請問巫師 #196

我認為，如果遵循凱利準則，視訊撲克優勢玩家有時應該偏離最佳策略。在邊緣牌局中，我認為凱利準則可能傾向於選擇波動性較小的玩法，即使回報率較低，但我實在想不出具體的例子。您怎麼看？

Scott E. 來自 New York

我同意！正如我在凱利準則部分所討論的，任何具有玩家優勢的投注，都存在一個最佳投注額，以平衡風險和回報。對於運氣一般的玩家來說，投注精確的凱利金額將帶來最大的資金成長。

例如，在全額賠付的Deuces Wild遊戲中，回報率為100.76%，每手牌的最佳下注額是資金總額的0.03419%。如今，如果你能找到全額賠付的Deuces Wild，可能只有25美分的面值，但如果你可以下注任意金額，那麼總資金的0.03419%將是長期資金增長的最佳金額。對於資金總額為3,656美元的玩家來說，四分之一面值的遊戲是完美的凱利下注額。

正如我在凱利公式部分所討論的，最佳下注金額是使下注後資金預期對數最大化的金額，我將其稱為凱利效用。通常，凱利效用最大化是透過採取最佳策略來實現的。然而，一個例外是五張3到9的牌，以及三張2。具體來說，我們來看看22277。只保留2的預期值為15.057354，而保留五張同點牌的預期值始終恰好為15。

下表顯示了持有三張2點牌的常規期望值和凱利效用。任何給定牌型的凱利效用為p*log(1+0.0003419*w)，其中p是機率，w是勝率。

玩家持有三張 2

手	支付	組合	可能性	返回	凱利實用工具
四張 2	200	46	0.042553	8.510638	0.001222
野生皇家	二十五	40	0.037003	0.925069	0.000137
五張相同的牌	15	67	0.06198	0.929695	0.000138
同花順	9	108	0.099907	0.899167	0.000133
四條	5	820	0.758557	3.792784	0.000563
全部的		1081	1	15.057354	0.002193

下表顯示了持有五張相同牌型的相同數字。

玩家持有五張同花

手	支付	組合	可能性	返回	凱利實用工具
四張 2	200	0	0	0	0
野生皇家	二十五	0	0	0	0
五張相同的牌	15	1	1	15	0.002222
同花順	9	0	0	0	0
四條	5	0	0	0	0
全部的		1	1	15	0.002222

您可以看到，凱利實用公式中，保留五條的機率更高，為 0.002222 比 0.002193。對於這手牌，根據凱利公式，對於資金不超過 13,290 美元的玩家，或者對於資金不超過 $16,613 美元的四分之一玩家，保留五條是正確的打法。

正如我所說，對於採用最佳策略的玩家來說，最佳凱利下注額是資金總額的0.03419%。對於採用最佳策略的玩家（除了保留22233到22299的牌面）來說，最佳下注額是資金總額的0.03434%。對於採用最佳策略的玩家來說，每次下注的資金成長率為0.0002605%。對於採用凱利下注額的玩家來說，每次下注的資金成長率為0.0002615%。對於採用最佳策略並採用凱利下注額的玩家來說，每40,000手牌的資金預期增長率為10.98%。而對於採用保守策略並保留22233到22299的牌面並基於該策略採用凱利下注額的玩家來說，每40,000手牌的資金預期增長率為11.03%。

所以，我堅持認為，在某些情況下，你確實應該違背最佳策略，採取更保守的策略。我只是希望羅布·辛格不會聽說這件事。

昨晚玩的時候，一位老玩家，一個狡猾、邋遢、好鬥的老玩家，在翻牌圈挑戰賭桌，想做等額的邊注。這位老頑固押注翻牌圈的三張牌中會有一張是A、2或J（有時他會把這三張可識別的牌換掉）。這個賭注的賠率是多少？非常感謝您的智慧。

anonymous

在翻牌圈未出現任何牌型的情況下，任三個點數不出現在翻牌圈的機率為： combin (40,3)/combin(52,3) = 9880/22100 = 44.71%。所以這名玩家的優勢是 10.59%。

巫師，你覺得拉斯維加斯金銀島賭場目前正在使用的新型「基於伺服器」的老虎機怎麼樣？顯然，這項技術允許賭場在後台即時更改機器——包括提供的遊戲、面額，以及……派彩！我覺得這有點誇張。我的意思是，如何才能阻止賭場針對某些玩家（例如醉酒的豪賭客）並使其更難贏錢？我們都知道，賭場幾乎可以隨時監視任何他們想監視的玩家。監控加上現在這項技術，似乎讓賭場佔太多了。假設一位賭桌玩家與荷官或賭場經理就一手牌發生激烈爭執（這種情況偶爾會發生）；現在這位玩家去玩老虎機，賭場可以透過減少他的機器派彩來報復他？！當然，他們也可能「偏袒」某些玩家……這可能同樣危險。我完全贊成允許改變遊戲和麵額，但在支付百分比方面監管機構不應該參與嗎？？？

Gary 來自 Charolotte, NC

我問了一位在一家使用這項技術的賭場工作的消息人士。除了金銀島賭場外，加州、密西根州和密西西比州的賭場也使用了這項技術。他是這樣說的：

如果遊戲中有積分，則無法更改任何內容。當計量器上有積分時，老虎機將始終拒絕任何發送的變更。在內華達州，機器在進行任何更改之前和之後都必須閒置四分鐘。對於站在老虎機前的任何人來說，這也不是完全透明的。會彈出一個黑色窗口，顯示「遠端配置正在進行中」（或類似內容）。

我們主要用它來更改遊戲中可用的面額。就像賭場繁忙時，賭桌遊戲會提高最低投注額一樣，我們會在周五早上移除較低面額的投注，並在周一早上恢復。

所以，請放心，老虎機經理不會因為不喜歡你而限制你的遊戲。只要你在遊戲中有信用，就不會改變任何事。

最近我去了查爾斯鎮賽馬場和老虎機賭場，賭肯塔基賽馬會。一位西班牙裔男子在老虎機上贏了6000美元，似乎遇到了身份問題。我在賭場待了大約一個小時。出門時碰到他，他仍然站在機器旁，似乎仍然有問題。我的問題是，如果他沒有身分證件（無論是什麼原因），他還能拿到獎金嗎？這家賭場位於西維吉尼亞州。如果非法入境者已經下注，相關法規會禁止他下注或贏錢嗎？

John 來自 Ellicott City, MD

我把這則訊息轉發給了 Brian，他曾經是一名博彩監管員，現在是一名賭場經理。他是這樣說的：

賭場不會知道有人非法入境。如果他持有有效護照，累積獎金就會兌現。非法入境者可能不知道這一點，感到害怕，或沒有有效身分證件出示。每當有人贏得 1,200 美元或以上時，出於稅務目的，需要出示身分證件。如果有人沒有身分證，累積獎金就會被扣留在箱子裡，等著他們去領取。在大多數情況下，該人確實忘記了身分證；然而，有時你會遇到問題，例如未成年人在賭博。如果他沒有領取，這筆錢就必須重新計入收入，因為扣除額（累積獎金）從未支付過，或者存在遺棄財產規則。此外，與美國一樣，大多數國家都對全球收入徵稅。為此，美國與多個國家簽訂了稅收協定，規定扣留或通知相關政府在美國贏得的獎金，這樣山姆大叔總能分得一杯羹。

在55,088手牌中，我2,787次拿到對子進入翻牌圈。在這2,787手牌中，我273次拿到了暗三條。這和預期結果如何？

Linus 來自 Alingsås, Sweden

對於可能不了解情況的讀者，我來解釋一下，「暗三條」是指翻牌後出現的三張同點牌，包括一對底牌。不組成暗三條的機率是 (48+combin(48,3))/combin(50,3) = 17,344/19600 = 88.49%。因此，組成暗三條的機率是 11.51%。在 2,787 對牌中，你應該組成暗三條 320.8 次。因此，你比預期少組成了 47.8 次暗三條。變異數為 n × p × (1-p)，其中 n = 手牌數，p = 組成暗三條的機率。在本例中，變異數為 2,787 × 0.1176 × 0.8824 = 283.86。標準差是此變異數的平方根，即 16.85。因此，你比預期少了 47.8/16.85 = 2.84 個標準差。運氣這麼差或更差的機率可以在任何標準常態分佈表中找到，或者在 Excel 中以 norsdist(-2.84) = 0.002256 或 443 分之一來表示。