請問巫師 #251
2009年，內華達州二十一點賭桌上的總投注額為89.17億美元。賭場贏了10.08億美元。其中有多少是玩家失誤造成的？
根據內華達州博彩管理委員會2009年的收入報告，我們發現「21點」的贏利確實高達10.08525億美元。這可能包括二十一點的變體。根據我2010年2月20日在「問巫師」專欄的文章，博彩顧問比爾‧贊德指出，二十一點的失誤成本約為0.83%。
缺少的一點是，如果沒有這些錯誤，賭場優勢會是多少？我承認這有點粗略，但2010年4月《二十一點時事簡報》中「賭場優勢」欄位的平均值是0.78%。因此，包含錯誤在內的二十一點總賭場優勢為0.78% + 0.83% = 1.61%。其中，由錯誤造成的部分為0.83%/1.61% = 51.55%。因此，2009年內華達州因二十一點錯誤造成的利潤可以粗略估算為1,008,525,000 × 0.5155 = 5.19億美元。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
只持有一張牌，在9-6 Jacks or Better中取得同花大順的機率是多少？
下表顯示了在假設有一張皇室牌的情況下，根據持有的牌張數量，每種皇室牌的機率。結果顯示，3.4% 的皇室牌來自於持有一張牌。皇室牌的初始機率為 40,391 分之一，因此，持有一張牌的皇室牌的無條件機率為 1,186,106 分之一。
9/6 傑克皇家組合
| 持有的卡牌 | 組合 | 可能性 |
|---|---|---|
| 0 | 1,426,800 | 0.002891 |
| 1 | 16,805,604 | 0.034053 |
| 2 | 96,804,180 | 0.196154 |
| 3 | 195,055,740 | 0.395240 |
| 4 | 152,741,160 | 0.309498 |
| 5 | 30,678,780 | 0.062164 |
| 全部的 | 493,512,264 | 1.000000 |
您在Megabucks的頁面上說過，每年年初支付25期等額年金，利率為4.66%，相當於票面價值的61.07%。我想知道您計算年金的公式是什麼？
公式為 V = P × [(1-(1+i) -n )]/(i/(1+i))，其中：
V = 年金價值
P = 個人支付金額
i = 利率
n = 付款次數
假設頭獎金額為 1500 萬美元。設 i = 4.66%，n=25，則為因應通貨膨脹，公平支付金額應為 982,525 美元。您實際獲得的金額為 1500 萬美元/25，即 60 萬美元。實際支付金額/公平支付金額 = 61.07%。
並不是您問的，但是如果每年年底付款，則公式是 V = P × [(1-(1+i) -n )]/i。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
我賣雕塑。平均每賣出七件雕塑，就有一件是烏龜，其餘都是其他類型的雕塑。如果我想在接下來的100件雕塑銷售中，有90%的幾率不缺貨，我需要庫存多少件烏龜？
令 t 為製造的烏龜數量，x 為售出的數量。
pr(x<=t)=0.9
pr(x-14.29<=t-14.29)=0.9
pr((x-14.29)/3.5)<=(t-14.29)/3.5))=0.9
不等式左邊服從標準常態分配（平均數為0，標準差為1）。下一步需要學習統計學入門課程，或具備一定的信念才能接受。
(t-14.29)/3.5 = normsinv(0.9) 這是 Excel 函數。
（t-14.29）/3.5 = 1.282
t-14.29 = 4.4870
t = 18.77
沒人會買0.77個烏龜雕像，所以我會湊整到19個。根據二項分佈，賣出18個或更少烏龜雕像的機率是88.35%，賣出19個或更少烏龜雕像的機率是92.74%。這個問題是在我的同伴網站「維加斯巫師」的論壇上提出並討論的。
20年前，日本豪賭客柏木與唐納德·川普之間發生了一場著名的淘汰賽。柏木在百家樂中每手的投注不得超過20萬美元。當賭場或玩家領先1200萬美元時，遊戲就會結束。假設柏木總是在莊家上押最大注，那麼柏木獲勝的機率是多少？
如果他押注閒家，計算起來就容易多了。我在我的 mathproblems.info 網站上算過一個類似的輪盤賭題，題號 116。對於等額投注，通用公式是 ((q/p) b -1)/((q/p) g -1)，其中：
b = 起始資金（以單位計）。
g = 資金目標（以單位計）。
p = 贏得任何給定賭注的機率，不包括平局。
q = 在任何給定賭注中失敗的機率，不包括平局。
此處，玩家初始資金為1200萬美元，即60個單位，每個單位20萬美元，並將一直玩到資金達到120個單位或破產。因此，在玩家下注的情況下，等式值為：
b = 60
克= 120
p = 0.493175
q = 0.506825
所以答案是 ((0.506825/0.493175) 60 -1)/(( 0.506825/0.493175) 120 -1) = 16.27%。
由於莊家投注有5%的佣金，情況要複雜得多。這會導致玩家超額完成目標的可能性很高。如果我們增加一條規則：如果贏錢的賭注能夠幫助玩家實現目標，那麼他只需下注達到1200萬美元所需的金額，那麼我估計他成功的機率為21.66%。
資金翻倍機率的一個更簡單的公式是 1/[1+(q/p) b]。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。