請問巫師 #235

我遇過一種在波羅的海國家和俄羅斯流行的綠洲撲克（Oasis Poker）變體，叫做皇家撲克（Royal Poker）。以下是英文版規則。它添加了各種場景，可以進行各種附加投注。就我在賭場看到的情況而言，它會讓玩家變成傻瓜。他們買牌，試圖把最差的牌都變成大贏家等等。你能想出一個演算法來模擬一些結果，並計算出這個遊戲的賭場優勢和策略嗎？謝謝！

Martin 來自 Tallinn

我越來越頻繁地被問到這個問題。不幸的是，這個遊戲的組合數量會非常龐大。一個暴力循環程序可能需要數千年才能完成。然而，優秀的程式設計師總是能找到捷徑。權衡利弊之後，我覺得這個計畫不太值得我花時間。如果我住在俄羅斯或波羅的海國家，我可能會有不同的感受。

為了方便其他讀者，皇家撲克類似於加勒比梭哈撲克，但增加了以下選項。我的理解是，玩家可以啟用其中任意一個或所有選項，但不能同時啟用選項2和選項3。

如果玩家能組成兩手牌，兩手牌都擊敗莊家，兩手牌都不完全在另一手牌之內，那麼兩手牌都能獲得賠付。我不確定底注和/或加註是否會被支付兩次。例如，如果玩家有六張牌，並且能組成順子和同花，那麼玩家兩手牌都可以獲得賠償。
玩家可以交換一到五張牌，作為 Ante 的價格。
玩家可以以 Ante 的價格購買第六張牌。
玩家可以在莊家翻開四張面朝下的牌之前購買「保險」。如果莊家不具備資格，保險投注將支付等額的賠付。
玩家可以強迫莊家將他的最大牌換成牌堆中的下一張牌，以支付 Ante 賭注的代價。
有一個「AA 紅利」邊注，如果玩家的前五張牌是一對 A 或更高，則賠率為 7 比 1。

我可以說，AA 紅利附加註和保險選項永遠都不應該下，因此它們毫無價值。 AA 紅利的賭場優勢是 12.99%。下表顯示，保險的賭場優勢在 8.57% 到 33.57% 之間，取決於莊家的明牌。

俄羅斯撲克中的保險

莊家的明牌	組合	可能性	預期值
一個	132804	0.335714	-0.328571
鉀	132804	0.335714	-0.328571
問	108528	0.457143	-0.085714
J	108732	0.456122	-0.087755
10	108936	0.455102	-0.089796
9	109140	0.454082	-0.091837
8	109140	0.454082	-0.091837
7	109140	0.454082	-0.091837
6	109140	0.454082	-0.091837
5	109140	0.454082	-0.091837
4	108936	0.455102	-0.089796
3	108732	0.456122	-0.087755
2	108528	0.457143	-0.085714

我還從我在Oasis Poker的頁面上了解到，光是換牌選項就能將賭場優勢從5.22%降低到1.04%。我傾向於認為，如果你掌握了正確的策略，那麼獲得雙倍賠付、保留第六張牌（而不是換牌）以及迫使莊家換牌的規則，就能讓遊戲獲得有價值的玩家優勢。很抱歉跟你耍費馬大招，但目前我只能做到這些了。

附註：我聽說有些賭場會加一條規則，如果玩家贏了，那麼底注只能算是平手。我認為這對賭場非常有利，因為賭場的優勢會被抹去。

我最近參加了一個抽獎活動，獎品有7033個，據說中獎機率是1/13。我買了5張彩券。我實際中獎機率是多少？另外，大獎有40個。我中大獎的機率是多少？

anonymous 來自 Mesa, AZ

為了簡單起見，我們忽略這樣一個事實：你買的彩票越多，每張彩票的價值就越低，因為你正在與自己競爭。也就是說，輸掉五張彩券的機率是 (12/13) ⁵ = 67.02%。所以至少贏得一次獎的機率是 32.98%。在你買彩券之前，彩券桶裡總共有 7033×13=91,429 張彩券。 91,429-40=91,389 張彩券不是大獎。五張彩券中不了大獎的機率是 (91,389/91429) ⁵ = 99.78%。所以至少贏得一次大獎的機率是 0.22%，也就是 458 分之一。

根據你的說法，我們玩的時間越長，損失就越接近負預期值，也就是賭場優勢。那麼，如果我們是完全理性的玩家，是否應該把全部資金都押在一次投注上，以避免這種逐漸逼近的函數呢？這是 Bluejay 在vegasclick.com上給的建議。

因此，Bluejay 說：「…如果你知道玩的時間越長，輸的可能性就越大，那麼玩的時間越短，贏的幾率就越大。而你最短的時間只能玩一次。所以從統計學上講，這是你最好的選擇：只下一次等額賭注，一次性把所有錢都押上…”

機率魔法師同意這個推理嗎？

Peter 來自 Sydney

是的，絕對沒錯！如果你的目標是贏或輸 x 美元，並且僅限於等額投注遊戲，那麼只需進行一次等額投注就能最大化你的勝率。這曾經是《賭場》一集（從未播出）中的情況，儘管不限於等額投注。當時有人向我諮詢，如何在普通遊戲和 1,000 美元的起始資金下，最大化贏得 4,000 美元的勝率。我讓他們在過線投注 100 美元，然後在擲骰子遊戲中在賠率投注 900 美元。不幸的是，我們輸了。如果我們贏了那次投注，我會讓他們下注足夠的金額，以達到 4,000 美元的目標。

然而，如果考慮到樂趣，你可以透過長時間的小額投注獲得更多收益。如果你只是想盡量減少預期損失，那就乾脆別玩了。

最近一篇文章透露，北卡羅來納大學首發控球後衛泰·勞森曾說過：「我唯一輸過一次是在裡諾；當時隊裡所有人都輸了，」他說。 “那是我唯一輸過的地方。另外五六次我賭博，至少贏了500美元。”

Ben 來自 Austin, TX

如果我們忽略賭場優勢（如果玩得好，賭場優勢在擲骰子遊戲中非常低），那麼贏 500 美元而不是輸 1000 美元的機率是 2/3。那麼 5 次遊戲贏 4 次的機率就是 5×(2/3) ⁴ ×(1/3) = 32.9%。