請問巫師 #237
我聽說德國6/49彩票在不同的日子裡開出了相同的號碼。這似乎有點蹊蹺。中獎機率是多少？
確實如此，但事情並沒有你想像的那麼可疑。根據HC Tijms所寫的《理解機率：日常生活中的機會規則》 ，1995年6月21日和1986年12月20日的雙週開獎中，開出的號碼是同一組。 1986年12月20日的開獎是第3016次。 6/49彩券的組合數為combin(49,6) = 13,983,816。第二次開獎號碼與第一次開獎號碼不符的機率為(c-1)/c，其中c為組合數，即13,983,816。第三次開獎產生一組不同號碼的機率為(c-2)/c。因此，從第2次到第3016次開獎，每次開獎都產生唯一號碼的機率為 (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0.722413。因此，至少一組相同號碼的機率為 1 - 0.722413 = 0.277587，即 27.8%。下表顯示了假設每週開獎兩次，按年份開獎至少出現一對相同號碼的機率。
6/49彩票中號碼匹配的機率
| 年 | 可能性 |
| 5 | 0.009640 |
| 10 | 0.038115 |
| 15 | 0.083800 |
| 20 | 0.144158 |
| 二十五 | 0.215822 |
| 三十 | 0.295459 |
| 三十五 | 0.379225 |
| 40 | 0.463590 |
| 45 | 0.545437 |
| 50 | 0.622090 |
| 55 | 0.691985 |
| 60 | 0.753800 |
| 65 | 0.807008 |
| 70 | 0.851638 |
| 75 | 0.888086 |
| 80 | 0.917254 |
| 85 | 0.940000 |
| 90 | 0.957334 |
| 95 | 0.970225 |
| 100 | 0.971954 |
如果你想知道的話，配對抽獎機率首次超過 50% 的抽獎次數是 4,404。
我有一個難題，已經嘗試解了幾個月，但毫無進展。如果時間允許，希望您能幫我解答一下，因為它讓我徹夜難眠 :-)。總之，在《超越數數－附錄 CAA》的詞彙表中，有三個由數字和字母組成的序列作為「魔法數字」的詞條。其中一個數字甚至出現在了書的封面上，所以我猜它們一定很重要。有什麼看法嗎？
我很少這麼說，但我確實不知道。正如你在另一封郵件中提到的，他們採用的是美國貨幣序號的格式，兩個字母中間加一個十位數字。出於對版權的尊重，我不會在這裡指出這些數字的具體含義。
假設您正在玩獎勵雙鬼牌（或任何其他正確策略是保留並從兩對牌中抽取一對的遊戲），當在 Spin Poker 上玩這個有 9 種模式的遊戲時，對於等值對，每對的位置是否會對應該保留哪對產生影響？如果有，那麼最佳和最差的保留位置是什麼？
為了方便其他讀者理解，有時在雙2（Deuces Wild）遊戲中，持有單對的機率比持有兩對的機率更大。在全額賠付的雙2（Deuces Wild，賠率為100.76%）以及任何常見的獎金雙2（Bonus Deuces，葫蘆賠付3）遊戲中，情況都是如此。精確計算這一點非常繁瑣且耗時。然而，很容易看出，在1、2、4和5號轉軸上，九條賠付線會經過每個位置三次。然而，在3號轉軸上，頂部和底部位置各只經過兩次，中間位置經過五次。持有包含中間欄位的對子可以降低你的波動性。在20%的中間列為單對的情況下，如果對子包含第1列和第5列，或第2列和第4列（如果可以的話），我會持有一對。如果不可能，那麼如果可以，則在第1列和第2列，或第4列和第5列中持有一對。否則，持有哪一對都無所謂。
我是⼀組NFL美式⾜球賭盤競賽六⼈之⼀。我們每個⼈必須選取球季當中 的70場⽐賽以對抗主要的網路運動簽賭組頭, 那有⼀個20分錢的賭盤。其 中⼀位參賽者提供⼀個over/under主題投注在球季最後最⾼的得分。他的 賭盤獲利8.5個單位。讓我們假設球季尚未開始, ⽽那位參賽者是有經驗的 運動簽賭者。你認為那個賭盤怎樣、還有你怎麼分析它？
要問你⾃⼰最⼤的問題是, 像這樣的主題投注, ⼀個給定選項最後將會贏、 輸、或平⼿的機率是多少。從我的單元在 betting the NFL美式⾜球的押 注, 我們可以⾒到有2.8%的⽐賽正好落在賭盤之上。讓我們就說3%好了, 這樣⽐較簡單。讓我們稱呼 p 為贏的機率, 給定那次押注完成了。對於單 純的隨機選號者, p 顯然就是50%. 這很容易透過只選取弱隊⽽獲得進展。 如同我之前提過的專⾴顯⽰, 超過25個球季持平押注在弱隊將會導致贏注 ⽐例為51.5%. 它也很容易透過押注⽐較有利賭盤的⽅式來獲得進展。這 兩者之間, 我認為不難達到52%. 所以我會對這些⼈有信⼼、⾄少會達到 52%.
所以, 假設完成的贏注為52%, 整體的機率為:
贏: 50.44%
平局: 3.00%
輸: 46.56%
運⽤基本的統計學, 很容易⾒到每次選號的期望贏注, 讓laying -110, 為-0.0078. 每次選號的標準均⽅差為1.0333. 期望贏注超過70次選號 為-0.5432, 其標準均⽅差為 701/2×1.0333 = 8.6452. 贏到8.5個單位是 9.0432個單位超過期望值, 或是9.0432/8.6452=1.0460標準均⽅差對於 Gaussian Curve⾼斯曲線右側的期望值。我認為我們可以忽略不連續分佈 的調整、因為平⼿的因素, 還有某些⽐賽並⾮-110/-110, 將會導致相當平 滑的曲線、下降到0.05個單位的因⼦。
所以, 任何⼀位玩家完成超過1.046標準均⽅差期望值以上的機率為 14.77%. 那個圖形可以在任何Gaussian curve⾼斯曲線的列表找得到, 或 者在Excel透過公式 =1-normsdist(1.046). 所有六位玩家完成低於1.046的 機率為 (1-0.1477)6=38.31%. 那麼, 所有六位玩家⾄少有⼀位玩家完成 1.046以上的標準均⽅差的機率為61.69%. 那樣檢視⼀個可靠押注讓laying -110. 我顯⽰它在-161是公平的。
以下的列表顯⽰給定不同數值的p值、超過8.5次贏注的機率。或許設定主 題投注的個⼈假設p值接近到51%.
NFL美式⾜球賭盤的主題投注
| 正確選號機率 | 超過贏注機率 |
| 50.0% | 41.16% |
| 50.5% | 46.18% |
| 51.0% | 51.33% |
| 51.5% | 56.53% |
| 52.0% | 61.69% |
| 52.5% | 66.72% |
| 53.0% | 71.52% |