請問巫師 #215
在2008年世界撲克大賽中，萬淵元之的四A被賈斯汀·菲利普的皇家同花順擊敗。我有一個關於這種情況發生的機率的簡單問題。 ESPN和其他媒體稱，發生這種情況的機率約為27億分之一。在我看來，他們只是把公佈的四A出現的機率乘以皇家同花順出現的機率。這是正確的計算方法嗎？
我也不同意27億分之一這個數字。正如你所說，他們似乎獨立計算了每個玩家的機率，只針對兩個玩家都使用底牌的情況，然後相乘。用這種方法，我得到的機率是0.000000000341101，大約是29億分之一。也許27億分之一這個機率也涉及到兩個玩家機率的捨入誤差。他們顯然也忘了把機率乘以2，原因我稍後會解釋。
四張 A 輸給同花大順有以下三種可能情況。
情況 1：一名玩家有兩張同花大順，另一名玩家有兩張 A，並且牌面上有另外兩張 A、另外兩張同花大順牌以及任何其他牌。
例子：
玩家 1：
玩家 2：
木板： 
在大多數撲克室裡，要贏得爆冷大獎，贏家和輸家都必須用掉兩張底牌。影片裡的爆冷也屬於這種類型；事實上，這些牌型也正是爆冷的。
情境 2：一位玩家有兩張同花大順 (TK)，另一位玩家有一張 A 和一張「空白」牌，並且牌面上有另外三張 A 和另外兩張同花大順牌。
例子：
玩家 1：
玩家 2：
木板： 
情境 3：一位玩家有一張同花大順 (TK) 和一張空白牌，另一位玩家有兩張 A，並且牌面上有另外兩張 A 和另外三張同花大順的牌。
例子：
玩家 1：
玩家 2：
木板：
下表顯示了玩家和棋盤每種情況的組合數。右下角單元格顯示組合總數為 16,896。
壞節拍組合
| 案件 | 玩家 1 | 玩家 2 | 木板 | 產品 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 3 | 四十四 | 3,168 |
| 2 | 24 | 132 | 1 | 3,168 |
| 3 | 704 | 3 | 1 | 2,112 |
| 全部的 | 8,448 |
然而，即使我們把兩位玩家的牌都反過來，仍然可能出現爆牌。所以，我們應該將組合數乘以2。調整後，總有效組合數為2 × 8,448 = 16,896。
雙人德州撲克所有組合的總數為( 52,2) × (50,2) × (48,5) = 2,781,381,002,400。因此，四張 A 輸給同花大順的機率為 8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747，約為 1.65 億分之一。單次爆冷的機率為 4.39 億分之一。賠率沒有影片中報道的那麼低，原因很簡單，因為兩手牌有重疊，共用一張 A。換句話說，這兩個事件呈正相關。
根據《揭露紐約視訊撲克的真相》一文，您說得完全正確。玩家的結果確實是命中註定的。無論玩家持有什麼牌，都無法逃脫命運的安排。如果玩家試圖故意逃避命運，遊戲會使用守護天使功能來修正玩家的錯誤。我完全同意作者的觀點，這類遊戲應該警告玩家，他們玩的不是真正的視訊撲克，賠率表只是玩家實際賠率的無意義衡量標準。另外，也要注意的是，這類假視訊撲克機並非紐約獨有。
我常用你們的網站，謝謝！我在大西洋城的Borgata賭場發現了一個新的賠率表，是《Let It Ride》遊戲中三張牌獎金投注的。他們最近才推出這個功能，以至於荷官都記不住新的賠率了。以下是新的賠率表：
迷你皇家：50比1
同花順：40比1
三張同點牌：30比1
順子：6比1
同花：4比1
對：1比1
我很好奇它對整體賭場優勢有何影響。
對於附加賭注來說，這還不錯。我計算了一下，賭場優勢是2.14%。
嗨，巫師，我偶然發現了一家新的線上賭場，決定嘗試一下。我在他們的擲骰子賭桌上玩，發現在20次擲骰子中，場地投注輸了16次，只贏了4次。擲骰子的順序是這樣的：L6，W1，L1，W1，L1，W1，L2，W1，L6。我知道這只是一個小樣本，但這足以用來評估這家新賭場是否合法嗎？
在 n 個可能事件中，機率為 p 的事件發生 x 次的機率為(n,x) × p x × (1-p) (nx) 。在本例中，p=4/9，x=4，n=20。以下是所有可能投擲的場地次數（共 20 次）的機率：
壞節拍組合
| 勝利 | 可能性 |
|---|---|
| 0 | 0.000008 |
| 1 | 0.000126 |
| 2 | 0.000954 |
| 3 | 0.004579 |
| 4 | 0.015567 |
| 5 | 0.039851 |
| 6 | 0.079703 |
| 7 | 0.127524 |
| 8 | 0.165782 |
| 9 | 0.176834 |
| 10 | 0.155614 |
| 11 | 0.113174 |
| 12 | 0.067904 |
| 十三 | 0.033430 |
| 14 | 0.013372 |
| 15 | 0.004279 |
| 16 | 0.001070 |
| 17 | 0.000201 |
| 18 | 0.000027 |
| 19 | 0.000002 |
| 20 | 0.000000 |
| 全部的 | 1.000000 |
0比4的機率是2.12%。所以，在公平的比賽中，這種情況很容易發生。
感謝您收集的這些有趣的數學謎題。我和我的女朋友想出了這個海盜謎題的變體。如果所有海盜的等級相同，並且每回合都透過抽籤決定分配方案的提議者，會怎麼樣？在這個變種中，假設每個海盜的首要任務是最大化他預期獲得的金幣數量。我找到了我認為的答案，但也許你想先嘗試一下。再次感謝。
不用客氣。如果只剩下兩個海盜，那麼被選中提出建議的那個海盜就沒希望了，因為另一個海盜會投反對票。被抽中的那個海盜會得到零分，另一個海盜則會得到全部1000分。所以，在抽籤之前，剩下兩個海盜的預期價值是500個硬幣。
在三海盜階段，抽到的海盜應該建議給其他海盜中的一位501，給自己499。抽到501的海盜會投贊成票，因為它比投反對票的預期值500還要高。抽獎前，剩下三位海盜，你分別有1/3的機率得到0、499或501枚硬幣，平均333.33枚。
在四海盜階段，抽到的海盜應該選擇將 334 枚硬幣給其他任兩名海盜，並給自己 332 枚。這樣一來，他就能從獲得 334 枚硬幣的海盜那裡獲得兩票“贊成”，因為他們寧願要 334 枚硬幣，也不願要 333.33 枚。算上你自己的一票，你將獲得 4 票中的 3 票。抽籤前，每位海盜的期望值是 0、334、334 和 332 的平均值，即 1000/4=250。
依照同樣的邏輯，在五個海盜的階段，抽到的海盜應該選擇給任兩個海盜251，給自己498。與原題不同，這裡不需要倒推。只需用硬幣數量除以海盜數量（不包括你自己）。然後把一半的海盜（向下取整）的平均值加上一枚硬幣。