請問巫師 #244
對於牌九和牌九撲克，當玩家押莊時，玩家之間的下注沒有賭桌限制嗎？如果一個玩家或一組玩家的下注超過了莊家的承受能力，會發生什麼事？
先回答第二個問題，莊家必須有足夠的籌碼來覆蓋所有賭注。如果沒有，荷官會讓他選擇繼續買，還是放棄莊家的機會。
至於第一個問題，當玩家在莊家時，賭桌限額仍然適用。允許任何賭注似乎都是個好主意，因為賭場可以從更大的賭注中抽取5%。我諮詢了三家不同的賭場，他們給的答案如下，按我詢問的順序排列：
賭場 1：博彩管理委員會需要批准增加最高賭注，但他們無法在短時間內完成這項任務。
賭場 2：博彩管理委員會 (GAB) 對此不予置評。任何最高賭注的增加都需要賭場副總裁的批准，通常只針對已知的優質客戶。
賭場3：賭場無需博彩控制委員會（GACB）的批准即可提高賭台的最高投注。我的消息來源從未聽說過賭場允許玩家進行無限投注，並補充說，從概念上講，賭場不會承擔任何風險，因此沒有理由禁止這樣做。
我想補充一點，在我玩牌九的漫長時間裡，我從未見過類似情況。通常情況下，玩家不喜歡與其他玩家對賭，而且最高投注額足夠高，無論誰是莊家，玩家都很少遇到對手。然而，如果這種情況經常發生，我認為賭場確實會重新考慮他們的政策，允許無限下注。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
如果只能分牌 A，那麼二十一點中的莊家優勢會如何改變？
這取決於其他規則，但假設六副牌且分牌後加倍是正常允許的，那麼賭場優勢只會增加0.39%。如果分牌後加倍通常不允許，那麼賭場優勢只會增加0.24%。這種情況其實適用於Triple Shot遊戲，由於它是單副牌遊戲，我的賭場優勢為0.33%。請記住，在二十一點遊戲中，這些數字可能會有0.03%左右的誤差，這取決於分析方法。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
我在密西根州的一家賭場看到一個1美元的累積獎金，獎金是基於翻牌和玩家的兩張底牌。獎金分配如下：
皇家同花順：100% 的累積獎金
同花順：累積獎金的 10%
四張相同的牌：300美元
全場：50美元
同花：40美元
直注：30美元
三張相同的牌：9美元
贏得 105,000 美元大獎的機率是多少？
累積獎金 j 的報酬率為 0.530569 + j×0.029242。因此，如果 j=105,000，回報率為 83.76%。更多信息，請參閱我的“終極德州撲克”頁面。
在機場的行李輸送帶上，我需要取的行李越多，等待所有行李出來所需的時間就越長。如果我只有一個行李，我可能需要等到大約一半的行李出來。如果我帶了兩個行李，我的等待時間會更長，如果帶了三個，等待的時間就更長了。假設我的行李隨機地混在一起，那麼根據我的行李數量和行李總數，我需要等待多少行李出來才能取回所有行李，這個通用公式是什麼？
我們先定義一些變量，如下：
n = 您的行李數量
b = 行李總數
隨著行李總數的增加，答案將越來越接近 b×n/(n+1)。對於大型飛機來說，這個答案會比較準確。但是，如果你想要更精確的答案，答案是
[b× combin (b,n)-(combin(i,n)中i=n到b-1的和)]/combin(b,n)
例如，如果總共有 10 個行李，其中 4 個是您的，那麼預計等待時間 =
[10×combin(10,4)-combin(4,4)-combin(5,4)-combin(6,4)-combin(7,4)-combin(8,4)-combin(9,4)]/combin(10,4) = 8.8 袋。
解決方案：
從 b 個袋子中取出 n 個袋子的方法數為 combin(b,n)。因此，所有袋子都出現在前 x 個袋子中的機率為 combin(x,n)/combin(b,n)。最後一個袋子是第 x個袋子的機率為 (combin(x,n)-combin(x-1,n))/combin(b,n)，其中 x>=n+1。 x=n 時，機率為 1/combin(b,n)。
因此，預期等待時間與總等待時間的比率為：
n×組合(n,n)/組合(b,n) +
(n+1)×(組合(n+1,n)-組合(n,n))/組合(b,n) +
(n+2)×(組合(n+2,n)-組合(n+1,n))/組合(b,n) +
。
。
。
+
(b-1)×(組合(b-1,n)-組合(b-2,n))/組合(b,n) +
b×(combin(b,n)-combin(b-1,n))/combin(b,n)
取伸縮總和，可以簡化為：
[b×combin(b,n)-combin(b-1,n)-combin(b-2,n)-...-combin(n,n)]/combin(b,n)
後來有一位讀者來信說，答案可以簡化為 n×(b+1)/(n+1)。這可以用歸納法來證明，雖然方法合法，但總讓我感到不滿足。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。