請問巫師 #241
我饒有興致地讀著「巫師」部落格上關於阿諾德‧史瓦辛格否決信的報道。我的問題與州長那荒謬卻又意料之中的回應有關。州長聲稱這只是一個「荒誕的巧合」。儘管有壓倒性的間接證據（該法案的發起人和收信人正是一周前辱罵州長的人），你能否估算一下，一封恰好只有七行的信偶然拼出這句話的概率有多大？我認為，考慮到所使用的字母，這比僅僅給每個字母分配1/26的機率還要小得多。 U、Y，尤其是K，似乎不是常用的單字開頭字母。
如果您容易被冒犯，請跳到下一個問題。
為了讓那些沒有讀過那篇部落格的讀者了解一下，請看一下加州州長阿諾德施瓦辛格的這份備忘錄（PDF）中每一行的首字母，從以字母 F 開頭的行開始。
我的同伴網站「Wizard of Vegas」討論過這個問題。為了找到答案，我在維基百科上找到了英語中第一個單字每個字母的頻率。
按首字母排列的詞頻
| 信 | 頻率 |
| 一個 | 11.60% |
| B | 4.70% |
| C | 3.51% |
| D | 2.67% |
| 埃 | 2.00% |
| F | 3.78% |
| 格 | 1.95% |
| 哈 | 7.23% |
| 我 | 6.29% |
| J | 0.63% |
| 鉀 | 0.69% |
| 左 | 2.71% |
| 米 | 4.37% |
| 否 | 2.37% |
| 哦 | 6.26% |
| 磷 | 2.55% |
| 問 | 0.17% |
| R | 1.65% |
| 秒 | 7.76% |
| T | 16.67% |
| ü | 1.49% |
| 五 | 0.62% |
| 西 | 6.66% |
| 十 | 0.01% |
| 是 | 1.62% |
| Z | 0.05% |
要估算阿諾的資訊確實只是巧合的機率，其公式為：Prob(F) × Prob(U) × ... × prob(U) = 0.0378 × 0.0149 × 0.0351 × 0.0069 × 0.0162 × 0.0626 × 0.0626 × 0.149849999099.0099.098499.09099.09099.09099.09099.09099.090909090909090909。這甚至還沒有考慮到兩個單字之間的空格恰好被換行符取代。
我要感謝 Eliot J. 和 Jonathan F. 對此解決方案的貢獻。
在華盛頓州，有時牌九撲克不會收取5%的佣金。他們只從莊家優勢和自願的附加投注中獲利。這會如何改變賠率？
假設玩家遵循賭場的規則，在不收取佣金的情況下，莊家有1.3%的優勢，其他玩家則處於1.3%的劣勢。如果玩家莊家有一半的次數，那麼整體賭場優勢剛好是0%。如果玩家在7手牌中莊家押1，那麼整體賭場優勢是0.93%。如果玩家在14手牌中莊家押1，那麼整體賭場優勢是1.11%。如果玩家莊家的次數比例是b，那麼整體賭場優勢就是1.2% - 2.4% × b。
在華盛頓，有時玩家會被要求進行「財富」附加投注才能免佣金。我在我的「問巫師」專欄第159期中討論過這條規則。
在新墨西哥州聖塔菲的Buffalo Thunder賭場，終極德州撲克遊戲中有一個我從未見過的累進式附加投注。你們有賠率嗎？
謝謝你的資訊。我在我的終極德州撲克頁面上提到了這一點。
您認為，如果玩家在現場撲克錦標賽中贏得獎金，並且在錦標賽開始時購買了“莊家”附加獎金，是否應該額外給小費？我參加過很多使用這些附加獎金的小額買入錦標賽，獲勝者總是會被提醒「非常感謝您的小費」。在我看來，即使在沒有贏得獎金的錦標賽中，我也已經給過小費了，額外的小費只會減少我在這種本來就很難戰勝的賭博形式中可能擁有的微薄優勢（因為“抽水”，以及一些貶低技巧重要性的比賽形式等等）。另一方面，我不想顯得吝嗇。您有什麼建議？
為了方便其他讀者理解，「荷官附加費」是指在撲克錦標賽中可選擇購買的額外籌碼。通常情況下，荷官附加費的單價低於原始報名費，在這種情況下購買是划算的。回答你的問題，我認為如果你贏了錢，無論是否購買了荷官附加費，你都有理由減少小費。我把它比喻成在餐廳給小費，如果他們已經加了18%的服務費。在我看來，合適的贏家小費應該是荷官在錦標賽期間進行現金遊戲時應得的小費減去他們從荷官附加費中獲得的收入。
藉此機會，我要聲明，我反對所有額外的錦標賽費用，除非額外支付的錢進入獎金池，而這通常不會發生。錦標賽的組織結構通常認為支付額外費用是值得的，所以大多數玩家，包括我，都會行使這項權利。如果你不支付額外費用，你的獲勝幾率就會大大降低。但是，如果每個玩家都支付額外費用，那麼他們就應該放棄這種藉口，從一開始就提高錦標賽的收費。
你是如何認為Patriot call第⼀次down、當他們第四次down在⾃⼰的28碼 線 — 還有他們領先6分?! 在那樣情況做出第⼀次down的概率是多少, 你會 怎麼做呢？
為了其他讀者的利益, 這是參考 2009年⼗⼀⽉15⽇的賽事 、其中Patriots 領先Colts六分。當時第四個quarter還剩下1:57, 那是第四次down、⼤約 1.5碼, ⽽且球在Patriots隊的28碼線。Patriots的教練 Bill Belichick 做出有 爭議的決定以贏的勝利、並且進到第⼀次down在第四場quarter, ⽽⾮punt 踢球射⾨。
對於此事在 Las Vegas Review Journal. 有⼀則很好的專欄。它引述職業 賭客兼精算師Steve Fezzik說的話、其概率對於第⼀次down是有利的。我 完全同意。⼀般來說, 我認為其他的教練太常punt踢球, 並且太過害怕冒 險。為了議論我的論點、我問過數學達⼈兼運動簽賭者Joel B., 他對於分 析⾜球的概率⽐我強多了。他提供以下的概率:
- Patriot做出第⼀次down的機率: 60%
- Patriot做出第⼀次down、並且贏的機率: 100%
- Patriot失去第⼀次down、並且贏的機率: 50%
- Patriot如果punt踢球、並且贏的機率: 75%
所以, 做出第⼀次down、並且贏球的機率為 60%×100% + 40%× 50% = 60% + 20% = 80%. 那⽐punting踢球的75%機率要⾼。
這個星期天早上quarterbacks四分衛們可以盡其所能去誹謗Belichick, 不 過我讚許他的決定。他不應該因為⽐賽結果⽽受到審判, 不過是否概率有 利於當時他所做的決定。我強烈感到他們是的。⼀週之後在 Ravens/Steelers 的⽐賽 、Ravens在第四場進擊並且得分。雖然那是不同的狀況, 我可還沒聽到有任何⼈對於那次決定有微詞異議。
為了公平的理由, 我提供⼀則抱持相反意⾒的連結, 標題為 Belichick’s fourth-and-reckless 由ESPN.com的Bill Simmons報導。