請問巫師 #145
我的問題是關於一個被稱為“雙信封悖論”的問題。你正在參加一個遊戲節目。你面前有兩個信封，每個信封裡都裝著未知的現金。你被告知其中一個信封裡的錢是另一個信封的兩倍。現在你被要求選擇一個信封。你選了一個，裡面裝著5萬美元。現在你被告知你可以保留你選的信封，或換成另一個。你應該換嗎？如果你事先知道你可以換，那麼換不換就無所謂了，因為你只需要選擇你最終想要的那個信封。但是，因為你是在選擇信封之後才知道可以換，所以最初的選擇和換信封的選擇是兩個獨立事件，對嗎？也就是說，在決定是否要換信封時，另一個信封裡的錢要不是你目前金額的兩倍，就是你目前金額的一半。所以它要嘛是10萬美元，要嘛是2.5萬美元。由於兩種情況發生的機率都是50%，所以另一個信封的預期價值是62,500美元。一般來說，如果我們讓 x = 你最初選擇的金額，那麼另一個信封的期望值就是 1.25 倍。因此，交換總是正確的。這樣對嗎？謝謝。
我對這個問題非常熟悉。我在我的數學題網站上，也就是第6題裡提到過。在那裡，我討論了一般情況，包括完全不查看第一個信封。但是，要回答你的問題，我們不能忽略遊戲的場地。你說這是一檔「遊戲節目」。在大多數遊戲節目中，5萬美元已經是一筆不錯的獎金了。但《價格猜猜猜》（Price is Right）節目中，很少有選手能贏到這麼高的獎金。我猜《誰想成為百萬富翁》（Who Wants to be a Millionaire）節目中，只有不到50%的選手能贏到這麼高的獎金。同時，2.5萬美元的獎金在遊戲節目中並不罕見。在《價格猜想》（Price is Right）節目中，汽車的中獎率通常都在2.5萬美元左右。在《誰想成為百萬富翁》（Who Wants to be a Millionaire）節目中，3.2萬美元的中獎率也很常見。 《危險邊緣》（Jeopardy）節目中，每個節目的平均獎金約為2.5萬美元。偉大的肯·詹寧斯（Ken Jennings）在74場勝利中，平均只贏了34,091美元。所以，我的觀點是，對於遊戲節目來說，贏得5萬美元已經很不錯了，贏得10萬美元的機率遠低於贏得2.5萬美元。因此，身為遊戲節目鑑賞家，我認為另一個信封裡更有可能裝2.5萬美元，而不是10萬美元。所以，我認為在你的例子中，最好保留5萬美元。這也表明，你永遠不能假設另一個信封裡裝的是一半或兩倍金額的機率恰好是50%。一旦你了解了金額，並結合比賽場地的情況，你就能做出明智的換信封決定，這樣1.25倍的論點就不攻自破了。
你會建議玩賭盤或是spread點差讓分在你的 NFL美式⾜球 picks精選、或 是無論如何都無所謂？
無論押注的理由為何, 通常在賭盤押注在較弱的⼀⽅⽐較好、並且偏好對 抗spread點差讓分。
五張牌梭哈撲克有一種變體，叫做「Soko」。它的玩法與普通撲克類似，只是增加了兩種牌型排序。對子上方是四張順子，然後是四張同花，最後兩對。之後牌型排序依正常順序進行。如果將四張同花順也加入牌型排序中，它該排在哪裡呢？
組成四張同花順的方法數為 4*(9*46 + 2*47) = 2032。組成葫蘆的方法有 3744 種，組成四條的方法有 624 種。因此，四張同花順的牌型應該介於葫蘆和四條之間。
如果直系親屬是賭博成癮者，欠所有人錢，無法在現實世界中正常生活，是否有一個「黑名單」或其他設備可以將他的名字列入其中，從而禁止他使用網路賭博網站？
應該有，但我從未聽過這樣的名單。即使有這樣的名單，我想他也得親自上榜。一些比較正規的網路賭場會遵守自己的名單，而且我聽說如果賭徒能證明自己正在接受治療，損失可以退還。
在我們的（抽牌）撲克遊戲中，一位玩家拿著一張高牌“踢腳牌”，想在抽牌時提高他的對子。這對我來說違反直覺。拿著踢腳牌能提高你抽到對子的幾率嗎（五張牌抽牌撲克）？
如果您只持有低對子，那麼將牌型提升為兩對或更好的機率為28.714%。如果您持有對子和踢腳牌，那麼將牌型提升為兩對或更好的機率為25.902%。因此，只持有對子，將牌型提升為兩對或更好的機率更高。但是，如果您假設需要高兩對或更好的牌才能獲勝，那麼持有踢腳牌時，實現這一目標的機率可能會更高，具體取決於具體的牌型以及您對「高」的定義。
當我玩線上撲克時，牌局開始時牌是否 100% 固定（就像一副真正的牌一樣）或者 RNG 是否會在每張牌發出之前保持“旋轉”，因此每張牌都是隨機的？
無論RNG在每張牌發出前是否“旋轉”，每張牌都是隨機的。至於RNG是否持續旋轉，我不知道，但從數學上來說，這並沒有什麼區別。
如果累積獎金停止發放時，累積的老虎機大獎中尚未中獎的金額會如何處理？我認為，超出底線的累積金額應該以某種方式返還給玩家，因為它是返還金額的一部分。
根據內華達州博彩管理委員會條例 5.110.5(c)，賭場持牌人必須將累積獎金添加到同一場所的類似遊戲中。
我總是想要做出某些⾃⼰的NFL簽賭押注、但是我很難找到⼀個網站, 希 望是免費的, 去下載球隊的歷史資料。有任何建議嗎？可下載的檔案是我 所偏好的, 因為剪貼網⾴內容並不實際、然⽽若是需要的話我也願意去 做。還有, 像是天氣與球場的狀況也會很有助益。
個⼈⽽⾔, 我使⽤來⾃ Mr. NFL, 的NFL美式⾜球資料庫, 那要花費$99. 如 果還有⽐它更好更便宜的、我倒是不知道。
您在回答關於老虎機的問題時，許多都提到了電子票券（EPROM），您說它受到監管，更改前需要獲得州政府機構的批准。然而，據我所知，加州沒有任何監管機構要求印第安賭場在更改任何EPROM之前提交更改申請。我猜想印第安賭場可以隨時進行更改（是/否？）。
當我寫到政府法規時，我幾乎總是在談論內華達州。許多其他司法管轄區或多或少都遵循內華達州的法律。然而，印第安賭場基本上是自我監管的。據我所知，他們可以隨意更換EPROM晶片，而且無需向任何人負責。
我記得如果一個房間裡有22個人，那麼有兩個人過同一天生日（月份和日期，而不是年份）的機率是相等的。我忘了怎麼算才能證明這一點了。請問您能提供一下嗎？
我想我之前回答過這個問題，但 50/50 的機率更接近 23。為了簡單起見，我們忽略閏年。詳細答案是，以某種方式對這 23 個人進行排序。 2 號人生日與 1 號生日不同的機率是 364/365。假設 1 號和 2 號生日不同，那麼 3 號生日與 1 號和 2 號生日不同的機率是 363/365。如此反复，直到 23 號人。因此，機率為 (364/365)*(363/365)*...*(343/365) = 49.2703%。因此，不匹配的機率為 49.27%，至少匹配一個的機率為 50.73%。 Another solution is the number of permutations of 23 different birthdays divided by the total number of ways to pick 23 random numbers from 1 to 365, which is permut (365,23)/365 23 = 42,200,819,302,092,400,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 / 85,651,679,353,150,300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 = 49.27%.
首先，感謝這個很棒的網站。去年夏天我第一次去拉斯維加斯，在奧爾良賭場玩了雙副牌二十一點。我注意到，荷官洗完兩副牌後，會要求玩家切牌。大多數玩家都拒絕了。我不介意，所以就切了牌。是有什麼我不知道的二十一點切牌迷信，或是有什麼更好的解釋？
我想說，至少有三分之一到二分之一的球員一開始會拒絕切牌。但是，如果每個人都拒絕，就必須有人挺身而出，承擔責任。有時，拒絕切牌的球員會說「我不想因為一雙壞鞋而承擔責任」或「我運氣不好」。我從未見過有人用言語表達過這種說法，但似乎有一種迷信，認為切牌對鞋的流暢性至關重要，因此只有熟練的切牌者才能完成。當然，這完全是無稽之談。對於休閒娛樂來說，誰切牌、在哪裡切牌都無關緊要。