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Wizard 巫師推薦

請問巫師 #247

感謝你親筆撰寫這本預測Super Bowl超級盃確實分數預測的書。然⽽, 期 望值是否太低？我發現贏注的機率⼤約是300分之⼀。

FinsRule

我認為概率⽐起有專業經驗的估計還要更好。這裡是我針對任何NFL美式 ⾜球⽐賽確實結果的選號基本策略。

  1. 運⽤total總分與spread點差讓分, 估計每⽀球隊的總點數。例如, 如果針 對Super Bowl超級盃, 我們運⽤total總分57、spread點差讓分-5, 設定 c=Colts的分數, s=Saints的分數, 則...

    (1) c+s=57
    (2) c-5=s
    將⽅程式(2)代⼊⽅程式(1)當中:
    c+(c-5)=57
    2c-5=57
    2c=62
    c=31
    s=31-5=26

    到這裡為⽌的問題是, 你所得到的數值並不像是單⼀球隊的得分。例如, 單 ⼀球隊總分24的機率為6.5%, 但是總分25的機率只有0.9%. 以下的列表顯 ⽰單⼀球隊的總機率, 基於2000-2009年的球季。所以我們將要估計每⽀ 球隊的總分、基於實際field goals射⾨與touchdowns達陣的組合。

  2. 假設最強的kicks踢球2 field goals得分。
  3. 假設弱隊kicks踢球1 field goals得分。
  4. 各⾃減去field goal得分。在Super Bowl超級盃的例⼦, 這會剩下Colts = 25 touchdown達陣得分, Saints = 23 touchdown達陣得分。
  5. 將touchdown達陣得分除以7, 得到估計的touchdowns達陣分數。 c=3.57 TD, s=3.29 TD
  6. 將估計的touchdowns達陣分數歸整為最接近的整數值。c=4, s=3.
  7. 依照這個⽅法, 我們得到總分 c=(4×7)+(2×3)=34, s=(3×7)+(1×3)=24.

運⽤這個⽅法在1983-2009年球季的所有6,707場⽐賽, 將會導出69次正確 的選號, 成功率為1.03%. 最近⼀次正確的估計是2009年第13週Titans/ Colts的⽐賽。那場⽐賽Colts的spread點差讓分為-6.5, 總分為46. 得分數 為Titans 17, Colts 27.

挑惕的想法認為較好的簡單策略是選取兩⽀球隊中最接近的單⼀球隊總 分。使⽤這種⽅法只有51次的贏注, 贏注機率為0.76%. 依我所⾒, 將強隊 與弱隊分開成field goals射⾨得分2 與 1是很重要的。

單⼀球隊總分在2000-2009年球季的NFL美式⾜球

單⼀球隊總分 取樣的總分 機率
0 93 1.75%
1 0 0.00%
2 0 0.00%
3 148 2.79%
4 0 0.00%
5 2 0.04%
6 114 2.15%
7 210 3.96%
8 9 0.17%
9 76 1.43%
10 316 5.96%
11 9 0.17%
12 49 0.92%
13 289 5.45%
14 238 4.49%
15 55 1.04%
16 170 3.21%
17 373 7.03%
18 33 0.62%
19 92 1.73%
20 368 6.94%
21 234 4.41%
22 64 1.21%
23 218 4.11%
24 347 6.54%
25 47 0.89%
26 103 1.94%
27 282 5.32%
28 159 3.00%
29 52 0.98%
30 127 2.39%
31 242 4.56%
32 23 0.43%
33 57 1.07%
34 164 3.09%
35 76 1.43%
36 27 0.51%
37 68 1.28%
38 108 2.04%
39 11 0.21%
40 21 0.40%
41 62 1.17%
42 31 0.58%
43 6 0.11%
44 24 0.45%
45 33 0.62%
46 1 0.02%
47 7 0.13%
48 28 0.53%
49 15 0.28%
50 1 0.02%
51 5 0.09%
52 7 0.13%
53 0 0.00%
54 2 0.04%
55 1 0.02%
56 4 0.08%
57 1 0.02%
58 1 0.02%
59 1 0.02%
總計 5304 100.00%

這個問題曾被提出與討論在我的夥伴網站討論區 Wizard of Vegas拉斯維 加斯巫師.

我認為拉斯維加斯的一些賭場使用的骰子是單面加重的。為了證明這一點，我提交了在拉斯維加斯大道一家賭場收集的244次投擲結果。公平的骰子能產生如此偏差的結果，幾率有多大？

骰子測試數據
骰子總數觀察
2 6
3 12
4 14
5 18
6 23
7 50
8三十六
9三十七
10二十七
11 14
12 7
全部的244

C. 來自 Las Vegas

7.7%。

卡方檢定非常適合這類問題。要使用該檢驗，對每個類別取 (ae) 2 /e，其中 a 是實際結果，e 是預期結果。例如，投擲 244 次，總點數為 2 的預期次數為 244×(1/36) = 6.777778。如果您不明白為什麼投擲 2 的機率是 1/36，請閱讀我的骰子機率基礎知識頁面。總點數為 2 的卡方值，a=6，e=6.777778，因此 (ae) 2 /e = (6-6.777778) 2 /6.777778 = 0.089253802。

卡方結果

骰子總數觀察預期的卡方檢定
2 6 6.777778 0.089253
3 12 13.555556 0.178506
4 14 20.333333 1.972678
5 18 27.111111 3.061931
6 23 33.888889 3.498725
7 50 40.666667 2.142077
8三十六33.888889 0.131512
9三十七27.111111 3.607013
10二十七20.333333 2.185792
11 14 13.555556 0.014572
12 7 6.777778 0.007286
全部的244 244 16.889344

然後對卡方列求和。在本例中，和為 16.889344。這稱為卡方統計量。 「自由度」的數量比資料中的類別數少 1，在本例中為 11-1=10。最後，在統計表中找出 10.52 的卡方統計量，自由度為 10，或在 Excel 中使用公式 =chidist(16.889344,10)。這兩種方法都會得到 7.7% 的結果。這意味著公平骰子產生如此或更大偏差結果的機率是 7.7%。總而言之，雖然這些結果的偏差程度比預期的要大，但還沒有嚴重到引起人們的懷疑。如果您繼續進行此測試，我建議收集每個骰子的結果，而不是總和。另外要注意的是，如果某一類別的預期結果數量較低，則卡方檢定並不適用。最低預期值5是常見的數字。

牌九中發到兩對牌的機率是多少？

Lisa 來自 Las Vegas

牌九由16對牌組成。從16對牌中選出2對，共有(16,2)=120種方法。一旦選出兩對，就只有一種方法可以選出特定的牌。從32張牌中選出4張，共有(32,4)=35,960種方法。因此，選出兩對的機率為120/35960 = 0.33%，即三百分之一。

不是你問的，而是一對的機率是 16×combin(15,2)×2 2 /combin(32,4)=18.69%。




圖片取自我的同伴網站Wizard of Vegas 。

我在玩二十一點遊戲時遇到了一種新的邊注，想知道賭場優勢是多少。除了賭場優勢之外，如果存在優勢，最佳點數是多少才能降低優勢並獲得優勢？如果莊家明牌的點數介於玩家前兩張牌的點數之間，玩家獲勝。玩家兩張牌之間的點數越少，賠率越高。若點數相差一格，賠率為12比1；若點數相差兩格，賠率為6比1；若點數相差三格，賠率為4比1；若點數相差四格或以上，則賠率為1比1。若點數相差三條，賠率為30比1。任何見解或幫助都將不勝感激。

blackchipjim

基於六副牌，我的賭場優勢是 3.40%。我所有的計算方法都在我的二十一點附錄 8 。點數過高或過低都表示剩餘牌的點數比較集中，這會降低賭場優勢，但我認為這不足以引起人們的擔憂。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。