請問巫師 #226
我發現一家線上賭場有兩個有趣的二十一點規則。第一條是，玩家21點對抗莊家21點時，玩家將平手。第二條是，二十一點平手時，賠率為3比2。這些規則對賭場優勢有什麼影響？
基於六副牌，我證明，如果玩家持有21點，而對手是黑傑克，賭場優勢會降低0.37%。如果玩家持有黑傑克，賠率為3比2，賭場優勢會降低0.32%。無需調整策略。
關於您關於NBA投注的頁面，我有一個後續問題。您提到一分淨勝的機率很低。根據機率法則，這合乎邏輯嗎？根據basketball-reference.com的數據，球隊的最佳球員通常兩分球命中率為60%，三分球命中率為40%。因此，在我看來，教練應該選擇立即投進三分球（這樣就有40%的勝率），而不是選擇30%的兩分球勝率（命中率60%，加時賽獲勝率50%）。
這或許可以抵消一個因素：在比賽最後幾秒鐘嘗試兩分球，你更有可能被犯規，輕鬆拿下兩分。但即便如此，最優秀的罰球手的罰球命中率也高達85%左右，這意味著兩次罰球命中的機率為72%，其次是加時賽獲勝的機率為50%，總計36%。你對此有何看法？
希望你開心。我對籃球規則和策略的了解很薄弱，所以我問了一些比我強的朋友，每次得到的答案都不一樣。有些答案甚至截然相反。我從討論中得出了兩個結論：(1) NBA 的整體投籃命中率大概在 50% 左右（來源）；(2) 投兩分球時，投手有可能被犯規，但最終還是會投中。抱歉，我只能給更準確的答案了。
我和妻子都是老虎機的常客，我們注意到，每當賭場引進新的老虎機時，「好彩」或中獎的賠付，或者獎勵遊戲的出現頻率似乎會更高。一旦遊戲“吸引你”，它就會像關門大吉一樣，中獎和獎勵回合也會減少。賭場可以合法控制老虎機的中獎金額或進入獎勵回合的次數嗎？
如果你的意思是賭場在你玩遊戲的時候就改變遊戲賠率，那我只能說這只是個傳說。要改變遊戲賠率，老虎機製造商必須打開遊戲並更換EPROM晶片。對於伺服器遊戲，由於可以遠端操作，因此規定必須暫停遊戲一段時間才能進行任何更改。
如果你的意思是賭場會在最初幾天把老虎機的設定放寬一些，以吸引新玩家，然後把EPROM的設定改得更嚴格，那我也不同意。這種做法很容易做到，而且合法，但我對此表示懷疑。我在老虎機調查中發現，任何一家賭場對老虎機的設定都相當一致。
已知球隊A每次⽐賽平均得到1.5分, 球隊B每次⽐賽平均得到1.2分, AB兩 隊⽐賽的機會如何:
1) A得分超過B
2) B得分超過A
3) ⽐賽以和局結束。
所提供的資訊⾜以計算每次結果的機率嗎？
個別分數應該不是有關聯、不應納⼊計算, ⽽每⼀⽀球隊個別的分數與平 均分數同樣重要。如果我們可以假設1.5與1.2為⽐賽的期望得分, 考慮攻 ⽅與守⽅兩隊, ⽽我們忽略掉相關的因素, 那麼我們能夠得到不錯的估算值 在你的三種機率上。Super Bowl超級盃有許多像是這樣的⽐例, 但是基於 誰將會有更多的touchdowns達陣的分、field goals射⾨得分、 interceptions攔截等等。
第⼀步是運⽤Poisson distribution波以松分佈去估計每隊每次得分的機 率。通⽤的機率公式為 ⼀個球隊有g次得分, 平均為m, 亦即 e-m × mg/g!. 在Excel, 你可以套⽤公式 poisson(g,m,0). 以下的列表顯⽰針對兩⽀球隊0 到10次得分的機率, 運⽤這個公式。
每⽀球隊0到8次得分的機率
| 得分次數 | 球隊A | 球隊B |
| 0 | 0.223130 | 0.301194 |
| 1 | 0.334695 | 0.361433 |
| 2 | 0.251021 | 0.216860 |
| 3 | 0.125511 | 0.086744 |
| 4 | 0.047067 | 0.026023 |
| 5 | 0.014120 | 0.006246 |
| 6 | 0.003530 | 0.001249 |
| 7 | 0.000756 | 0.000214 |
| 8 | 0.000142 | 0.000032 |
下⼀步相當乏味, 但是你必須做出每⽀球隊0到8次得分的81種可能組合的 matrix矩陣。這是將機率乘上球隊A的x得分、球隊B的y得分, 從以上列表 的數值。以下的列表顯⽰每種得分組合從0-0到8-8的機率。
下個列表顯⽰根據每種得分組合的贏家, T代表tie和局。
合併兩⽀球隊的贏家
| 球隊A得分次數 | 球隊B得分次數 | ||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 0 | T | B | B | B | B | B | B | B | B |
| 1 | A | T | B | B | B | B | B | B | B |
| 2 | A | A | T | B | B | B | B | B | B |
| 3 | A | A | A | T | B | B | B | B | B |
| 4 | A | A | A | A | T | B | B | B | B |
| 5 | A | A | A | A | A | T | B | B | B |
| 6 | A | A | A | A | A | A | T | B | B |
| 7 | A | A | A | A | A | A | A | T | B |
| 8 | A | A | A | A | A | A | A | A | T |
最後, 你可以運⽤Excel的sumif函數去加總相關的欄位、針對所有三種可 能的押注結果。在這個案例的機率為:
A隊贏 = 44.14%
B隊贏 = 30.37%
和局 = 25.48%
附錄C在Stanford Wong所著的 Sharp Sports Betting精準運動簽賭 給出像 這類 贏/輸/和 的押注機率。針對這個例⼦, 他列出44%, 30%, 25%. 如果 任何⼈知道關於這種問題的簡單公式, 願聞其詳。
再接再厲: 我收到來⾃Bob P.的⼀封電郵, 每次有數學議題他總會緊盯在 後。這裡是他所寫的.
檢視不相關的2個Poissons分佈。它是a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Skellam_distribution" target=_blank>Skellam(對我來說是新詞)。反正, 這個問題可以標⽰為 P(Z=0), P(Z>0), P(Z<0), Z為Skellam的參數 1.5 與 1.2.
如果你還沒做過的話, 你應該很樂意知道
P(Tie) = P(Z=0) = .254817
P(A beats B) = P(Z>0) = .441465
P(B beats A) = P(Z<0) = 1 - .254817 - .441465 = .303718
幾乎就是你的答案。
輸⼊Skellam的維基百科有提到 Bessel functions⾙索函數, 那是我很怕再 算下去的部分。所以, 我就摘錄Bob的話語來總結這個命題。
擲兩顆骰子，直到總數為 12 或連續兩次總數為 7。首先擲出 12 的機率是多少？
答案和解決方案可以在我的配套網站mathproblems.info問題 201 上找到。