請問巫師 #220
保羅‧馬格里爾的《西洋雙陸棋》 ：如果說西洋雙陸棋有一本聖經，那一定是這本了。我驕傲地擁有一本老精裝版。這本書會是很好的入門書。雖然這本書寫於1976年，但其中的建議仍然適用。
比爾羅伯蒂的《501道西洋雙陸棋基本題》 ：多年來我一直想通讀這本書，但到現在才完成了一半。一半的題目都答錯，真是令人沮喪，甚至讓我覺得自己玩西洋雙陸棋就像打高爾夫一樣糟糕。然而，每錯一道題，都蘊藏著寶貴的經驗教訓。對中高級棋手來說，這本書是一本寶貴的學習工具，能讓人謙卑下來。
Snowie 西洋雙陸棋軟體：我每年用它下大約1000盤。 Snowie 不僅棋藝近乎完美，還能精準地告訴你失誤的代價有多大。它還有很多我從未探索過的功能。如果我從 Snowie 身上學到了什麼，那就是我最大的問題在於，有時我看不清明顯的走法，因而犯下愚蠢的錯誤。就像下棋一樣，一步錯棋就能毀掉一百步好棋。
Motif 網址：在購買 Snowie 之前，我和 Motif 打過無數盤。在我看來，Motif 的策略非常紮實。沒有什麼比與更強大的對手比賽更能提升自己的水準了。
玩家A：10,000美元
玩家B：8,000美元
玩家C：3,500美元
讓我們從玩家C開始。他應該預期，如果B猜對了，A可能會下注6001美元，以保持領先於B。然而，如果A猜錯了，他的籌碼就會降到3,999美元。在這種情況下，C需要至少下注500美元，並且猜對了，才能擊敗A。然而，在我看來，如果必須猜對才能贏，不妨下大注。所以，如果我是CI，我會孤注一擲。
B 左右為難，不知道該押大還是押小。小額投注應該不超過 999 美元，這樣才能在 C 正確的情況下保持高於 C 的賠率。小額投注的好處是，無論怎樣，都能保持在 C 之上，希望 A 押大，但結果卻是錯的。大額投注不一定要押全，但也有可能。大額投注的好處是，希望 A 押小，或押大但結果卻是錯的，但兩者都需要 B 正確。
A 基本上想和 B 走同一條路。 A 的小額投注可以是 0 美元到 1000 美元之間的任何金額，如果 B 下注 999 美元，A 的投注額就會高於 B 的投注額。大額投注應該是 6001 美元，這樣既能保證 A 猜對了就能贏，又能在 B 下大注，而其他三位玩家都猜錯的情況下保住勝算。
為了幫助計算正確和錯誤答案的八種可能結果的機率，我查看了 j-archive.com（現已停用）上第 20 季至第 24 季的《危險邊緣》最終結果。結果如下：玩家 A 領先，其次是玩家 B，C 墊底。
《最終危險》的可能結果
| 玩家A | 玩家B | 玩家C | 可能性 |
| 正確的 | 正確的 | 正確的 | 21.09% |
| 正確的 | 正確的 | 錯誤的 | 9.73% |
| 正確的 | 錯誤的 | 正確的 | 10.27% |
| 錯誤的 | 正確的 | 正確的 | 8.74% |
| 正確的 | 錯誤的 | 錯誤的 | 13.33% |
| 錯誤的 | 正確的 | 錯誤的 | 10.27% |
| 錯誤的 | 錯誤的 | 正確的 | 8.63% |
| 錯誤的 | 錯誤的 | 錯誤的 | 17.92% |
使用我在我的網站mathproblems.info上的問題 192 中解釋的博弈論邏輯，我發現 A 和 B 應該如下隨機化他們的策略。
玩家 A 應該下大注的機率為 73.6%，下小注的機率為 26.4%。
玩家 B 應該以 67.3% 的機率下大注，以 32.7% 的機率下小注。
玩家 C 應該以 100.0% 的機率下大賭注。
如果遵循此策略，每位玩家獲勝的機率如下：
玩家A：66.48%
玩家B：27.27%
玩家C：6.25%
順便說一句，根據上表，領先者答對《最終危險邊緣》的機率為 54.4%，第二名玩家為 49.8%，第三名玩家為 48.7%。總體機率為 51.0%。
從實際操作上講，玩家確實了解投注行為。在我看來，玩家下注的次數往往超出了數學上的合理範圍。有趣的是，我發現在“每日雙倍”節目中投注過於保守，超出了數學上的合理範圍。我認為肯詹寧斯之所以表現如此出色，原因之一就是他在“雙倍雙倍”節目中下注激進。總之，如果我真的上節目，我會假設其他兩位玩家也會下注激進。所以我實際的投注金額是：A 下注 6000 美元（對 B 友善），B 下注 0 美元，C 下注 3495 美元（留一點未下注金額，以防 A 愚蠢地押上所有金額或只剩 1 美元，結果錯了）。
在有人向我提問如何在實際場地中抽取隨機數字之前，讓我先建議一下斯坦福·黃 (Stanford Wong) 的策略，即使用手錶的秒針從 1 到 60 中抽取一個隨機數。