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巫師 推薦

請問巫師 #226

已知球隊A每次⽐賽平均得到1.5分, 球隊B每次⽐賽平均得到1.2分, AB兩 隊⽐賽的機會如何:

1) A得分超過B
2) B得分超過A
3) ⽐賽以和局結束。

所提供的資訊⾜以計算每次結果的機率嗎?

Dimitar from Sophia, Bulgaria

個別分數應該不是有關聯、不應納⼊計算, ⽽每⼀⽀球隊個別的分數與平 均分數同樣重要。如果我們可以假設1.5與1.2為⽐賽的期望得分, 考慮攻 ⽅與守⽅兩隊, ⽽我們忽略掉相關的因素, 那麼我們能夠得到不錯的估算值 在你的三種機率上。Super Bowl超級盃有許多像是這樣的⽐例, 但是基於 誰將會有更多的touchdowns達陣的分、field goals射⾨得分、 interceptions攔截等等。

第⼀步是運⽤Poisson distribution波以松分佈去估計每隊每次得分的機 率。通⽤的機率公式為 ⼀個球隊有g次得分, 平均為m, 亦即 e-m × mg/g!. 在Excel, 你可以套⽤公式 poisson(g,m,0). 以下的列表顯⽰針對兩⽀球隊0 到10次得分的機率, 運⽤這個公式。

每⽀球隊0到8次得分的機率

得分次數 球隊A 球隊B
0 0.223130 0.301194
1 0.334695 0.361433
2 0.251021 0.216860
3 0.125511 0.086744
4 0.047067 0.026023
5 0.014120 0.006246
6 0.003530 0.001249
7 0.000756 0.000214
8 0.000142 0.000032

下⼀步相當乏味, 但是你必須做出每⽀球隊0到8次得分的81種可能組合的 matrix矩陣。這是將機率乘上球隊A的x得分、球隊B的y得分, 從以上列表 的數值。以下的列表顯⽰每種得分組合從0-0到8-8的機率。

合併兩⽀球隊的機率Expand

球隊A得分次數 球隊B得分次數
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.067206 0.080647 0.048388 0.019355 0.005807 0.001394 0.000279 0.000048 0.000007
1 0.100808 0.120970 0.072582 0.029033 0.008710 0.00209 0.000418 0.000072 0.000011
2 0.075606 0.090727 0.054436 0.021775 0.006532 0.001568 0.000314 0.000054 0.000008
3 0.037803 0.045364 0.027218 0.010887 0.003266 0.000784 0.000157 0.000027 0.000004
4 0.014176 0.017011 0.010207 0.004083 0.001225 0.000294 0.000059 0.000010 0.000002
5 0.004253 0.005103 0.003062 0.001225 0.000367 0.000088 0.000018 0.000003 0
6 0.001063 0.001276 0.000766 0.000306 0.000092 0.000022 0.000004 0.000001 0
7 0.000228 0.000273 0.000164 0.000066 0.000020 0.000005 0.000001 0 0
8 0.000043 0.000051 0.000031 0.000012 0.000004 0.000001 0 0 0

下個列表顯⽰根據每種得分組合的贏家, T代表tie和局。

合併兩⽀球隊的贏家

球隊A得分次數 球隊B得分次數
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 T B B B B B B B B
1 A T B B B B B B B
2 A A T B B B B B B
3 A A A T B B B B B
4 A A A A T B B B B
5 A A A A A T B B B
6 A A A A A A T B B
7 A A A A A A A T B
8 A A A A A A A A T

最後, 你可以運⽤Excel的sumif函數去加總相關的欄位、針對所有三種可 能的押注結果。在這個案例的機率為:

A隊贏 = 44.14%
B隊贏 = 30.37%
和局 = 25.48%

附錄C在Stanford Wong所著的 Sharp Sports Betting精準運動簽賭 給出像 這類 贏/輸/和 的押注機率。針對這個例⼦, 他列出44%, 30%, 25%. 如果 任何⼈知道關於這種問題的簡單公式, 願聞其詳。

再接再厲: 我收到來⾃Bob P.的⼀封電郵, 每次有數學議題他總會緊盯在 後。這裡是他所寫的.

檢視不相關的2個Poissons分佈。它是a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Skellam_distribution" target=_blank>Skellam(對我來說是新詞)。

反正, 這個問題可以標⽰為 P(Z=0), P(Z>0), P(Z<0), Z為Skellam的參數 1.5 與 1.2.

如果你還沒做過的話, 你應該很樂意知道

P(Tie) = P(Z=0) = .254817

P(A beats B) = P(Z>0) = .441465

P(B beats A) = P(Z<0) = 1 - .254817 - .441465 = .303718

幾乎就是你的答案。

輸⼊Skellam的維基百科有提到 Bessel functions⾙索函數, 那是我很怕再 算下去的部分。所以, 我就摘錄Bob的話語來總結這個命題。