請問巫師 #207
永利邀請我參加一場老虎機錦標賽，獎金結構如下。
第一名：100萬美元
第二名：15萬美元
第3-6名：25,000美元
第七至第八名：2萬美元
第 9 至第 50 名：5,000 美元
比賽費用為2.5萬美元，參賽人數限制為50人。很容易看出預期獎金為3萬美元。然而，這筆錢的贏面非常小。根據凱利準則，參賽資金要求是多少才算合理？
凱利近似值是用優勢除以變異數。可能的結果分別是贏得投注金額的39倍、5倍、0倍、-0.2倍和-0.8倍。優勢為 (1/50)×39 + (1/50)×5 + (4/50)×0 + (2/50)× -0.2 + (42/50)× -0.8 = 0.2。
變異數為 預期(勝率2 ) - (預期(勝率)) 2 = (1/50)×39 2 + (1/50)×5 2 + (4/50)×0 2 + (2/50)× -0.2 2 + (42/50)×-0.8 2 − 0.2 29 = 29
因此，近似最優凱利投注金額是0.2/31.492 = 0.0063655乘以資金。若全額投注25,000美元，所需資金應為25,000美元/0.0063655 = 3,927,400美元。
然而，對於像這樣的大投注，我認為值得花時間去尋找精確的最優凱利投注。接下來，找到投注額 b，使錦標賽結束後資金的預期對數最大化，如下所示。
錦標賽後資金對數 = (1/50)*log(1) + (2/50)*log(1-0.2×b) + (42/50)*log(1-0.8×b)
沒有簡單的方法可以計算出 b 的值。我個人推薦使用 Excel 中的「目標搜尋」功能。答案是 0.0083418。因此，準確的凱利投注應該是你資金的 0.0083418 倍。為了證明 25,000 美元的入場費是合理的，你的資金應該是 25,000 美元/0.0083418 = 2,996,937 美元。
我太喜歡你的網站了。我對策略和機率的討論和對賭博的熱愛絲毫不遜色，甚至超過了對賭博本身的熱愛！最近我在聖路易斯一家賭場玩了六副牌的二十一點。一副牌發完後，牌被放回了自動洗牌機，這意味著少了一張牌。荷官繼續發下一副牌，同時現場工作人員檢查了放回的牌。這副牌發完後，在另一副牌未發的部分找到了上一副牌中遺失的那張牌（一張K）。
假設這張K是底牌，並且留在洗牌機裡，那麼它應該在第一個牌盒裡發揮作用（切牌的位置在牌堆的後部）。這個錯誤讓莊家比我多贏了多少？
謝謝你的讚美。我假設莊家拿到軟17，並在允許分牌後加倍。根據Don Schlesinger在《Blackjack Attack》一書中的D17表，每副牌去掉一張10會讓賭場優勢增加0.5512%。如果用六副牌來算，除以六，賭場優勢就會增加0.09%。
我想請教一下關於二十一點優惠券的問題。據我了解，優惠券的規則是，任何贏利均可翻倍，最高可達25美元，而且可以隨時出示。如果我下注16.50美元，等到出現二十一點時再使用，優惠券將使24.75美元的二十一點贏利翻倍。或者我應該下注25美元，然後在第一次贏利時用這筆錢？兩種方式的預期損失是多少？假設賭場優勢為0.64%。
首先，讓我們計算一下如果您下注 16.50 美元，並等到莊家拿到黑傑克後使用優惠券的預期損失。玩家拿到黑傑克的機率是 A 的數量 × 十的數量 / 從牌盒中的 312 張牌中選擇兩張牌的組合方式。即 24×96/ combin (312,2) = 0.0474895。如果你們兩個都拿到黑傑克，優惠券就沒用了。假設玩家拿到黑傑克，莊家拿到黑傑克的機率是 23×95/combin(310,2) = 0.045621。因此，玩家拿到黑傑克的機率是 0.0474895 * (1-0.045621) = 0.045323，也就是 22.06 手牌拿到一次。因此，如果您以每手 16.50 美元的價格玩 22.06 手牌，則預期損失為 22.06 × 16.50 × .0064=2.33 美元。
接下來，讓我們計算一下如果你下注 25 美元，並等到第一次贏錢後再使用優惠券，預期損失是多少。任何贏錢的機率都是 42.42%，正如我在二十一點附錄 4中提到的。由於分牌比較複雜，這個統計數據並不完全適用於這種情況，但也夠接近了。因此，想要贏錢，預期需要玩的手牌數量是 1/0.4242 = 2.36。下注 2.36 手，每手 25 美元的預期損失是 2.36 × 25 × 0.0064=0.38 美元，比等待二十一點的成本低 84%。
最近兩次去百家樂賭桌玩，結果明顯偏向玩家。請告訴我，這些結果是否在莊家和閒家預期結果的兩個標準差範圍內。我已經排除了平局牌。
第一節
玩家獲勝次數：282
莊家獲勝：214
第二場
玩家獲勝次數：879
莊家贏：831
從我的百家樂頁面，我們看到通常的 8 副牌遊戲中的機率是：
銀行家：45.86%
玩家：44.62%
平手：9.52%
忽略平局，莊家和玩家的機率為：
銀行家：45.68%/(45.68%+44.62%)=50.68%。
玩家：44.62%/(45.68%+44.62%)=49.32%。
第一場的總手數為282+214=496手。第一場的預期玩家勝率是49.32%×496=244.62。實際勝率282比預期高出282-244.62=37.38。
一連串勝負事件的變異數為 n × p × q，其中 n 為樣本量，p 為勝率，q 為負率。在本例中，變異數為 496 × 0.5068 × 0.4932 = 123.98。標準差為其平方根，即 11.13。因此，玩家總勝率超出預期 37.38/11.13 = 3.36 個標準差。結果出現偏差或更大偏差的機率為 0.000393，即 2,544 分之一。
使用樣本 II 的數學方法，機率為 0.042234。如果將兩個樣本合併為一個，機率為 0.000932。約 0.1% 不足以構成「絕對存在玩家偏見」。如果您仍然認為遊戲不公平，我建議您收集更多數據，以獲得更大的樣本量。
一位同事信誓旦旦地說，他媽媽玩視訊撲克已經連續贏了25年了。她每年去拉斯維加斯四次，每次都能以400美元的買入費至少贏1000美元。他說她通常能贏1萬美元。他對我缺乏對她運氣的信心感到不滿。他想跟我打賭，四個小時後他媽媽一定會贏。我應該接受這個等額賭注嗎？
只要她以穩定的速度平注，當然可以接受。要嘛她用了某種毫無價值的累進策略，要嘛這只是二手的誇大其詞。這讓我不禁思考，你朋友這邊的最佳牌局數是多少。假設牌型是9/6 J或更好，並且採用最佳策略，那麼在136手牌時，領先的機率最大，即39.2782%。