/108) × (53/107) × (52/106) × (51/105) = 0.059012。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
哪種視訊撲克遊戲的差異最大？
我猜想最有可能的是皇家Aces紅利撲克。幾年前我在梅斯基特只見過一次。四張A的賠率是800，但最低賠率的牌是一對A，而不是常見的J。這是賠率表。
皇家王牌獎金撲克
| 手 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 皇家同花順 | 800 | 490,090,668 | 0.000025 | 0.019669 |
| 同花順 | 100 | 2,417,714,292 | 0.000121 | 0.012129 |
| 四個 A | 800 | 4,936,967,256 | 0.000248 | 0.198140 |
| 四 2-4 | 80 | 10,579,511,880 | 0.000531 | 0.042460 |
| 四個5公里 | 50 | 31,662,193,440 | 0.001588 | 0.079421 |
| 客滿 | 10 | 213,464,864,880 | 0.010709 | 0.107090 |
| 沖洗 | 5 | 280,594,323,000 | 0.014077 | 0.070384 |
| 直的 | 4 | 276,071,121,072 | 0.013850 | 0.055399 |
| 三條 | 3 | 1,470,711,394,284 | 0.073782 | 0.221346 |
| 兩對 | 1 | 2,398,705,865,028 | 0.120337 | 0.120337 |
| 一對 A | 1 | 1,307,753,371,584 | 0.065607 | 0.065607 |
| 沒有什麼 | 0 | 13,935,843,099,816 | 0.699126 | 0.000000 |
| 全部的 | 19,933,230,517,200 | 1.000000 | 0.991982 |
標準差為 13.58！這是 9-6 Jacks or Better（4.42）的三倍多。
不過，如果你只限於那些容易找到的遊戲，我推薦的是“三倍雙倍獎金”，標準差為9.91。這是賠付表。
三倍雙倍獎金撲克
| 手 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 皇家同花順 | 800 | 439,463,508 | 0.000022 | 0.017637 |
| 同花順 | 50 | 2,348,724,720 | 0.000118 | 0.005891 |
| 4張A+2-4 | 800 | 1,402,364,496 | 0.000070 | 0.056282 |
| 4 2-4 + A-4 | 400 | 3,440,009,028 | 0.000173 | 0.069031 |
| 4張A+5張K | 160 | 2,952,442,272 | 0.000148 | 0.023699 |
| 4 2-4 + 5-K | 80 | 6,376,626,780 | 0.000320 | 0.025592 |
| 4 5-K | 50 | 31,673,324,076 | 0.001589 | 0.079449 |
| 客滿 | 9 | 206,321,656,284 | 0.010351 | 0.093156 |
| 沖洗 | 7 | 311,320,443,672 | 0.015618 | 0.109327 |
| 直的 | 4 | 252,218,322,636 | 0.012653 | 0.050613 |
| 三條 | 2 | 1,468,173,074,448 | 0.073655 | 0.147309 |
| 兩對 | 1 | 2,390,581,734,264 | 0.119929 | 0.119929 |
| 傑克或更好 | 1 | 3,944,045,609,748 | 0.197863 | 0.197863 |
| 沒有什麼 | 0 | 11,311,936,721,268 | 0.567491 | 0.000000 |
| 全部的 | 19,933,230,517,200 | 1.000000 | 0.995778 |
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
五名水手在海難中倖存下來。他們做的第一件事就是收集椰子，並把它們堆成一個大堆。他們原本打算事後平分，但辛苦採摘椰子之後，他們實在太累了。於是他們晚上睡覺，打算明天早上再分椰子。
然而，水手們彼此並不信任。午夜時分，其中一人醒來，想要拿走屬於自己的那一份。他把椰子堆分成五等份，只剩下一個。他把自己的那份埋了起來，把其他四堆椰子合併成一個新的公共椰子堆，然後把剩下的椰子給了一隻猴子。
凌晨 1 點、2 點、3 點和 4 點，其他四名水手也做著同樣的事情。
第二天早上，沒人承認自己做了什麼，他們按照原計畫平分椰子。他們又剩下一個椰子，給了猴子。
原始堆中椰子的最小可能數量是多少？
「向下捲動 100 行即可找到答案。
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十三
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三十四
三十五
三十六
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原先那堆椰子一共有15621個。再向下捲動100行，查看我的答案。
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設 c 為原堆中椰子的數量，f 為最後一次分配後每位水手的最終份額。
水手 1 拿走他的那一份並將他的椰子給猴子後，將剩下 (4/5)×(c-1) = (4c-1)/5。
水手 2 拿走他的那一份並將他的椰子給猴子後，將剩下 (4/5)×(((4c-1)/5)-1) = (16c-36)/25。
水手 3 拿走他的那一份並將他的椰子給猴子後，將剩下 (4/5)×(((16c-36)/25)-1) = (64c-244)/125。
當水手 4 拿走他的那一份並將他的椰子給猴子後，將剩下 (4/5)×(((64c-244)/125)-1) = (256c-1476)/625。
當水手 5 拿走他的那份並將他的椰子給猴子後，將剩下 (4/5)×(((256c-1476)/625)-1) = (1024c-8404)/3125 個。
第二天早上，每位水手所佔的剩餘份額為 f = (1/5)×(((1024c-8404)/3125)-1) = (1024c-11529)/15625。
那麼，問題是，c 的最小值是多少，使得 f=(1024×c-11529)/15625 為整數。讓我們用 f 來表示 c。
（1024×c-11529）/15625 = f
1024c - 11529 = 15625×f
1024c = 15625f+11529
c = (15625f+11529)/1024
c = 11 + ((15625×f+265)/1024)
c = 11+15×f+(265×(f+1))/1024
那麼，使得 265×(f+1)/1024 為整數的最小 f 是多少？ 265 和 1024 沒有共同的因數，所以 f+1 本身必須能被 1024 整除。 f+1 的最小可能值為 1024，因此 f=1023。
因此，c = (15625×1023+11529)/1024 = 15,621。
以下是每個人和猴子收到的椰子數量：
椰子問題
| 水手 | 椰子 |
| 1 | 4147 |
| 2 | 3522 |
| 3 | 3022 |
| 4 | 2622 |
| 5 | 2302 |
| 猴 | 6 |
| 全部的 | 15621 |
向我提出這個問題的戴維‧菲爾默（David Filmer）其實已經知道答案了。實際上，他問的是s名水手的一般情況的公式，但我對5名水手的具體情況已經夠頭疼的了。戴維指出，一般情況下的答案是c = s s+1 - s + 1。
我將把這個證明留給讀者。
以下是該問題替代解決方案的一些連結：